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专题16.1 幂的运算（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 2
【题型2 幂的乘方及其逆用】 2
【题型3 积的乘方及其逆用】 3
【题型4 利用幂的运算比较大小】 3
【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 3
【题型6 利用幂的运算求幂的值】 4
【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 4
知识点1 同底数幂的乘法
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
因此，我们有．
2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；．
知识点2 幂的乘方
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
因此，我们有．
底数a为负数时，
2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点
知识点3 积的乘方
1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有．
2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
知识点4同底数幂的除法
一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】
【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ．
【变式1-1】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知，则的值是 ．
【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（ ）
A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15
【题型2 幂的乘方及其逆用】
【例2】（24-25七年级下·河北保定·期末）若x，y均为正整数，且，则的值为 ．
【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则 ．
【变式2-2】若，则 ．
【变式2-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ．
【题型3 积的乘方及其逆用】
【例3】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（ ）
A．84 B．86 C．94 D．96
【变式3-1】（2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ．
【变式3-2】（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 利用幂的运算比较大小】
【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】比较大小：
【变式4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ．
【变式4-3】已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ．
【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】
【例5】若，均为正整数，且，则的值为 ．
【变式5-1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ．
【变式5-2】（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）已知，则m的值为 ．
【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ．
【题型6 利用幂的运算求幂的值】
【例6】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ．
【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则代数式的值为 ．
【变式6-2】若，则的值是 ．
【变式6-3】已知，．
（1）的值为 ；
（2）若，则的值为 ．
【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】
【例7】（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______，______；
(2)证明：；
(3)若，，，探究，，的关系．
【变式7-1】已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ．
【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ．
【变式7-3】若，试探究代数式与之间关系．
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【人教版2024】
【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 2
【题型2 幂的乘方及其逆用】 4
【题型3 积的乘方及其逆用】 5
【题型4 利用幂的运算比较大小】 7
【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 8
【题型6 利用幂的运算求幂的值】 9
【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 12
知识点1 同底数幂的乘法
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
因此，我们有．
2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；．
知识点2 幂的乘方
1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
因此，我们有．
底数a为负数时，
2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点
知识点3 积的乘方
1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有．
2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
知识点4同底数幂的除法
一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】
【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ．
【答案】72
【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则．首先得到，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可．
【详解】∵，
∴，，
∴．
故答案为：72．
【变式1-1】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据同底数幂的乘法法则进行作答，即可求解．
【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，即：，
选项A为，对应幂的乘方法则（指数相乘），但题目中是乘法，故错误；
选项B为，错误地将底数相乘，不符合法则；
选项D为，底数被错误地相加，结果显然不成立；
选项C符合同底数幂相乘的法则，因此正确答案为C；
故选：C．
【变式1-2】已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查同底数幂乘法的逆用，先求出，然后根据，整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（ ）
A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15
【答案】C
【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则．
首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值．
【详解】，
是一个位数，
整数是一个10位数，
，
可能是，，，
可能是12，13，14．
故选：C．
【题型2 幂的乘方及其逆用】
【例2】（24-25七年级下·河北保定·期末）若x，y均为正整数，且，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，逆用幂的乘方法则，根据同底数幂相乘法则计算即可．
【详解】解∶∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶5．
【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则 ．
【答案】5
【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法，一元一次方程的解法解答即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，解方程，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：由，
得，
故，
解得，
故答案为：5．
【变式2-2】若，则 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
利用幂的乘方和同底数幂的乘法对原式进行变形得，将代入求值即可．
【详解】解：由得，
将代入上式得，
原式，
故答案为：9．
【变式2-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可．
【详解】
解：，，
，
，
．
故答案为： ．
【题型3 积的乘方及其逆用】
【例3】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（ ）
A．84 B．86 C．94 D．96
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答．
【详解】解：∵
，
∴．
故选D．
【变式3-1】（2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ．
【答案】
【分析】本题考查了乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【变式3-2】（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
【变式3-3】（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可．
【详解】解：原式
故选：C．
【题型4 利用幂的运算比较大小】
【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答．
【详解】解：依题意，，，，
∵，
∴，
故选：C
【变式4-1】比较大小：
【答案】＜
【分析】根据两数的特点，先把他们变成底数分别是8和9，指数为4的形式，然后再比较大小．
【详解】，；
∵8＜9，∴，∴＜．
故答案为＜．
【点睛】本题考查了比较乘方的大小．解答本题的关键是把它们转化为指数相同的乘方的形式．
【变式4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案．
【详解】解：
，
∴，
故答案为：．
【变式4-3】已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案．
【详解】解：，，，
∵，
∴，
故答案为：．
【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】
【例5】若，均为正整数，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
即，
∴，
∴．
故答案为： ．
【变式5-1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
即：，
∴，解得：，
故答案为：4．
【变式5-2】（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）已知，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法及幂的乘法，熟知法则是关键．观察各底数，发现都可以用3的幂的形式表示，转化成同底数幂的形式，再利用法则简化式子，最后根据底数相同，指数相等列方程，解出方程即可．
【详解】解：，
，
，
解得．
故答案为：3．
【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
则．
故答案为：3．
【题型6 利用幂的运算求幂的值】
【例6】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴
，
，
故答案为：．
【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，求代数式的值等知识，先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：2．
【变式6-2】若，则的值是 ．
【答案】9
【分析】逆用同底数幂的除法和积的乘方进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴即
故答案为：9．
【点睛】要是主要考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式6-3】已知，．
（1）的值为 ；
（2）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：，，
，
故答案为：；
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】
【例7】（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______，______；
(2)证明：；
(3)若，，，探究，，的关系．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（）根据新定义计算即可求解；
（）设，可得，即得，得到，即得到，即可求证；
（）利用（）的结论可得，，，即得，，，进而得到，即得，即可求解；
本题考查了新定义运算，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：设，
，
，
，
，
；
（3）解：由（）知，，，
，，，
，，，
，
，
即，
．
【变式7-1】已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ．
【答案】
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论．
【详解】解：，
∴、、之间满足的等量关系是；
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用．熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键．
【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案．
【详解】解：，
，即，故①正确；
，
，故②正确；
，，
，故③正确；
，，
．故④错误．
故答案为：①②③．
【变式7-3】若，试探究代数式与之间关系．
【答案】
【分析】由条件可得可得，而，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键．
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