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专题15.2 线段的垂直平分线（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】 2
【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】 3
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】 4
【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】 5
【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】 6
【题型6 判断是垂直平分线】 7
【题型7 尺规作垂直平分线】 9
【题型8 垂直平分线的判定与性质的综合】 10
【题型9 互逆命题和互逆定理】 11
知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质
1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
3. 尺规作线段的垂直平分线：
（1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点；
（2）作为直线 ，为所求直线．
知识点2 线段垂直平分线性质定理的逆定理
1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
知识点3 互逆命题和互逆定理
两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．
【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【变式1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是 ．
【变式1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ．
【变式1-3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ．
【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】
【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ．
【变式2-1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ．
【变式2-3】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】
【例3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为　　
A．36 B．22 C．20 D．21
【变式3-1】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式3-2】（24-25八年级上·广东中山·期末）如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ．
【变式3-3】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为 ．
【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】
【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　）
A．8 B．3 C．6 D．4
【变式4-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ．
【变式4-2】如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 .
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ．
【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】
【例5】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．
(1)若的周长为，线段的长为________；
(2)判断点O是否在的垂直平分线上；
(3)若，求的度数．
【变式5-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答．
(1)如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________．
(2)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．
已知：如图1，于点C，________，点P是直线上的任意一点．求证：________．
证明：
(3)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，，，则________．
【变式5-2】如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
【变式5-3】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求度数．
【题型6 判断是垂直平分线】
【例6】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，，垂足分别为E、D．

(1)求证：；
(2)连接，判断直线与的关系．
【变式6-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，D是上的一点，且，，平分，求证：垂直平分．
【变式6-2】如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)求证：；
(2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由．
【变式6-3】如图，在中，，，分别是边，上的中线，，相交于点O．
(1)求证：．
(2)连接，试说明直线是线段的垂直平分线．
【题型7 尺规作垂直平分线】
【例7】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图所示，在中，点E是边上一点，且平分．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，求证：．
【变式7-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，请在上找一点，使得．
【变式7-2】（24-25八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）；
(2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置．
【变式7-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作等腰，使得点M在上，点N在上，且经过点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【题型8 垂直平分线的判定与性质的综合】
【例8】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
【变式8-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式8-2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：．
【变式8-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则
【题型9 互逆命题和互逆定理】
【例9】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形
C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．全等三角形的对应角相等
【变式9-1】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三边对应相等的两个三角形全等．
【变式9-2】下列命题的逆命题成立的序号是
① 同旁内角互补，两直线平行
② 等边三角形是锐角三角形
③ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
④ 全等三角形的三条对应边相等
【变式9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两直线平行；
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
(3)全等三角形的对应边相等
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题15.2 线段的垂直平分线（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】 2
【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】 5
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】 8
【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】 12
【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】 16
【题型6 判断是垂直平分线】 21
【题型7 尺规作垂直平分线】 25
【题型8 垂直平分线的判定与性质的综合】 29
【题型9 互逆命题和互逆定理】 32
知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质
1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
3. 尺规作线段的垂直平分线：
（1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点；
（2）作为直线 ，为所求直线．
知识点2 线段垂直平分线性质定理的逆定理
1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
知识点3 互逆命题和互逆定理
两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．
【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可．
【详解】∵垂直平分，
∴
∵垂直平分，
∴，
∴的周长为．
故选：B．
【变式1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是 ．
【答案】32
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合 求解，即可解题．
【详解】解： 为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
【变式1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解．
【详解】解：∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴的周长，
故答案为：．
【变式1-3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴，
即，
又∵的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】
【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
分种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得、，根据题意得，利用三角形的外角的性质求得，根据即可求解；②当点与点重合，点与点重合，．
【详解】解：根据题意，有种情况，
①如图，
与边上的垂直平分线、分别交于点、点，
，，
，，
，
，
是的一个外角，是的一个外角，
，，
，
，
．
②如图，当点与点重合，点与点重合，
此时，．
综上所述，或．
故答案为：或．
【变式2-1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【变式2-2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得，从而得，然后根据角平分线即得答案．
【详解】解：∵，，
，
∵垂直平分，
，
，
，
∵平分，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键．
连接并延长，交于点D，由线段垂直平分线的性质可知，，即得出，结合三角形外角的性质可求出，即，再根据三角形内角和定理有．由角平分线的定义得出，，再结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点D．
∵点O是的垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】
【例3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为　　
A．36 B．22 C．20 D．21
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：四边形与四边形的面积分别为8和13，
，
是的中线，
，
，
是边的中垂线，
是的中点，
，
，
，
故选：B
【变式3-1】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，垂直 平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
根据题意得到是的垂直平分线，可证，得到，由此可得阴影部分的面积为，由此即可求解．
【详解】解：∵是的对称轴，
∴是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3 ．
【变式3-2】（24-25八年级上·广东中山·期末）如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称求最短距离、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识．
由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点，连接，则当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值，周长最小为的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据三角形面积公式即可得答案．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴A与B关于对称，
连接，交于点，连接
∵，
∴，
当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值，
∵周长的最小值为，
∴，
∵F为边的中点，，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3-3】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为 ．
【答案】18
【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：

