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第十三章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版2024】
【培优篇】 4
【题型1 三角形的概念及其分类】 4
【题型2 构成三角形的条件】 5
【题型3 三角形的稳定性】 6
【题型4 利用三角形的中线求周长】 6
【题型5 直角三角形的性质及判定】 7
【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】 8
【拔尖篇】 9
【题型7 三角形三边关系的应用】 9
【题型8 利用三角形的中线求面积】 10
【题型9 与三角形的高有关的分类讨论】 11
【题型10 与角平分线有关的角度计算】 11
【题型11 与平行线有关的角度计算】 13
【题型12 与翻折有关的角度计算】 14
知识点1 三角形的概念
1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．
2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角．
3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．
知识点2 三角形的分类
1. 等腰三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
2. 三角形的分类
（1）按边分类
三边都不相等的三角形
（2）按角分类
知识点3 三角形的三边关系
1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
3. 三角形具有稳定性．
知识点4 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部．
知识点5 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部．
知识点6 三角形的高
1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．
2. 三角形的三条高的特性
名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
知识点7 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.．
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．
知识点8 直角三角形的性质及判定
1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．
2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ．
知识点9 三角形的外角
1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3. 三角形的外角和等于360°．
在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．
【培优篇】
【题型1 三角形的概念及其分类】
【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．9个
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．有一个内角是锐角的三角形是锐角三角形 B．钝角三角形的三个内角都是钝角
C．有一个内角是直角的三角形是直角三角形 D．三条边都相等的三角形称为等腰三角形
【变式1-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【变式1-3】如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个．
【题型2 构成三角形的条件】
【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ．
【变式2-1】（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．9
【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ．
【变式2-3】已知a， b， c是的三边．
(1)，， 则c的取值范围是 ；
若c为偶数，则的最大周长为 ．
(2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长．
【题型3 三角形的稳定性】
【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质．
【变式3-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ．
【变式3-3】如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条．
【题型4 利用三角形的中线求周长】
【例4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点．
(1)若是的中线，，求与的周长之差；
(2)若是的高，，求的度数．
【变式4-1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ．
【变式4-2】如图，在中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．
【变式4-3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
【题型5 直角三角形的性质及判定】
【例5】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为（ ）度．
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度．
【变式5-2】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式5-3】如图，点分别在上，连接，于点，．

(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】
【例6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ．
【变式6-1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，，求的度数．
【变式6-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（ ）
A．100° B．200° C．180° D．210°
【变式6-3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ．
【拔尖篇】
【题型7 三角形三边关系的应用】
【例7】（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
【变式7-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为奇数，求c的值；
(2)化简：．
【变式7-3】（2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形.
（1）量出；
（2）在点右侧取一点，使点满足；
（3）将向右翻折，向左翻折.
若要使、两点能在点处重合，则长可能为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【题型8 利用三角形的中线求面积】
【例8】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式8-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ．
【变式8-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【题型9 与三角形的高有关的分类讨论】
【例9】（24-25七年级下·江西吉安·期末）在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ．
【变式9-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ．
【变式9-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ．
【变式9-3】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是
【题型10 与角平分线有关的角度计算】
【例10】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ．
【变式10-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °．
【变式10-2】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．
(1)求证：；
(2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N．
①若，求的度数；
②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________．
【变式10-3】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）【问题】如图1，在中，平分，平分，
（1）若，则_______；
（2）若，则_______．
【探究】
（1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______；
（2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由；
【题型11 与平行线有关的角度计算】
【例11】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式11-1】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【变式11-2】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ．
【变式11-3】如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD.
