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第十三章 三角形·拔尖卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键．
先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答．
【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个．
故选D．
2．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（ ）．
A．9 B．8 C．5 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行作答，即可求解；
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
逐一核对选项，只有选项C符合，
故选：C
3．（3分）（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设，，是边上的中线，
，
分两种情况：
当的周长比的周长大6时，
，
解得：，
的三边长分别为12，12，6，
，
能组成三角形；
当的周长比的周长大6时，
即，
解得：，
的三边长分别为8，8，14；
，
能组成三角形；
综上所述：的长为6或14．
故选：C．
4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，设，由翻折得，根据三角形内角和得到，求出的值，再利用三角形内角和求出的度数．
【详解】解：设,
由翻折的性质可得,, ,
∴,
∵,
，
在中,,
在中，，
，
∴,
∴,
故选: A．
5．（3分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，平分，点P为线段AD上一点，过点P作交的延长线于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的性质即可求出度数，进一步求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键．
由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答．
【详解】解：∵，
，
∵，
，
∵，
∴，，
，
．
故选：D．
7．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】据三角形ABC的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
【详解】解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有6个，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
8．（3分）（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键．
根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解．
【详解】解： 段之和为，
若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，，
，
，
小段的长度分别为，，，，，，，，，，
的最大值为．
故选：B．
9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解．
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
∵E为边的中点，
，
∵沿折叠后得到，
，，，
，，
，．
设，，
，
，
∵中，，
∴，
又∵，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
故④正确；
∵
，
∴为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度．
【答案】43
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
由题意可知，，
在中，，
∴，
又 ，，
，
即，
在中，，
∴，
故答案为：43．
12．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
13．（3分）（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ．
【答案】11或4
【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
将的周长分为10和15两部分，分2种情况：
①，
则：，
∴，
∴，
∴；
②，
则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：11或4．
14．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ．
【答案】4或6
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键．
由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解作答即可．
【详解】解：由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解；
当在左侧时，如图1，
∵，是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴；
当在右侧时，如图2，
同理，，
∴；
综上所述，的长为4或6，
故答案为：4或6
15．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ．
【答案】/35度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接，根据三角形内角和定理可得的度数，再由折叠的性质可得，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴
由折叠的性质得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
16．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ．
【答案】/度
【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为： ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，．
(1)求的取值范围；
(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
【答案】(1)
(2)17
【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可．
（1）根据三角形的三边关系即可得到答案；
（2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
即
则的取值范围为；
（2）由（1）得
为偶数
为6，8，10
要组成三角形的周长最小，
只能为6，
三角形的周长最小为，
则三角形的周长最小为17
18．（6分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的高线和角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．
（1）由三角形高线可得，再利用三角形内角和定理，先求出，再求出即可；
（2）由角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：是的高线，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
，
．
19．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠．
(1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质．
（1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题；
（2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题．
【详解】（1）解：．
证明：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
20．（8分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握．
（1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解；
（2）根据三角形高线的定义作出即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解： 为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
21．（10分）（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，四边形中，，平分，，交于点．

(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分．
【答案】(1)①见解析 ②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据多边形内角和可证得，结合，即可得到结论．②根据角平分线的定义可求得，结合，可证得，即可得到结论．
（2）延长，交于点，可先证得，结合，，可求得．
【详解】（1）①∵，，
∴．
∵，
∴．
②∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）延长，交于点，如图所示：

∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
22．（10分）（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合．
（1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果；
（2）根据，，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
23．（12分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由．
(1)数学思考：请你解答上边的问题；
(2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接．
①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由；
②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①，理由见解析；②或
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键；
对于（1），根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，然后根据等量代换得出答案；
对于（2），分两种情况：当点在点右侧时，先根据平行线的性质得，进而得出，及，然后根据三角形外角的性质得，可得答案；当点在点和A之间时，仿照上述解答过程，最后根据解答即可．
【详解】（1）解：．
理由：因为，
所以.
因为平分，
所以，
所以；
（2）①解：．
理由：因为，
所以，
所以，
所以．
②解：当点在点右侧时因为，
所以，，
所以.
因为平分，
所以.
因为，
所以；
当点在点和A之间时，
因为，
所以，
所以.
因为平分，
所以，
因为，
所以．
24．（12分）（24-25八年级下·河北承德·期末）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
(1)已知：如图1，在中，求证：
证明：延长线段至点，并过点作．
∵（已作），
∴ （两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
同时发现，外角 ．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和．
【实践运用】
(2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：．
【拓展提升】
(3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ．
(4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ．
【答案】(1) 它不相邻
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的应用，角平分线性质，借助三角形的内角和由第二问得到是解决本题的关键．
（1）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”即可证明．
（2）根据三角形的内角和为将角度进行等量代换证明即可．
（3）由（2）中的结论可得，与，再结合角分线的性质等量代换求解即可．
（4）由（2）中结论可得，再由三角形内角和为即可求解．
【详解】（1）证明：延长线段至点，并过点作．
∵（已作），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
同时发现，外角．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
故答案为：；；；它不相邻．
（2）证明：在中，，
在中，，
又∵，
∴．
（3）解：设与交点为点E，如图，
∵，
由（2）中的结论可知，
在和中，，
在和中，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
，
两式相减可得，，
∴解得．
故答案为：．
（4）解：设与相交于点O，连接，如图，
由（2）中结论可知，在和中，，
在中，，
即，
∴图中五个角的度数和为．
故答案为：．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第十三章 三角形·拔尖卷
【人教版2024】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（ ）．
A．9 B．8 C．5 D．2
3．（3分）（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，平分，点P为线段AD上一点，过点P作交的延长线于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．4
7．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度．
12．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ．
13．（3分）（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ．
14．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ．
15．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ．
16．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，．
(1)求的取值范围；
(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
18．（6分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
19．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠．
(1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系．
20．（8分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
21．（10分）（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，四边形中，，平分，，交于点．

(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分．
22．（10分）（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
23．（12分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由．
(1)数学思考：请你解答上边的问题；
(2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接．
①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由；
②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数．
24．（12分）（24-25八年级下·河北承德·期末）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
(1)已知：如图1，在中，求证：
证明：延长线段至点，并过点作．
∵（已作），
∴ （两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
同时发现，外角 ．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和．
【实践运用】
(2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：．
【拓展提升】
(3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ．
(4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ．
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