∵点关于，的对称点分别是点，，
∴是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴当最小即取最小值时，的面积最小，
∴当，取最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积的最小值，
故答案为：18．
【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】
【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　）
A．8 B．3 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
∴当三点共线时，即的长为的最小值，
∴的周长最短，
故选：A．
【变式4-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ．
【答案】11
【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论．
【详解】解：设直线交于，连接，如图所示：
∵直线是的垂直平分线，
关于直线对称，，
∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长，且的最小值等于，
∴周长的最小值是，
故答案为：11．
【变式4-2】如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 .
【答案】/8厘米
【分析】根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可．
【详解】解：垂直平分，
，
又，，
，
在上取点，连接、、，
垂直平分，
，
，
在中，
当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值，
此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，点是上一动点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵，三点共线，
∴此时是的高，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】
【例5】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．
(1)若的周长为，线段的长为________；
(2)判断点O是否在的垂直平分线上；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)点O在的垂直平分线上
(3)．
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
（1）根据垂直平分线的性质得出，，求出；
（2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上；
（3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴；
故答案为：；
（2）解：点O在的垂直平分线上，
理由：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴点O在的垂直平分线上；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【变式5-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答．
(1)如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________．
(2)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．
已知：如图1，于点C，________，点P是直线上的任意一点．求证：________．
证明：
(3)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，，，则________．
【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2)；；证明见解析
(3)
【分析】此题考查的是轴对称图形、线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线”．
（1）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答；
（3）根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】（1）解：直线是线段的垂直平分线，
，
在和中
．
即线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
（2）解：已知：如图1，于点C，，点P是直线上的任意一点．求证：．
故答案为∶ ；；
证明：解： ，
在和中
．
（3）解： CD是线段AB的垂直平分线，
，．
．
，
．
，
．
【变式5-2】如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，，得到是的垂直平分线，等量代换，即可；
（2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式5-3】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论；
（2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，，
，
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：∵，，
，
∵，
，
，
，
．
【题型6 判断是垂直平分线】
【例6】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，，垂足分别为E、D．

(1)求证：；
(2)连接，判断直线与的关系．
【答案】(1)见解析
(2)垂直平分
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：垂直平分，理由如下：如图，
，
，
，
，
，
，
又，
垂直平分．
【变式6-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，D是上的一点，且，，平分，求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得点F在线段的垂直平分线上，根据已知条件得到点A在线段的垂直平分线上，于是得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴点F在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【变式6-2】如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)求证：；
(2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)直线是线段的垂直平分线，理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定；
（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）根据垂直平分线的判定即可得出证明；
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
（2）是线段的垂直平分线，理由如下：
∵，，
∴在的垂直平分线上，
即是线段的垂直平分线．
【变式6-3】如图，在中，，，分别是边，上的中线，，相交于点O．
(1)求证：．
(2)连接，试说明直线是线段的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质．
（1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得．
（2）根据，，得出、O在线段的垂直平分线上，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，分别是边，上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴、O在线段的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴直线是线段的垂直平分线．
【题型7 尺规作垂直平分线】
【例7】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图所示，在中，点E是边上一点，且平分．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，则可证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵线段的垂直平分线与边交于点D，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【变式7-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，请在上找一点，使得．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，作线段的垂直平分线，交于点，可得，即得，故点即为所求，掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，点即为所求．
【变式7-2】（24-25八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）；
(2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求．
（2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求．
【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求．
（2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求，
【变式7-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作等腰，使得点M在上，点N在上，且经过点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，，结合，利用即可证明；
（2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可．
【详解】（1），
，，
在 和中，
，
；
（2）如图：等腰即为所求作的三角形．
由作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求.
【题型8 垂直平分线的判定与性质的综合】
【例8】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可．
【详解】解： 为的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，，
∵，
∴，
，
，
故答案为：．
【变式8-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
故选：A．
【变式8-2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可．
本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：连接，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴．
．
【变式8-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得，因为，D为的中点，所以是的垂直平分线，则，因为是的角平分线，则是的角平分线，即可作答．
【详解】解：，，
∴，
∵，D为的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故答案为：．
【题型9 互逆命题和互逆定理】
【例9】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形
C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．全等三角形的对应角相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出各个命题的逆命题，掌握判断真假命题的方法是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题；
B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，是假命题；
C、逆命题为：平方相等的两个实数相等，错误，是假命题；
D、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，错误，是假命题，
故选：A．
【变式9-1】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三边对应相等的两个三角形全等．
【答案】(1)有，逆定理见解析；
(2)有，逆定理见解析．
【分析】（1）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答；
（2）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答．
【详解】（1）定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”．
（2）定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．”
【点睛】本题考查平行线的性质与判定两直线平行的方法，熟记平行线的性质与判定方法是关键．
【变式9-2】下列命题的逆命题成立的序号是
① 同旁内角互补，两直线平行
② 等边三角形是锐角三角形
③ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
④ 全等三角形的三条对应边相等
【答案】①④/④①
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；
②等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，不成立，不符合题意；
④全等三角形的三条边对应相等的逆命题为三条边相等的三角形全等，成立，符合题意，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
【变式9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两直线平行；
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
(3)全等三角形的对应边相等
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；成立
(2)如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立
(3)如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立
【分析】本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点．
首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断：
（1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补，根据平行线的性质定理，命题成立；
（2）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立；
（3）逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立．
【详解】（1）解：逆命题：两直线平行，同旁内角互补；
根据平行线的性质定理，命题成立；
（2）解：逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；
如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立；
（3）解：逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；
如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立．
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