（1）求证：∠EMF＝90°．
（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．
（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥EM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
【题型12 与翻折有关的角度计算】
【例12】如图，长方形中将沿翻折至处，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【变式12-1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则 ．
【变式12-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则 ．
【变式12-3】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；
(2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：；
(3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第十三章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版2024】
【培优篇】 4
【题型1 三角形的概念及其分类】 4
【题型2 构成三角形的条件】 6
【题型3 三角形的稳定性】 8
【题型4 利用三角形的中线求周长】 10
【题型5 直角三角形的性质及判定】 13
【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】 17
【拔尖篇】 20
【题型7 三角形三边关系的应用】 20
【题型8 利用三角形的中线求面积】 23
【题型9 与三角形的高有关的分类讨论】 27
【题型10 与角平分线有关的角度计算】 31
【题型11 与平行线有关的角度计算】 36
【题型12 与翻折有关的角度计算】 41
知识点1 三角形的概念
1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．
2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角．
3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．
知识点2 三角形的分类
1. 等腰三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
2. 三角形的分类
（1）按边分类
三边都不相等的三角形
（2）按角分类
知识点3 三角形的三边关系
1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
3. 三角形具有稳定性．
知识点4 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部．
知识点5 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部．
知识点6 三角形的高
1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．
2. 三角形的三条高的特性
名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
知识点7 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.．
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．
知识点8 直角三角形的性质及判定
1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．
2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ．
知识点9 三角形的外角
1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3. 三角形的外角和等于360°．
在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．
【培优篇】
【题型1 三角形的概念及其分类】
【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．9个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．
根据三角形的概念即可解答．
【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个，
故选：D．
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．有一个内角是锐角的三角形是锐角三角形 B．钝角三角形的三个内角都是钝角
C．有一个内角是直角的三角形是直角三角形 D．三条边都相等的三角形称为等腰三角形
【答案】C
【分析】根据三角形的定义进行判断即可．
【详解】A.有一个内角是锐角的三角形可以是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故A错误；
B.钝角三角形只有一个内角为钝角，其余两个内角为锐角，故B错误；
C.有一个内角是直角的三角形是直角三角形，故C正确；
D.三条边都相等的三角形称为等边三角形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键．
【变式1-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
∴P是等腰三角形；Q是等边三角形，
∴只有乙说法正确，
故选：B．
【变式1-3】如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个．
【答案】4
【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试．
【详解】如图，满足条件的点C共有4个．
故答案为：4．
【题型2 构成三角形的条件】
【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系．
根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可．
【详解】解：∵，，，，
∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，，
∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或，
故答案为： 或．
【变式2-1】（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴的值可以是，
故选：C．
【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
若，则（舍）；
若，则，
∴边的长为3，
故答案为：3．
【变式2-3】已知a， b， c是的三边．
(1)，， 则c的取值范围是 ；
若c为偶数，则的最大周长为 ．
(2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长．
【答案】(1)；18
(2)另外两边长为6，6
【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形周长的计算，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键．
（1）根据三角形三边关系进行求解即可；
（2）根据等腰三角形定义和三角形三边关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴c的取值范围是，
即；
∵c为偶数，
∴，6，8，
∴的最大周长为：，
故答案为：；18．
（2）解：当为腰时，另外两边为4，，
∵，
∴此时三边不能构成三角形，不符合题意舍去；
当为底时，另外两边为，
此时等腰三角形的三边为：，6，6；
综上分析可知：另外两边长为6，6．
【题型3 三角形的稳定性】
【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性判断即可．
【详解】解：A、它是由两个四边形构成，不具有稳定性；
B、它是由三个三角形构成，具有稳定性；
C、它是由两个四边形构成，不具有稳定性；
D、它是有一个三角形和一个四边形构成，不具有稳定性．
故选：B
【变式3-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质．
【答案】具有稳定性
【分析】本题考查三角形具有稳定性的性质，根据三角形具有稳定性的性质，即可解答．
【详解】解：根据三角形具有稳定性，可知，她用到了三角形具有稳定性的性质．
故答案为：稳定性．
【变式3-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ．
【答案】自行车的车架，衣架（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性结合日常生活作答即可．
【详解】解：三角形具有稳定性，在日常生活中自行车的车架，衣架用到三角形的这一特性．
故答案为：自行车的车架，衣架（答案不唯一）
【变式3-3】如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条．
【答案】3
【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可．
【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形．
故答案为3．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键．
【题型4 利用三角形的中线求周长】
【例4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点．
(1)若是的中线，，求与的周长之差；
(2)若是的高，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义得到，利用三角形的周长公式表示出与的周长，两者相减即可得出答案；
（2）根据三角形的高的定义得到，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵是的中线，
∴．
∵，
∴的周长，的周长．
