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第十三章 三角形·培优卷
【人教版2024】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
2．（3分）（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25八年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11
C．2，2，3 D．10，5，5
4．（3分）（24-25八年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
8．（3分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点在边上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形．
12．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）若的两条边分别长和，第三边的长是一个奇数，则第三边长 ．
13．（3分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知，，，，，则点到边的距离是 ．
14．（3分）（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ．
15．（3分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，相交于点G，若，，则的大小为 °．
16．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为奇数，求c的值；
(2)化简：．
18．（6分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线．
(1)若的面积为6，则的面积为 ．
(2)当时，求的度数．
19．（8分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)过点B作的平行线；
(4)线段，直接写出点C到直线的距离______．
20．（8分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点．
(1)若，，求的度数．
(2)若的面积为，，求的长．
21．（10分）（23-24八年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由．
22．（10分）（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式．
23．（12分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，的角平分线与外角的角平分线相交于点，与相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图2，平分，连接，当时，求证：．
24．（12分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线于点，点在直线上，点在直线上．
(1)如图1，射线分别是和的角平分线，问点运动过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求的大小；
(2)如图2，延长至，是内的一条射线，与直线相交于点，若的平分线恰好交于点，过点作于，设，试探究和满足的数量关系，并证明；
(3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线所在直线分别相交于，在的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出的度数．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第十三章 三角形·培优卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可．
【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角．
对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形．
对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形．
对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形．
因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定．
故选：D
2．（3分）（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C．
故选：C．
3．（3分）（24-25八年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11
C．2，2，3 D．10，5，5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：A中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
B中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
C中，三条线段能构成三角形，故符合题意；
D中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．
4．（3分）（24-25八年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键
根据三角形的高线的定义，进行判断即可．
【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段，
据此，符合题意的是；
故选：D．
5．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵是的中点，
∴，
故选：．
6．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．（3分）（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键．根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．
【详解】解：由图①的折叠方式可知，，
所以是的角平分线．
由图②的折叠方式可知，，
因为，
所以，
所以，
所以是的高线．
由图③的折叠方式可知，，
所以是的中线．
故选：．
8．（3分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点在边上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，由外角性质可得，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握三角形的外角性质与三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：．
9．（3分）（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，设交于点，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得，，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的序号是①②③④，
故选：．
10．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得，再结合即可求出的度数．②当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，，再结合即可求出的度数．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①如图，当点F在线段上时，
，
，
∵平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
②如图，当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，
，
，
又，，
，
∵平分，
，
，
，
，
中，，
中，，
又，
解得．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形．
【答案】14
【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解．
【详解】解：单独的小三角形有8个，
两层小三角形有4个，
三层小三角形有2个，
共有个，
故答案为：14．
12．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）若的两条边分别长和，第三边的长是一个奇数，则第三边长 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵的两条边分别长和，
∴第三边长，
∵第三边的长是一个奇数，
∴第三边长，
故答案为：3．
13．（3分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知，，，，，则点到边的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查点到直线的距离，根据面积相等即可求出点C到的距离．
【详解】解：如图，作于点D，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴点C到边的距离是．
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ．
【答案】/8厘米
【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键．
根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
15．（3分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，相交于点G，若，，则的大小为 °．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，延长至点，交于点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可．
【详解】解：设的交点为M，延长交于点N，
∵，的角平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为奇数，求c的值；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键．
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案；
（2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，，
∴，
∴，即，
∵c为奇数，
∴；
（2）解：的三边长分别为a，b，c，
∴，
∴，
∴
．
18．（6分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线．
(1)若的面积为6，则的面积为 ．
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合是的中线，的面积为6，即可求出的面积；
（2）先求出，再运用平分，得出，然后运算三角形内角和性质进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6，
∴的面积为；
（2）解：∵，，
∴.
∵平分，
∴.
∵，，
∴，
∴.
19．（8分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)过点B作的平行线；
(4)线段，直接写出点C到直线的距离______．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积．
（1）根据三角形的高的定义画图即可．
（2）根据三角形的中线的定义画图即可．
（3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图．
（4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：过点B作的平行线，如图所示：
（4）解：依题意，，
∵线段，
∴点C到直线的距离．
故答案为：．
20．（8分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点．
(1)若，，求的度数．
(2)若的面积为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形的中线性质及三角形外角的性质，熟记三角形的中线平分该三角形的面积是解题的关键．
（1）直接根据三角形外角的性质解答即可；
（2）先根据E是中点，的面积为10得出的面积，再根据是边上的中线得出的面积，根据求出的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵点E为的中点，的面积为10，
∴，则，
∵是边上的中线，
∴．
则，
∵，
∴．
∵是边上的高线，
∴，
∴．
21．（10分）（23-24八年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答．
（2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
22．（10分）（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，
（1）直接根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解；
（3）同（2）求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（12分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，的角平分线与外角的角平分线相交于点，与相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图2，平分，连接，当时，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和与外角定理，熟练掌握三角形内角和与外角定理是解题的关键．
（1）由角平分线可得，，再由三角形的外角定理可得，，即可求解；
（2）设，，则，那么，由垂直的意义得到，而，则，即可证明．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
24．（12分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线于点，点在直线上，点在直线上．
(1)如图1，射线分别是和的角平分线，问点运动过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求的大小；
(2)如图2，延长至，是内的一条射线，与直线相交于点，若的平分线恰好交于点，过点作于，设，试探究和满足的数量关系，并证明；
(3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线所在直线分别相交于，在的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出的度数．
【答案】(1) 大小不发生变化，
(2)
(3) 为 或
【分析】本题综合考查角平分线性质、三角形内角和与外角定理，通过设角、利用定理推导关系，分情况讨论求解，关键是熟练运用相关定理和性质．
（1）利用直角三角形两锐角和为以及角平分线性质和三角形内角和定理求；
（2）设，，．则，通过角平分线性质和三角形外角定理分别表示出与，进而找与关系；
（3）先求，再分情况讨论与的倍数关系求．
【详解】（1）解：不发生变化，理由如下：
∵
∴，
在中，，
∵射线分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
在中，，
∴大小不发生变化，为；
（2）∵的平分线恰好交于点，
设，，．
∴
∴
即
∴
∴，
，
，
∵
∴，
∴
∴．
（3）∵平分，平分，
∴
∵平分，，
∴．
分情况讨论
情况一：若，，
则，，
∵
∴
．
情况二：若，，则，，
而，不合题意，舍去
情况三：若，则，
∴
而，不合题意，舍去
情况四：若，，
∵
∴
．
综上所述，为或．
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