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专题15.3 等腰三角形（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 等腰三角形的定义】 2
【题型2 等边对等角】 2
【题型3 三线合一】 3
【题型4 等角对等边】 5
【题型5 找出图中的等腰三角形】 6
【题型6 格点中画等腰三角形】 7
【题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】 8
【题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点】 9
知识点1 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
知识点2 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【题型1 等腰三角形的定义】
【例1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
【变式1-1】（24-25七年级下·山东威海·期中）若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
【变式1-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是 ．
【变式1-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( )
A． B． C．6或9 D．或
【题型2 等边对等角】
【例2】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，点在上，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
【变式2-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为 ．
【变式2-2】如图，钢架中，，焊上等长的钢条，，，…来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则的取值范围是 ．
【变式2-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【题型3 三线合一】
【例3】如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ．
【变式3-2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）补全过程或依据：如图，在中，，点为边的中点，为上一点，连接，使得．若，求的度数．
解：在中，，
，（等腰三角形两底角相等）
点为边的中点
（）
，
（）
【变式3-3】（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【题型4 等角对等边】
【例4】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25八年级下·陕西·期中）如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点与点重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：．
【变式4-2】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ．
【变式4-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．
(1)求证：加固后的是等腰三角形；
(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度．
【题型5 找出图中的等腰三角形】
【例5】（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【变式5-1】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【变式5-2】如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）（1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？

（2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：．

（3）如图，在中，将三等分，点在上．
①求的度数；
②写出图中所有的等腰三角形．

【题型6 格点中画等腰三角形】
【例6】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式6-1】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个．
【变式6-2】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-3】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形；
(2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形．
【题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】
【例7】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
【变式7-1】如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．
【变式7-2】如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
【变式7-3】如图，已知，点M，N在边上，，点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好只有一个，则x的取值范围是 ．
【题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点】
【例8】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式8-1】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
【变式8-2】如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？
【变式8-3】如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题15.3 等腰三角形（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 等腰三角形的定义】 2
【题型2 等边对等角】 4
【题型3 三线合一】 7
【题型4 等角对等边】 11
【题型5 找出图中的等腰三角形】 14
【题型6 格点中画等腰三角形】 18
【题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】 21
【题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点】 24
知识点1 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
知识点2 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【题型1 等腰三角形的定义】
【例1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可．
【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长．
②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长．
③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．
综上，等腰三角形的周长为或，
故选：C．
【变式1-1】（24-25七年级下·山东威海·期中）若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组．
先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长．
【详解】解：方程组，解得：，
∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长，
∴当腰长为2时，
三边长为2，2，4，，不能构成三角形；
当腰长为4时，
三边长为4，4，2，，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为，
故答案为：．
【变式1-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将变形为，根据三角形的边长为正数，得出，即可得出，可得答案．
【详解】解： ，
，
∴，
∵a、b、c是的三边长，
∴，
∴，
∴，
的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【变式1-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( )
A． B． C．6或9 D．或
【答案】A
【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，关键是要分两种情况讨论．分两种情况：等腰三角形的腰长或底边是6，由三角形三边关系定理进行判断，即可得答案．
【详解】解：如果等腰三角形的腰长是，
等腰三角形的底边长，
，不满足三角形三边关系定理，
等腰三角形的腰长不能是；
如果等腰三角形的底边长是，
等腰三角形的腰长，
，满足三角形三边关系，
等腰三角形的底边长是．
故选：A．
【题型2 等边对等角】
【例2】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，点在上，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识．
（1）利用证明三角形全等即可．
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
即．
，，，，
，
．
（2）解：，
，
又，
又，
，
．
【变式2-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为 ．
【答案】/42度
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由旋转得，，，
，
，
，
故答案为：．
【变式2-2】如图，钢架中，，焊上等长的钢条，，，…来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，一元一次不等式组，以及三角形的外角性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到与之间的关系，从而不难求解．
【详解】解：，，，，
，，，，
，
要使得这样的钢条恰好焊上根，
，
由题意得：，
，
故答案为：．
【变式2-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）根据即可证明；
（2）由角平分线的定义得，由全等三角形的性质得，，从而，进而可求出．
【详解】（1）证明：
（2）解：平分
，
【题型3 三线合一】
【例3】如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）．
【详解】解：∵平分，
∴，，，
故（1）（2）（3）正确，
∵平分，
∴，
∴
故（4）正确，
综上，一共有4个正确，
故选：D
【变式3-1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点．
先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．
【详解】解：∵，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
故答案为：．
【变式3-2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）补全过程或依据：如图，在中，，点为边的中点，为上一点，连接，使得．若，求的度数．
解：在中，，
，（等腰三角形两底角相等）
点为边的中点
（）
，
（）
【答案】①；②三线合一定理；③35；④等腰三角形两底角相等；⑤20
【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，根据三线合一定理，等边对等角和已给推论过程求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，（等腰三角形两底角相等）
点为边的中点
（三线合一定理）
，
（等腰三角形两底角相等）
．
【变式3-3】（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)详见解析；
(2)．
【分析】（）根据等角的余角相等得出，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（）由（）得：，，则，从而证明垂直平分，则有，由等腰三角形的三线合一定理可得，再由等腰三角形的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）得：，，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【题型4 等角对等边】
【例4】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵的周长，，
∴，
∵的周长为
，
∴的周长是，
故选：．
【变式4-1】（24-25八年级下·陕西·期中）如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点与点重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平移的性质证明，等角对等边，根据平移性质得到，根据等角对等边得到，进而得到结论．
【详解】解：将沿直线平移到，
，
，
，
．
【变式4-2】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【变式4-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．
(1)求证：加固后的是等腰三角形；
(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)原始支撑段的长度是8米
【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
又平分，
，
又在和中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：连接，
，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
又 中，，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
【题型5 找出图中的等腰三角形】
【例5】（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键．
根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
【变式5-1】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
【变式5-2】如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形；
【详解】解：由对折后重合得，，，
，，
和为等腰三角形，
，
，
，，
，，
和为等腰三角形，
因此共有个等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键．
【变式5-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）（1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？

