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专题15.5 含30°角的直角三角形的性质（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度】 1
【题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度】 2
【题型3 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题】 3
【题型4 利用含30°的直角三角形的性质证明】 4
【题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 5
【题型6 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】 7
【题型7 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】 8
【题型8 含30°的直角三角形的实际应用】 9
知识点 含30°角的直角三角形的性质
1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ．
【变式1-2】如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知等边中，，若点H在线段上运动，取最小值时，的值为 ．
【题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度】
【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ．
【变式2-1】如图，在矩形中，，将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点落在边上，则 ．
【变式2-2】如图，在中，中线与高线三等分，则的度数为 ．
【变式2-3】（24-25八年级上·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ．
【题型3 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题】
【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为 ．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是等边三角形，点在点的上方，以为边长作等边，连接，延长线段交轴于点．
(1)直接写出图中与线段长度相等的线段：________；
(2)线段的长度是否为一定值，若为定值，请给出定值并证明，若不是定值，请给出线段的取值范围；
【题型4 利用含30°的直角三角形的性质证明】
【例4】（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式4-1】（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中，，是的中点，交于点．求证：．
【变式4-2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)过点A作，求线段与的数量关系．
【变式4-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，．
(1)求证：是等边三角形．
(2)请判断线段与的大小关系，并说明理由．
【题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】
【例5】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（ ）
A．1 B．1或 C．1或2 D．2或
【变式5-1】如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），连接交于D．当时，的长为 ．
【变式5-2】如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间的取值范围是 秒时，是锐角三角形．
【变式5-3】 （24-25八年级下·江西九江·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ．
【题型6 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】
【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【变式6-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式6-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，边长为4的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式6-3】如图，是等边的中线，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．有最大值
C．的最小值是4 D．没有最小值也没有最大值
【题型7 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】
【例7】如图，在中，，，，点在边上，，连接．将沿直线翻折后，点的对应点为点，作，垂足为，则 ．

【变式7-1】如图，中，，当沿折痕翻折时，点恰好落在的中点上.若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【变式7-2】如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ．
【变式7-3】如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为 ．

【题型8 含30°的直角三角形的实际应用】
【例8】小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度．
【变式8-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
【变式8-2】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱分别垂直于横梁，若，则立柱的长为 ．

