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专题15.1 图形的轴对称（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 识别轴对称图形】 3
【题型2 找对称轴】 5
【题型3 成轴对称的两个图形的识别】 7
【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 8
【题型5 作与已知图形成轴对称的图形】 12
【题型6 根据轴对称的性质进行求解】 15
【题型7 轴对称-最短路线问题】 18
【题型8 镜面对称】 18
【题型9 轴对称的应用】 23
【题型10 利用轴对称设计图案】 26
知识点1 轴对称图形与对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称．
知识点2 两个图形成轴对称
1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．
2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形
区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形
对象不同 两个图形 一个图形
对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线
对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条
联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称
3. 轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
知识点3 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下：
步骤 理论依据
①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线
②连接这对对应点
③作对应点所连线段的垂直平分线
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
知识点4 轴对称变换
1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换，轴对称变换的实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等形．
2. 一个图形与其关于直线l对称的图形之间的关系
（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同．
（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
知识点5 作轴对称图形
1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
2. 作轴对称图形的方法
（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点；
（3）连——按原图形依次连接各对称点．
知识点6 关于坐标轴对称的点的坐标的特点
1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．
2. 在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法
（1）写出对称点的坐标；
（2）根据对称点的坐标描点；
（3）按原图形对应连接所描各点得到所求的图形．
【题型1 识别轴对称图形】
【例1】（重庆市南岸区2024--2025学年七年级下学期期末数学试题）方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
【详解】解：擦去①和②，②和③，②和④，剩下的图形是轴对称图形；
擦去①和③，剩下的图形不是轴对称图形；
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）下列汉字中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的定义，即可解答．
【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
【变式1-2】（江苏省徐州市2024—2025学年下学期期末抽测七年级数学试题）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【详解】解：由轴对称图形定义可知：A，B，D不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，
故选：C．
【变式1-3】有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有 ．（只填序号）
【答案】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
根据轴对称图形的定义逐个判断即可求解．
【详解】解：一定是轴对称图形的有：等边三角形，线段，角，正方形，长方形，圆，
故答案为：．
【题型2 找对称轴】
【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义．
第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴．
【详解】解：如图所示：
故选：A．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来．
【答案】对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条，图见解析
【分析】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可．
【详解】解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如答图所示．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢用四块相同的三角板拼成了如图所示的形状，图中与 （填序号）成轴对称，整个图形共有 条对称轴．
【答案】 和
【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，如果两个图形沿着每条直线折叠后，两个图形可以完全重合，那么这两个图形关于这条直线轴对称；如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是对称轴．解决本题的关键是根据轴对称和轴对称图形的定义进行判断．
【详解】解：根据轴对称的定义可知与成轴对称、知与成轴对称；
如下图所示，整个图形共有条对称轴．
故答案为：和； ．
【变式2-3】（2025·山东聊城·三模）下列图形中，对称轴数量最多的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，以及对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线是对称轴．
分别求出每一个图形的对称轴数量，即可求解．
【详解】解：A、有2条对称轴；
B、有5条对称轴；
C、有0条对称轴；
D、有4条对称轴；
∴对称轴数量最多的B，
故选：B．
【题型3 成轴对称的两个图形的识别】
【例3】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分．
利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
【变式3-1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故B选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，轴对称图形，正确找到图形之间的关联是解题的关键．观察可知这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，由此求解即可．
【详解】解：由题意得这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现，
∴第3个图形的图案为：．故答案为：．
【变式3-3】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到，
C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
故选：B；
【点睛】本题考查轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称．
【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】
【例4】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（ ）
A． B．线段被直线垂直平分
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断．
【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确；
B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确；
C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误；
D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确．
故答案选：C．
【变式4-1】（2025七年级下·河南南阳·专题练习）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断作答即可.
【详解】解：由图可知，由5个“○”和3个“□”组成的图形仅关于对称．
故选：C.
【变式4-2】如图，直线l是四边形的对称轴．若，有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据轴对称的性质可得，，，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，然后根据内错角相等，两直线平行可得，等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得平分．
【详解】解：如图，∵直线l是四边形的对称轴，
∴，，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴平分（等腰三角形三线合一），故③正确；
根据题意无法证明，故④错误．
综上所述，正确的有3个．
故选：C．
【变式4-3】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　）
A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形
C．与面积相等 D．垂直平分
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的性质是解题的关键．
由轴对称的性质可知，即可求解．
【详解】解：∵与关于直线对称，
，
∵由轴对称的性质，可知直线的交点一定在上，
∴A选项符合题意；
P为上任一点，
，
∴是等腰三角形，
∴B选项不符合题意；
，
∴与面积相等，
∴C选项不符合题意；
，
∴垂直平分，
∴D选项不符合题意；
故选：A．
【题型5 作与已知图形成轴对称的图形】
【例5】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）