（2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：．

（3）如图，在中，将三等分，点在上．
①求的度数；
②写出图中所有的等腰三角形．

【答案】（1）与相等，理由见解析 （2）见解析 （3）① ②, , , , ,
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定；
（1）根据全等三角形的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到即可得出结论；
（3）①根据已知条件和三角形的内角和得到， ， ， 由于将三等分， 于是求得，然后计算解题；
②根据外角的性质和三角形的内角和得到， 于是得到结论．
【详解】（1）解：与相等，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明： ∵垂直平分，
，
，
，
∵平分 ，
，
，
即；
（3）解：①∵，，
∴， ， ，
∵， 将三等分，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴， ， ， ， ， 是等腰三角形．
【题型6 格点中画等腰三角形】
【例6】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：
①当为等腰底边时，符合条件的点有个：；
②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：；
∴点的个数是个，
故选：A．
【变式6-1】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个．
【答案】6
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个；
②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个．
所以使得为等腰直角三角形的点P有6个．
【变式6-2】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论．
【详解】解：如图，
由图得满足条件的格点P有5个，
故选：C．
【变式6-3】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形；
(2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解．
（1）根据三角形的面积为，由，可先构造高为4的三角形，即可；
（2）直接取格点，使或即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一）
（2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一）
【题型7 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】
【例7】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
【答案】4
【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．
【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
【变式7-1】如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点．
【详解】解：如图，
AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5，
则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
【变式7-2】如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
【详解】解：如图，
①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、，
此时，和为等腰三角形，
②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
③作的垂直平分线，与与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
即满足条件的点位置有4个，
故答案为：4．
【变式7-3】如图，已知，点M，N在边上，，点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好只有一个，则x的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可．
【详解】解：①如图1，当时，即，以M为圆心，以2为半径的圆交于点P，此时，
则点P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好只有一个．
②如图2．当时，即，过点M作于点P，
∴．
∴，
作的垂直平分线交于点P，则．
此时，以点P，M，N构成的等腰三角形的点恰好有2个．
则当时，以P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个．
综上，当或时，以P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个．
故答案为：或
【题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点】
【例8】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有个．
故选：C．
【变式8-1】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
【答案】100°或55°或70°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
【变式8-2】如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？
【答案】6或18
【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足
因此有18 2t=t
解得t=6(s)
（2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形，
∵
∴ΔPOQ也是等边三角形
因此有2t 18=t
解得t=18(s)
综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形
故答案为：6或18．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式8-3】如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形；
②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形；
③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形；
④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形；
⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形；
⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形．
⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
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