【变式8-3】密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点分别表示两个水质监测站，监测人员上午时在A处完成采样后，测得实验室在A点北偏东方向．随后监测人员乘坐监测船继续向东行驶，上午时到达处，同时测得实验室在点北偏西方向，其中监测船的行驶速度为．
(1)在图中画出实验室的位置；
(2)已知A、两个水质监测站的图上距离为．
请你利用刻度尺，度量监测船在处时到实验室的图上距离；
估计监测船在处时到实验室的实际距离，并说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题15.5 含30°角的直角三角形的性质（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度】 1
【题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度】 5
【题型3 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题】 10
【题型4 利用含30°的直角三角形的性质证明】 14
【题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 18
【题型6 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】 22
【题型7 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】 28
【题型8 含30°的直角三角形的实际应用】 32
知识点 含30°角的直角三角形的性质
1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可．
【详解】解：如下图，过点D作，交于F，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
点P为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明．
【变式1-1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合三角形内角和定理求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-2】如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据含角的直角三角形的性质求得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再根据等边对等角得到，最后根据即可得解．
【详解】解：，
为直角三角形，
又，，
，
，，
，
，
，即，
，
是等腰三角形，即，
，
故选：D．
【变式1-3】已知等边中，，若点H在线段上运动，取最小值时，的值为 ．
【答案】4
【分析】过点作于点，连接，利用含30度的直角三角形的性质得到，可得，继而得出当、、三点依次在同直线上时，的值最小，再结合等边三角形的性质得到．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
是等边三角形，，
∴，，
，
，
当、、三点依次在同直线上时，的值最小，
此时，，，
∴，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是找到动点的位置．
【题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度】
【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ．
【答案】或/或
【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．
【详解】解：当点在线段上时，如图所示，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
当点在延长线上时，如图所示，
同理可得，
∴
∵，，
∴；
综上，或，
故答案为：或．
【变式2-1】如图，在矩形中，，将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点落在边上，则 ．
【答案】30
【分析】根据题意易得，∠D=90°，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵，
∴，
∵将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为30．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2-2】如图，在中，中线与高线三等分，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，根据全等三角形的判定得出，确定．过点M作于点N，再由角平分线的性质确定，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：解：根据题意得：．
∵，
∴．
∴．
过点M作于点N，
∵，
∴．
∴，
∴在中，．
故答案为：．
【变式2-3】（24-25八年级上·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解．
作出图形，分①点是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点是底角顶点，在外部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是，③点是底角顶点，在内部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可．
【详解】解：①如图1，点是顶点时．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵在中，，
∴；
②如图2，点是底角顶点，且在外部时．
∵，
∴，
∴，
∴；
③如图3，点是底角顶点，且在内部时．
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，底角的度数为或或．
【题型3 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题】
【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用含的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可．
【详解】解：∵三角形为等边三角形，轴，
∴，
∴，
同理得：，，
综上可得：
故选A．
【点睛】本题主要考查含的直角三角形的性质，能够熟记性质并能够熟练进行指数计算是解题关键．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】证明为直角三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是求出的长．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了含度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含度角的直角三角形，度角所对的边是斜边的一半．过点作轴的垂线，垂足为点，先得出，则，进而得出，即可解答．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为点，
∵中，
∴，
∵，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是等边三角形，点在点的上方，以为边长作等边，连接，延长线段交轴于点．
(1)直接写出图中与线段长度相等的线段：________；
(2)线段的长度是否为一定值，若为定值，请给出定值并证明，若不是定值，请给出线段的取值范围；
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，求出，证出即可；
（2）先求出，求出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解： 和是等边三角形
即
在和中
（）
，
故答案为：；
（2）解：当点B运动时，的长度不发生变化
理由是：
由（1）可得
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质的应用，利用数形结合的思想是解题关键．
【题型4 利用含30°的直角三角形的性质证明】
【例4】（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，进而可得，据此可证明结论；
（2）由等边三角形的性质得到，，再证明垂直平分，则，进而可证明．
【详解】（1）证明；由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴．
【变式4-1】（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中，，是的中点，交于点．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边对等角，得，根据三角形内角和性质得，再结合交于点．是的中点，得是的垂直平分线，则，，运用度角所对的直角边是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵交于点．是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
则，
∵，
∴．
【变式4-2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)过点A作，求线段与的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到，推出，结合即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式4-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，．
(1)求证：是等边三角形．
(2)请判断线段与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质求出，再求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解；
（2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出 ，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
．
，
．
，，
，
，
是等边三角形．
（2）解：．
理由：由（1）得是等边三角形，
．
．
，
，
，
．
D是边的中点，
．
．
【题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】
【例5】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（ ）
A．1 B．1或 C．1或2 D．2或
【答案】B
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
分两种情况讨论为直角三角形的情况，再结合路程公式求解即可．
【详解】解：点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，，，
，，
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
；
当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，
点M从B到A所需时间为，点N从C到B所需时间为，
；
和均满足，
的值为1或，
故选B．
【变式5-1】如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），连接交于D．当时，的长为 ．
【答案】2
【分析】先证明，由此构建方程求解，可得答案．
【详解】解：∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∵在中，，
∴，即，
解得，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会考虑构建方程解决问题．
【变式5-2】如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间的取值范围是 秒时，是锐角三角形．
【答案】
【分析】过作于，，交于，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长即可求解．
【详解】解：如图，过作于，，交于，
则，，
，
，，
，
，，
当运动时间的取值范围是秒时，是锐角三角形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的分类，理解题意是解题的关键．
【变式5-3】 （24-25八年级下·江西九江·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ．
【答案】2或4或8
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可；
【详解】解：由题意，，
①如图1中，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2中，当时，同法可得，
∴，
∴．
③如图3中，当时，同法可得，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为2或4或8．
故答案为：2或4或8．
【题型6 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】
【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质．延长，过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据旋转得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可．
【详解】解：延长，过点C作于点G，如图所示：
∵，，
∴，
根据旋转可知：，，
∴，
∴点A、C、E在同一直线上，
∵，
∴，
∴点F在直线上，
∵垂线段最短，
∴点F在点G处时，最小，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的最小值为4．
故选：B．
【变式6-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得， ，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过作交于，
，，，
，
垂直平分，
，
，
当取得最小值时，取得最大值，
，
当时，取得最小值，
此时与重合，如图，
，
，
解得：，
故选：C．
【变式6-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，边长为4的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接，则，
由旋转性质得，，
，
∵三角形是等边三角形，是等边的高线，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
根据垂线段最短，当时，最短，此时最短，
，，
∴在中，，
∴线段长度的最小值是1，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【变式6-3】如图，是等边的中线，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．有最大值
C．的最小值是4 D．没有最小值也没有最大值
【答案】A
【分析】取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，因此根据含角的直角三角形的性质可得出答案．
【详解】如图，取中点K，连接，
∵是等边的中线，
∴，，
∵以为边作等边三角形，
∴，
∴，即，
，
，
∴当最小时，最小，当时，最小，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题是几何最值问题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型7 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】
【例7】如图，在中，，，，点在边上，，连接．将沿直线翻折后，点的对应点为点，作，垂足为，则 ．

