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第十五章 轴对称·拔尖卷
【人教版2024】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ）
A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392
3．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　）
A．11 B． C． D．
7．（3分）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（3分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
9．（3分）（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
10．（3分）（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
12．（3分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，和的垂直平分线交于点，连结、、，写出和的数量关系 ．
13．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ．
14．（3分）（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
15．（3分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．
16．（3分）（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的长．
18．（6分）（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
19．（8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（8分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，画一格点E，使得；
(2)在图②中的上找一点H，使得．
21．（10分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）．
(1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形；
(2)请求出甲图中各角的度数．
22．（10分）（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，，，作等腰，使．
(1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示；
(2)如图，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若与的面积相等，则的度数为多少？
23．（12分）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系．
(1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
(2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明．
24．（12分）（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o；
(2)过点D作交于点G，连接交于点F．
①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度．
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【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数．
【详解】解：连接，
∵点B关于的对称点E恰好落在上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
故选B．
2．（3分）（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ）
A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392
【答案】C
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
利用镜面对称的性质求解即可．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称，
则该汽车的号码是E6395，
故选：C．
3．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵的两条高，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．（3分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）以及三角形内角和定理，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到等角关系，再结合三角形内角和与已知角度建立等式求解．
由、分别垂直平分、得、故设根据三角形内角和可知；结合，联立方程求出的度数．
【详解】解：∵垂直平分垂直平分
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∴（等边对等角）．
设．
在 中，（三角形内角和定理），
即①．
∵，且
∴②．
将①中代入②，得，
即，
解得．
故选：B．
6．（3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　）
A．11 B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．
根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
【详解】解：过点作，，
为的角平分线，
，
，，
，
为中点，
，
设，，则，
，
．
故选：B．
7．（3分）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，
根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵
∴设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴
∴的形状是等腰三角形．
故选：A．
8．（3分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可．
【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点，
∵是等边三角形，点是的中点，
∴，
∴点在射线上运动，
当点与点重合时，取最小值，此时点重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
9．（3分）（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键．
由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴
同理可得：，，
∴．
故选B．
10．（3分）（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误．
【详解】解：是等边三角形，
，．
．
在和中，
，
，．
，
．
，
．
，
；故①正确．
，
，即．
，
．
，
；故②正确．
③如图，作的平分线交于点K，则，
，
．
，即．
，
．
是等边三角形．
．
在和中，
．
．
．
；故③正确．
，
，，．
由③得，，
．
．
．
．
．
．
，故④错误．
故正确的有，3个，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
【答案】18
【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点
由作图过程可知，为的平分线，
，
，
，
的面积是
故答案为：
12．（3分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，和的垂直平分线交于点，连结、、，写出和的数量关系 ．
【答案】
【分析】利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再结合三角形的内角和定理来推导和的数量关系．本题主要考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ）以及三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 在的垂直平分线上，在的垂直平分线上
∴ ，，
∴，，
∵，，
∴，
∴
故答案为： ．
13．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解．
【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F，
则四边形是长方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵以为斜边作等腰直角，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、动点问题及一元一次方程的应用．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的构成条件．
（1）用t表示线段长度：分情况为确定；或定；
（2）分二种情况讨论，排除时，、两种无解情况．
【详解】解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则．
∵A在延长线上，
∴当P在A到O之间时，
当P在O到B之间时，．
又，A在延长线上，故．
要使为等腰三角形，分以下二种情况：
①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长.
∴，,
∴
解得
②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形，
∴
解得．
综上，t的值为或．
故答案为：或．
15．（3分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解．
【详解】解：如图，过作交于，
是等边三角形，
，
，
，，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ．
【答案】/95度
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又平分，
，
又在和中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）如图，连接，
平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
又中，，
，
，
．
．
18．（6分）（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论；
（2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，
，，
，
为等边三角形；
（2）解：，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴在直角中，，
∴，
∴.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
19．（8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)的长为
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论；
（2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，在边上取一点，使得．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
∴．
20．（8分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，画一格点E，使得；
(2)在图②中的上找一点H，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）构造等腰直角三角形的底角解答即可；
（2）根据题意，得，取格点F，连接交于点H，根据作图，得，解答即可．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂直的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：构造等腰直角三角形的底角，如图所示，
则，
则点E即为所求．
（2）解：根据题意，得，
取格点F，连接交于点H，
根据作图，得，
得到,，
故
故点H即为所求．
21．（10分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）．
(1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形；
(2)请求出甲图中各角的度数．
【答案】(1)丙图中除外的所有等腰三角形：
(2)，
【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的特征，可作出判断；
（2）由等腰三角形的性质，可得，由折叠，得，，则，再在中利用三角形内角和定理列方程，求出的度数，即可解决问题．
【详解】（1）解：丙图中除外的所有等腰三角形：；
（2）解：∵，
∴，
由折叠，得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故甲图中各角的度数分别为．
22．（10分）（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，，，作等腰，使．
(1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示；
(2)如图，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若与的面积相等，则的度数为多少？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)若与的面积相等，则的度数为或
【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案；
（2）过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论；
（3）依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
，
与互余，
，
，
故答案为：；
（2）证明：过点作于点，如图所示：
在中，，
，
，
在中，，
在中，于点，
，
与互补，
，
，
即，
，
于点于点，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下：
依题意有以下两种情况：
当与都是锐角三角形时，
过点作于点，过点作于点，如图所示：
，
，
与的面积相等，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即；
当是锐角三角形，是钝角三角形时，
过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
与的面积相等，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即
，
，
综上所述：若与的面积相等，则的度数为或．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点．
23．（12分）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系．
(1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
(2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明．
【答案】(1)；见解析
(2)成立，；
(3)，见解析
【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解；
（2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证；
（3）在上截取，连接，可证得，即可求证．
【详解】（1）解：之间的数量关系．理由如下：
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在的延长线上截取，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
证明：在上截取，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形．
24．（12分）（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o；
(2)过点D作交于点G，连接交于点F．
①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度．
【答案】(1)15
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点．
（1）由折叠的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解；
（2）①延长交于点N，证明为等边三角形，再证明，即可得线段和之间的数量关系；
②连接，取中点P，连接，则当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，即可求得长度．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，
∴，
由折叠性质得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15；
（2）①，理由如下：
如图，延长交于点N，
设，
由折叠性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴；
②如图，连接，取中点P，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合，
∵P、H分别是的中点，
∴．
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