∴与的周长之差为
．
（2）解：∵是的高，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴．
【变式4-1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴的周长 的周长，
故答案为：．
【变式4-2】如图，在中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
∴与的周长差：；
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
【变式4-3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握．
（1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解；
（2）根据三角形高线的定义作出即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解： 为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
【题型5 直角三角形的性质及判定】
【例5】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为（ ）度．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角，熟练掌握直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角是解题的关键．
如图，根据邻补角可知，然后根据直角三角形的两个锐角互余及同角的余角相等可进行求解．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵ ，
∴；
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度．
【答案】56
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：56．
【变式5-2】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
②∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是锐角三角形，
故本小题不符合题意；
④∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
⑤∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
【变式5-3】如图，点分别在上，连接，于点，．

(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键；
（1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出；
（2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】
【例6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可．
【详解】解：设的交点为M，延长交于点N，
∵，的角平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式6-1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和定理与三角形的外角性质并灵活运用．利用三角形的外角性质可得，由三角形的内角和定理可得，即可求的度数．
【详解】解：，，
．
，
即，
解得．
故的度数是．
【变式6-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（ ）
A．100° B．200° C．180° D．210°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键．
根据，，，即可求出．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴
．
故选：C．
【变式6-3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键．
根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得．
【详解】解：在中，，，
，
，是的一个外角，
，，
同理可得：，，
，，
……，
依次类推，．
故答案为：．
【拔尖篇】
【题型7 三角形三边关系的应用】
【例7】（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论．
由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解．
【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是，
如果等腰三角形的腰长是底边长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系；
如果等腰三角形的底边长是腰长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形；
综上所述，等腰三角形的底边长是，
故答案为：．
【变式7-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键．
根据三角形三边之间的关系求解即可．
【详解】解：根据三角形三边之间的关系可得：，
∵，，
∴，
∴，
即．
故选：D．
【变式7-2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为奇数，求c的值；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键．
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案；
（2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，，
∴，
∴，即，
∵c为奇数，
∴；
（2）解：的三边长分别为a，b，c，
∴，
∴，
∴
．
【变式7-3】（2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形.
（1）量出；
（2）在点右侧取一点，使点满足；
（3）将向右翻折，向左翻折.
若要使、两点能在点处重合，则长可能为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设，
，
，
将向右翻折，向左翻折，
，
符合三角形三边关系，
，
即，
解得，
解得，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
【题型8 利用三角形的中线求面积】
【例8】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故选：A．
【变式8-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键．
【详解】∵是的中线，
∴，
由的周长为，的周长，
∵的周长比的周长大，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式8-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，根据，得到，设，则，，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴点C到的距离h一定满足，
又∵，
∴当时，有最小值，最小值为4，
故答案为：4．
【变式8-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比．
连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值．
【详解】解：连接，

设，
∵，
，，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴当时，的面积最大，为，
四边形的面积的最大值是，
故选：B．
【题型9 与三角形的高有关的分类讨论】
【例9】（24-25七年级下·江西吉安·期末）在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ．
【答案】，或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高线，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用三角形内角和定理分别求解即可．
【详解】解：在锐角中，为边上的高，
，，
如图1，当时，此时，满足锐角三角形，
；
如图2，当时，此时，
，满足锐角三角形，，
；
如图3，当时，此时，
，，满足锐角三角形，
；
综上可知，的度数为，或，
故答案为：，或．
【变式9-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答．
【详解】解：如图所示，当在内部时，
，，
又边上的高，
的面积是；
如图所示，当在外部时，
，，
又边上的高，
的面积是；
综上，的面积是或，
故答案为：或．
【变式9-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是分点在线段上及点在线段上两种情况，分点在线段上及点在线段上两种情况考虑，当点在线段上时，利用三角形的外角性质可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数；同理解决，当点在线段．
【详解】解：当点在线段上时，如图1所示，
在中，是高，
，
为的外角，
，
．
平分，
，
；
当点在线段上时，如图2所示，
在中，，，
，
．
平分，
，
．
故答案为：或．
【变式9-3】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是
【答案】或
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可．
【详解】解：如图所示，当高在内部时，

∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，，
∴．
如图所示，当高在外部时，

∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
综上所述，或．
故答案为：或．