【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，及直角三角形的性质．先证明是等边三角形，则可得，则，根据翻折的性质，可得，和的长．在中，根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”即可求出的长．
【详解】解：，
．
中，，
是等边三角形，
，
．
根据翻折的性质可得，，
．
又，
，
，
．
故答案为：2．
【变式7-1】如图，中，，当沿折痕翻折时，点恰好落在的中点上.若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】先证明EA=EB，再证明∠EAB=∠EBA=∠EBC=30°，根据30°角所对应的直角边等于斜边的一半得出EC的长，之后进一步求解即可.
【详解】∵∠BDE=∠C=90°，
∴ED⊥AB，
∵AD=DB,
∴EA=EB=6，
∴∠EAB=∠EBA=∠EBC，
又∵∠BEC=∠EAB=∠EBA，
∴∠BEC＋∠EBC=3∠EBC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵BE=6，
∴EC=BE=3，
∴AC=EA＋EC=9.
所以答案为C选项.
【点睛】本题主要考查了三角形的折叠问题已经直角三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
【变式7-2】如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ．
【答案】6
【分析】由翻折得到 ，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案．
【详解】解：由翻折得 ，，
在长方形中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
【变式7-3】如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为 ．

【答案】3或6
【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质．分两种情况画图讨论：当时，点在内，当时，点在外，进而解答即可．
【详解】解：，，
，
由折叠可得，
，
当时，点在内（如图所示），
，
，
，
由折叠得，
，
，
；
当时，点在外，
同理可得，
，
；
．
综上所述：的长为3或6．
故答案为：3或6．
【题型8 含30°的直角三角形的实际应用】
【例8】小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度．
【答案】(1)见详解
(2)池塘宽度为
【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论；
（2）延长交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，得；然后证明为含30度角的直角三角形，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，进而可解得，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：延长交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：池塘宽度为．
【变式8-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
【答案】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，
，
，
，，
，
，
，
每平方米售价元，
购买这种草皮的价格：元．
故答案为：．
【变式8-2】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱分别垂直于横梁，若，则立柱的长为 ．

【答案】2
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得，再利用等腰三角形的性质得，然后由含度的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【变式8-3】密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点分别表示两个水质监测站，监测人员上午时在A处完成采样后，测得实验室在A点北偏东方向．随后监测人员乘坐监测船继续向东行驶，上午时到达处，同时测得实验室在点北偏西方向，其中监测船的行驶速度为．
(1)在图中画出实验室的位置；
(2)已知A、两个水质监测站的图上距离为．
请你利用刻度尺，度量监测船在处时到实验室的图上距离；
估计监测船在处时到实验室的实际距离，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据方向角的定义画出图形即可；
（2）①利用测量法解决问题即可；
②利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：①度量监测船在处时到实验室的图上距离为；
②由题意，，
，
，
处时到实验室的实际距离为：．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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