【答案】图见解析
【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．
【详解】解：如图，即为所求作：

【变式5-1】如图，画出关于直线对称的图形．
【答案】作图见详解
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握其性质是解题的关键．
根据轴对称图形的性质“对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等；沿对称轴将图形对折，两侧的图形能够完全重合；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”作图即可．
【详解】解：根据轴对称图形的性质作图如下，
【变式5-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)请在图中画出以为对称轴，的对称三角形；
(2)的面积是________
【答案】(1)作图见详解；
(2)18．
【分析】本题考查了作图—轴对称变换∶几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查求网格中三角形的面积．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线的对称点即可；
（2）根据网格线的特点及三角形的面积公式，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积．
故答案为：18．
【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)作关于直线对称的；
(2)求的面积；
(3)在直线上找一点P，使得最短．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案；
（3）连接，与直线的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：；
（3）解：如图所示，点P即为所求．
【题型6 根据轴对称的性质进行求解】
【例6】如图，四边形是轴对称图形，且是其对称轴，E、F、G为上的三点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】6
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质推出阴影部分面积是四边形的面积的一半是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是轴对称图形，且是其对称轴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【变式6-1】若通过改变如图所示的两个三角形的位置，可以使它们关于某条直线成轴对称，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，掌握其性质是解题的关键．
根据轴对称图形的性质，三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，与关于某直线成对称图形，
∴，
∴，
故答案为： ．
【变式6-2】如图，与关于直线l对称，若，，则 ， ．
【答案】 2cm/2厘米 95°/95度
【分析】根据轴对称的性质，有对应边相等、对应角相等求解．
【详解】根据轴对称的性质有：AB=AE，∠D=∠C，
∵AB=2cm，∠C=95°，
∴AE=AB=2cm，∠D=∠C=95°，
故答案为：2cm，95°．
【点睛】本题考查轴对称的知识，理解轴对称的性质是解题的关键．
【变式6-3】如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点，连接交OA于M，交OB于N，，则△PMN的周长是 ．
【答案】24
【分析】根据轴对称图形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵P点关于OA、OB的对称点为，
∴，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MN＝＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
【题型7 轴对称-最短路线问题】
【例7】如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】把小河和菜田看成直线，要找一条最短路线，可根据两点之间线段最短的规律来分析解答即可．
【详解】解：要找一条最短路线，分别作点A关于OB，OC的对称点，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称--最短路线问题，线段的性质：两点之间线段最短，关键是过一点作直线的对称点．
【变式7-1】如图，王大爷从王村出发，先把牛送到河边草地吃草，再去李村走访亲戚，则按图中所示的哪条路线走，路程最短（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点之间线段最短的知识和轴对称的性质即可解答．
【详解】解∶王大爷按如图路线走，路程最短，
故选∶C．
【点睛】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质．
【变式7-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短，据此结合图形可得答案．
【详解】解：如图所示，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短，
由图可知，交直线l于点P，
∴点应选在C点，
故选：C．
【变式7-3】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【答案】
【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，
，
，此时点到与的距离和最小，
过作，延长与交于点，
，
，，且，
，
，
，
点与点的距离是，
故答案为：．
【题型8 镜面对称】
【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）笑笑非常喜欢《小英雄雨来》中“我们是中国人，我们爱自己的祖国”这句话．于是，她自己刻了一枚印章（如图）．下面三个选项中的图案，可用这枚印章印制出的是（ ）．
A． B． C．
【答案】C
【分析】该题是一道关于镜面对称的题目，熟练掌握镜面对称的特征是解题的关键； 根据镜面对称的原理可知，我们看印章上的字时，与在镜子中看到的字是相同的，都与我们所看到的字的顺序是相反的； 在本题中，找出与原印章上的字所在方向刚好相反的图案即可．
【详解】
解：如图所示的印章，其中是用这枚印章印制的．
故选：C．
【变式8-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为 ，则这串数字实际是 ．
【答案】
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【详解】
解：若看到镜子中的一串数字为 ，则这串数字实际是，
故答案为：．
【变式8-2】（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是 ．
【答案】
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻成轴对称，所以此时实际时刻为．
故答案为：．
【变式8-3】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案．
【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，
∴实物与其像的连线与镜面垂直，
∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形，
故选：D．
【题型9 轴对称的应用】
【例9】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．

【答案】号袋
【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案．
【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．

故答案为：号袋．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线．
【变式9-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号）
【答案】②
【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
依据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换，
而②不是轴对称变换，
故答案为：②．
【变式9-2】（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案．
【详解】
解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意；
B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意；
C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意；
D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意；
故选：A．
【变式9-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【详解】解：如图：
根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次，
∵，
∴发光电子与边的碰撞次数是．
故答案为．
【题型10 利用轴对称设计图案】
【例10】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在等边三角形网格中，已有三个小等边三角形被涂黑，再将图中其余小等边三角形一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，这样的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称的概念解答即可．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：如图所示：
将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有4种，即数字1，2，3，4位置，
故选：D．
【变式10-1】（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（ ）

