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八年级数学上学期第一次月考·培优卷
【人教版2024】
时间：120分钟 满分：120分 测试范围：三角形~全等三角形
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　）
A．21 B．24 C．27 D．30
4．（3分）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
5．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．（3分）（2025·湖南长沙·三模）在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1、6、6 B．2、3、5 C．2，6，9 D．5、3、10
7．（3分）（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，中，平分，点在上，，若要求的度数，则只需知道（ ）
A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数
8．（3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（3分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）
①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤．
A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ．
12．（3分）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ．
13．（3分）在中，是的平分线，且，若，则的大小为 ．

14．（3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ．
15．（3分）（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为 ．
16．（3分）（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）在中，，将三角形折叠，使得点与线段延长线上的点重合，折痕分别与边交于点，与边交于点，连接交边于点，若，且，则边的长度为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、．
(1)与相等吗？请说明理由；
(2)求证：．
18．（6分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
19．（8分）（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．
(1)求证：；
(2)当点，，在同一条直线上时，求的度数．
20．（8分）（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题探究】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）试说明：．
解：延长到点E，使，
∵D是的中点（已知），
∴（中点定义），
在和中，
∵，
∴（__________）．
（2）探究得出的取值范围是__________；
【问题解决】
（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
21．（10分）（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若是中线，，，则与的周长差为_____；
(2)若，是角平分线，求_____；
(3)若，是高，求的度数．
22．（10分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．

(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等．
23．（12分）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
24．（12分）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则 ， ；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化 若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数．
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【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．本题要判定，已知，，则，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【详解】解：，
，即．
A、添加，可根据判定，故正确，不符合题意；
B、添加，可根据判定，故正确，不符合题意；
C、添加，可根据判定，故正确，不符合题意；
D、添加，不能判定，故错误，符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．
利用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：线段是的高的是选项 A中的图形；
故选：A．
3．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　）
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】C
【分析】根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解．
【详解】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（3分）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键．延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得．
【详解】解：如图，延长和相交于点，
由翻折可知：，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
故选：C．
5．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．证明，可得，再结合等腰直角三角形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
∴的面积为．
故选：C
6．（3分）（2025·湖南长沙·三模）在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1、6、6 B．2、3、5 C．2，6，9 D．5、3、10
【答案】A
【分析】此题考查组成三角形的条件：较短两条线段的和大于较长线段，据此依次判断即可．
【详解】解：A.由，则三条线段能组成三角形，符合题意；
B.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
7．（3分）（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，中，平分，点在上，，若要求的度数，则只需知道（ ）
A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数
【答案】B
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
在上截取，连接，设，，证明和全等得，，则，，由三角形外角性质得，则，进而得，由此得，据此即可得出答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
设，，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是的外角，
，
，
在中，，
，
，
即，
要求的度数，则只需知道的度数即可．
故选：B．
8．（3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键．
根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案．
【详解】解： 是边上的中点，
，
与的周长之差为2，
，
即，
，
，
，
故选C．
9．（3分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∴．
在中，，，
∴．
故选：．
10．（3分）（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）
①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤．
A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法．
解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用．
【详解】① 是的中线，
，
的周长，
的周长，
的周长的周长，
故①说法正确；
②在中，，
，
，
，
又 ，，，是角平分线，
，
，
故②说法不正确；
③ ，是的高，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
故③说法正确；
④ ，是的高，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
故④说法正确；
⑤ ，，，，是的高，
，
，
，
故⑤说法错误．
①③④说法正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．根据题意即可得到答案．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
12．（3分）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ．
【答案】5.5平方厘米
【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：如图所示，
∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米，
∴图中每个小方格的边长都是1厘米，
∴，，，，，，
∴（平方厘米）．
故答案为：5.5平方厘米．
13．（3分）在中，是的平分线，且，若，则的大小为 ．

【答案】33°
【分析】可在AB上截取AE＝AC，先根据SAS证明△AED≌△ACD，可得DE=DC，然后根据全等三角形的性质、题中条件可得BE＝ED，进而可得∠C＝∠AED＝2∠B，而由三角形的内角和易求得∠B+∠C的度数，进一步即可求出答案．
【详解】解：如图，在AB上截取AE＝AC，
在△AED和△ACD中，
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴DE=DC，∠C＝∠AED，
∵AB＝AC+CD，AB＝AE+EB，
∴CD＝BE，
∴BE＝ED，
∴∠EDB＝∠B，
∴∠C＝∠AED＝2∠B，
又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝99°，
∴∠B＝33°．
故答案为：33°．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
14．（3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
连接，利用、是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15．
15．（3分）（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得．
【详解】解：∵是中的平分线与外角的平分线的交点，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
16．（3分）（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）在中，，将三角形折叠，使得点与线段延长线上的点重合，折痕分别与边交于点，与边交于点，连接交边于点，若，且，则边的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形，全等三角形，掌握折叠轴对称的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解决问题的关键．
过点作，根据直角三角形两锐角互余可得出三角形是等腰三角形，进而得出，由，得出，再根据，利用全等三角形的性质可得，，从而可求．
【详解】解：过点作于点，
，
，
由折叠得，，，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、．
(1)与相等吗？请说明理由；
(2)求证：．
【答案】(1)与相等，理由见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义，
（1）在和 中，利用即可证明，则；
（2）根据题意得 ， ，则，结合（1）得，即可证明，有．
【详解】（1）解：与相等，
理由如下：连接，
在和 中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵点E与F分别是、的中点，
∴ ， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18．（6分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
（）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证；
（）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解；
【详解】（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
19．（8分）（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．
(1)求证：；
(2)当点，，在同一条直线上时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）由旋转的性质得，再根据三角形三边关系即可求证；
（）由旋转可得 ，，即得，又可得，利用三角形内角和定理求出即可求解；
本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质等，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：由旋转可得，，
∵，
∴；
（2）解：由旋转可得， ，，
∵点在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
20．（8分）（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题探究】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）试说明：．
解：延长到点E，使，
∵D是的中点（已知），
∴（中点定义），
在和中，
∵，
∴（__________）．
（2）探究得出的取值范围是__________；
【问题解决】
（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题．
（1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明；
（2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围；
（3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长．
【详解】（1）解：延长到点E，使，
∵D是的中点（已知），
∴（中点定义），
在和中，
∵，（对顶角相等）
∴；
故答案为：对顶角相等；．
（2）由题意可得：，
∵，
即，
∴．
故答案为：．
（3）延长交的延长线于点F，如图：
∵，，
∴
在和中．
∴，
∴，，
∵，
∴垂直平分
∴，
∴．
21．（10分）（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若是中线，，，则与的周长差为_____；
(2)若，是角平分线，求_____；
(3)若，是高，求的度数．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键；
（1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算；
（3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算．
【详解】（1）解：是的中线，
，
，，
与的周长差为：，
故答案为：2；
（2）解：，
，
是的角平分线，是角平分线，
，，
，
，
故答案为：；
（3）解：是高，
，
，
，
平分，
，
在中，．
22．（10分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．

(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明；
（3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明．
【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，
，，
又，
，
即，
在和中，
，
；
（2）∵，
，，
又，，
，
，
即．
（3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，即点A到边，所在直线的距离相等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（12分）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合．
（1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果；
（2）根据，，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
24．（12分）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则 ， ；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化 若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴；
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴
．
∴．
由（）可知不变，
∴．
（3）解：设，
由（2）可知，．
∵，
∴可分类讨论：①当时，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∴，
解得：，
∴；
③当时，
∴，
解得：，
∴；
④当时，
∴，
解得：，
∴．
综上可知或或或．
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