【题型10 与角平分线有关的角度计算】
【例10】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数．
【详解】解：∵，平分，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式10-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °．
【答案】
【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，的平分线，
∴，，
∴
，
∵是的平分线，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
又，
，
，解得：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解．
【变式10-2】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．
(1)求证：；
(2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N．
①若，求的度数；
②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________．
【答案】(1)见详解
(2)①；②
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键．
（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答；
②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
，
．
（2）解：∵在和中，，
在和中，，
，
∵平分平分，
，
，即，
．
②、、之间的关系为．
理由如下：如下图，
∵和分别平分和，
，
在和中，，
，
在和中，，
，
，
∴、、之间的关系为．
【变式10-3】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）【问题】如图1，在中，平分，平分，
（1）若，则_______；
（2）若，则_______．
【探究】
（1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______；
（2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由；
【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析
【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（2）将的度数换成，然后求解即可；
探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解；
【详解】问题：（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：
（2）由三角形的内角和定理得，，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：
探究：（1）由三角形的内角和定理得，，
，三等分，，三等分，
，，
，
；
故答案为：；
（2）．
理由如下：由三角形的外角性质得，，
，
是与外角的平分线和的交点，
，，
，
，
；
【题型11 与平行线有关的角度计算】
【例11】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义，可得，由，得到，结合，推出，即可判断①②③，过点N作，由可得，根据，，推出，再根据角平分线的定义，得到，即可判断④．
【详解】解：如图，过点N作，
平分交于M，
，，
，
，
，，
，，
，平分，故①②③正确；
，
，
，，
，
，
和的平分线交于点N，
，故④正确．
故选：D．
【变式11-1】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得；
（2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∵，
∴．
【变式11-2】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．
根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案．
【详解】解： 平分，
，
∵，
，，
平分，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
【变式11-3】如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD.
（1）求证：∠EMF＝90°．
（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．
（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥EM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）∠N＝75°；（3）无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．证明见解析.
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线定义进行判断即可；
（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，根据∠MFE＝∠MFD列出方程，求出x即可得到∠N的度数；
（3）先根据题意得到∠GFQ＝90°﹣∠FGQ，再根据FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD＝2∠GFQ，最后根据∠EHF+∠HFD＝180°，即可得出∠EHF＝2∠FGQ．
【详解】（1）如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，
∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，
∴∠EMF＝90°；
（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，
∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，
∴∠EFM＝90°﹣4x，
∴∠NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，
∵∠MFE＝2∠MFD，
∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），
∴x＝15°，
∴∠MFN＝15°，
∴∠N＝90°﹣15°＝75°；
（3）如图3，∵GQ⊥FM，
∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．
∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．
∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，
又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，
∴∠HFD＝2∠GFQ．
又∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFD＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，
即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【题型12 与翻折有关的角度计算】
【例12】如图，长方形中将沿翻折至处，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据长方形的性质可证得，由翻折的性质得，，可得，再由平行线的性质及直角三角形的性质，可得，，再由三角形外角的性质，可得，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
，，
，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
【变式12-1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，，，则可证明，即可求的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
将沿，翻折，顶点，均落在点处，
，，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
又∵
∴，
，
，
故答案为：．
【变式12-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线间的距离，折叠问题．证明，再由折叠的性质可得，，，根据题意可得当线段最大时，最小，此时最小，则当时， 最小，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∵线段最大，
∴最小，此时最小，
∵，
∴当时， 最小，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式12-3】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；
(2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：；
(3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质求得，再由折叠的性质得，最后根据三角形外角的性质求解即可；
（2）由折叠的性质得，根据直角三角形的性质求得，再根据平行线的判定即可得证；
（3）设，由平行线的性质得，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和定理求得，进而求得即可．
【详解】（1）解：，，
．
∵将沿翻折后得到，
．
．
（2）解：根据翻折可得，
，
．
．
，
．
．
（3）解：，理由如下：
设，
，
．
平分，
．
．
，
．
，
，
，
．
．
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
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