A．1种 B．3种 C．5种 D．7种
【答案】B
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示，

一共有3种涂法，
故选：B．
【变式10-2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（ ）种不同补法．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义画出图形即可解答．
【详解】解：如图所示，一共有4种画法，
故选：A．
【变式10-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对称弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方将子在、、、中的 处落子，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）．
【答案】A或C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题15.1 图形的轴对称（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 识别轴对称图形】 3
【题型2 找对称轴】 4
【题型3 成轴对称的两个图形的识别】 4
【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 5
【题型5 作与已知图形成轴对称的图形】 6
【题型6 根据轴对称的性质进行求解】 8
【题型7 轴对称-最短路线问题】 9
【题型8 镜面对称】 9
【题型9 轴对称的应用】 11
【题型10 利用轴对称设计图案】 12
知识点1 轴对称图形与对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称．
知识点2 两个图形成轴对称
1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．
2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形
区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形
对象不同 两个图形 一个图形
对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线
对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条
联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称
3. 轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
知识点3 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下：
步骤 理论依据
①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线
②连接这对对应点
③作对应点所连线段的垂直平分线
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
知识点4 轴对称变换
1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换，轴对称变换的实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等形．
2. 一个图形与其关于直线l对称的图形之间的关系
（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同．
（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
知识点5 作轴对称图形
1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
2. 作轴对称图形的方法
（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点；
（3）连——按原图形依次连接各对称点．
知识点6 关于坐标轴对称的点的坐标的特点
1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．
2. 在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法
（1）写出对称点的坐标；
（2）根据对称点的坐标描点；
（3）按原图形对应连接所描各点得到所求的图形．
【题型1 识别轴对称图形】
【例1】（重庆市南岸区2024--2025学年七年级下学期期末数学试题）方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③
【变式1-1】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）下列汉字中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（江苏省徐州市2024—2025学年下学期期末抽测七年级数学试题）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有 ．（只填序号）
【题型2 找对称轴】
【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢用四块相同的三角板拼成了如图所示的形状，图中与 （填序号）成轴对称，整个图形共有 条对称轴．
【变式2-3】（2025·山东聊城·三模）下列图形中，对称轴数量最多的是（　　）
A． B． C． D．
【题型3 成轴对称的两个图形的识别】
【例3】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案．
【变式3-3】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】
【例4】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（ ）
A． B．线段被直线垂直平分
C． D．
【变式4-1】（2025七年级下·河南南阳·专题练习）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图，直线l是四边形的对称轴．若，有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　）
A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形
C．与面积相等 D．垂直平分
【题型5 作与已知图形成轴对称的图形】
【例5】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）

【变式5-1】如图，画出关于直线对称的图形．
【变式5-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)请在图中画出以为对称轴，的对称三角形；
(2)的面积是________
【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)作关于直线对称的；
(2)求的面积；
(3)在直线上找一点P，使得最短．
【题型6 根据轴对称的性质进行求解】
【例6】如图，四边形是轴对称图形，且是其对称轴，E、F、G为上的三点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．

【变式6-1】若通过改变如图所示的两个三角形的位置，可以使它们关于某条直线成轴对称，则 ．
【变式6-2】如图，与关于直线l对称，若，，则 ， ．
【变式6-3】如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点，连接交OA于M，交OB于N，，则△PMN的周长是 ．
【题型7 轴对称-最短路线问题】
【例7】如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）
B．
C． D．
【变式7-1】如图，王大爷从王村出发，先把牛送到河边草地吃草，再去李村走访亲戚，则按图中所示的哪条路线走，路程最短（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【变式7-3】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【题型8 镜面对称】
【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）笑笑非常喜欢《小英雄雨来》中“我们是中国人，我们爱自己的祖国”这句话．于是，她自己刻了一枚印章（如图）．下面三个选项中的图案，可用这枚印章印制出的是（ ）．
A． B． C．
【变式8-1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为 ，则这串数字实际是 ．
【变式8-2】（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是 ．
【变式8-3】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型9 轴对称的应用】
【例9】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．

【变式9-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号）
【变式9-2】（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ．
【题型10 利用轴对称设计图案】
【例10】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在等边三角形网格中，已有三个小等边三角形被涂黑，再将图中其余小等边三角形一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，这样的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式10-1】（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（ ）

A．1种 B．3种 C．5种 D．7种
【变式10-2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（ ）种不同补法．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式10-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对称弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方将子在、、、中的 处落子，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）．
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