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专题14.4 角的平分线（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用角平分线的性质求长度】 2
【题型2 利用角平分线的性质求面积】 5
【题型3 利用角平分线的性质求角度】 9
【题型4 利用角平分线的性质求最值】 13
【题型5 利用角平分线的性质证明】 17
【题型6 角平分线的判定】 19
【题型7 角平分线的应用】 23
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】 25
知识点1 角的平分线的性质
1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
知识点2 角的平分线的判定
1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
知识点3 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
如图，过点P作，垂足为E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以．
【详解】解：如图，过点P作，垂足为E，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
；
∴，
；
∴，
中，，
∴；
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F，
平分，，，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：
【变式1-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则 ．
【答案】1.8
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据，，证明，令点到的距离为，点到，的距离为，，则，再由等面积法可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则平分，
令点到的距离为，点到，的距离为，，则，
∴，
则，即：，
∴，
故答案为：1.8．
【变式1-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ．
【答案】/1厘米
【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可．
【详解】解：分别过点O作，连接，
∵点是与平分线的交点，
∴点在的角平分线上，
∴，
设，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离等于．
故答案为：．
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，
，
．
故选：A．
【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：过点作于点，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【变式2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设，则有，，过点E作于点G，即可得到，然后根据可得，然后可得，则，根据，得到；同理可得，可证明，则，即可得到．
【详解】解：设，则，
∴，
∵，
∴，
过点E作于点G，过点F分别作的垂线，垂足分别为M、N，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型3 利用角平分线的性质求角度】
【例3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；
（1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据平行线的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，的平分线分别交、于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式3-1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【详解】解：，，，
点在的平分线上，
∴．
∴
∴
故答案为：
【变式3-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，点A落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
【变式3-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．
【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
的外角的平分线与内角平分线交于点，
，，
，
是的平分线，
∵，
∴，
∴，
平分，平分，
，，
，，
，
；
故答案为：．
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
【例4】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ．
【答案】6
【分析】由垂线段最短得，当时，线段的值最小，由等边对等角得，根据平行线的性质得 ，则平分，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：由垂线段最短得，当时，线段的值最小，
∵，
，
，
，
∴，即平分，
∵，当时，线段的值最小，
∴线段的最小值是：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查平行线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质以及垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
【变式4-1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为
【答案】2
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由作法得：是的平分线，
当时，的值最小，
，
，
的最小值为，
故答案：．
【变式4-2】（22-23八年级上·陕西西安·期末）在中，已知，边上的高，两个内角的角平分线相交于点，过作于点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】首先要根据条件画出草图，如图所示，根据条件可知：点为角平分线的交点，则为到各边的距离，根据角平分线的性质：到三角形三条边的距离相等．可得，，的高都是，则，最后根据三角形三边关系即可得出．
【详解】
解：如图：点为两个内角的角平分线的交点，
为点到三边的距离
设
则
代入数据得：
的最大值为
故答案为
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质、三角形三边关系、等积法求线段长度等，三角形角平分线的性质的熟练运用是解决本题的关键．
【变式4-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点．
（1）若，，则的度数为 ；
（2）若，，则的最小值为 ．
【答案】 /度 3
【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质即可求解；
（2）如图，过点作于点，交于点，则，可证，得到，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点，由三角形面积得到，又因为是等腰三角形，得到，即的最小值是3，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵平分，，
∴，
∵，，
∴．
（2）如图，过点作于点，交于点，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点，
∵，，
∴，
解得，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，即的最小值是3；
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及性质定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称求最短路径的计算等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
【题型5 利用角平分线的性质证明】
【例5】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的性质得结合外角性质得，因为，证明，即可作答．
【详解】解：∵是的平分线，，，
∴
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
【变式5-1】如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再结合，，证明，则，因为，故．
【详解】证明：∵是的角平分线
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式5-2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式5-3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论．
【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，，
∴，，
∴．
【题型6 角平分线的判定】
【例6】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键；
先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论．
【详解】证明： ，，，
为的角平分线，
，
，
在和中，
，
，
平分．
【变式6-1】（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是．
【详解】解：过作于，
由题意得：，，，
平分，
，
∵，
，
，
，
、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
，
的长度是．
故答案为：．
【变式6-2】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角的两条高相交于点O，且．
(1)求证：；
(2)求证：判断点O是否在的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点O在的平分线上．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到．
（1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题．
（2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上．
【详解】（1）解： 是的高，
，
，
又 是公共边，
．
（2）解：点在的角平分线上．
理由如下：
，
，
又，
，即：
又，
点在的角平分线上．
【变式6-3】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得；
（2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
．
（2）证明：过点作，，如图，
由（1）可知，
，，
，
，
又，，
平分．
【题型7 角平分线的应用】
【例7】（2023·山东青岛·三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可．
【详解】如图所示：点即为所求．
【变式7-1】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置
C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在三条角平分线的交点处．
故选：A
【变式7-2】（22-23八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【答案】见解析
【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等．
【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式7-3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
【答案】4
【分析】
此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知．
【详解】
解：如图
故答案为：4．
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
【例8】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是16，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
，
，即．
（2）证明：过点作交于点交于点，
，
，
由（1）可知，，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分．
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
【变式8-1】如图，，M是的中点，平分．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
过M作于E，根据角平分线性质求出，再根据角平分线的判定即可．
【详解】证明：过M作于E，
∵平分，，，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴平分．
【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证；
（）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可；
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式8-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)的度数是 ；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用；
（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得；
（2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证；
（3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14.4 角的平分线（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用角平分线的性质求长度】 2
【题型2 利用角平分线的性质求面积】 3
【题型3 利用角平分线的性质求角度】 4
【题型4 利用角平分线的性质求最值】 5
【题型5 利用角平分线的性质证明】 6
【题型6 角平分线的判定】 6
【题型7 角平分线的应用】 8
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】 8
知识点1 角的平分线的性质
1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
知识点2 角的平分线的判定
1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
知识点3 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ．
【变式1-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则 ．
【变式1-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ．
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ．
【变式2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ．
【题型3 利用角平分线的性质求角度】
【例3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式3-1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ．
【变式3-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【变式3-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ．
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
【例4】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ．
【变式4-1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为
【变式4-2】（22-23八年级上·陕西西安·期末）在中，已知，边上的高，两个内角的角平分线相交于点，过作于点，则的最大值是 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点．
（1）若，，则的度数为 ；
（2）若，，则的最小值为 ．
【题型5 利用角平分线的性质证明】
【例5】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：．
【变式5-1】如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：．
【变式5-2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：．
【变式5-3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：．
【题型6 角平分线的判定】
【例6】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分．
【变式6-1】（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
【变式6-2】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角的两条高相交于点O，且．
(1)求证：；
(2)求证：判断点O是否在的平分线上，并说明理由．
【变式6-3】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【题型7 角平分线的应用】
【例7】（2023·山东青岛·三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
【变式7-1】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置
C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置
【变式7-2】（22-23八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【变式7-3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
【例8】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是16，求的长．
【变式8-1】如图，，M是的中点，平分．求证：平分．
【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【变式8-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)的度数是 ；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
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