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第十五章 轴对称·培优卷
【人教版2024】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2025·湖北荆州·三模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形中，若是等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（3分）（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
8．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且，，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；； 其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示
12．（3分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
13．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为
14．（3分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ．
15．（3分）（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °．
16．（3分）（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为、、；并请写出、、的坐标；
(2)求的面积．
18．（6分）如图，在中，是的垂直平分线．
(1)若，的周长是13，求的周长
(2)若中，，求的度数．
19．（8分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若C是的中点，，求的长．
20．（8分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．
(1)试探索与的关系；
(2)若，求的度数．
21．（10分）（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，平分，交于点；
(1)尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的基础上，求证：．
22．（10分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求，的度数；
(3)探索，，之间的数量关系，并说明理由．
23．（12分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得．
(1)求的度数；
(2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明；
(3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数．
24．（12分）（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
(1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ；
(2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）．
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【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此解答即可．
【详解】解：A、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
B、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
C、选项中的汉字是轴对称图形，故符合题意；
D、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
2．（3分）（2025·湖北荆州·三模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，
根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴周长为．
故选：B．
3．（3分）如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由中，，为边上的高，根据等角对等边与三线合一的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵，为边上的高，
∴，，．
无法确定．
故A、C、D正确，B错误．
故选：B．
4．（3分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论．
【详解】解：设D到和的距离分别为和，
∵，
∴，
∴，
即点D到和的距离相等，
∴平分，
∴，
故选：B．
5．（3分）（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形中，若是等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C
6．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键．
分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系．
【详解】解：当为底边时：
周长为，两腰之和为，则腰长为．
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
2． 当为腰长时，周长为，
底边长为，
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
综上，优美比k为或．
故选：C．
7．（3分）（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义．由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图知平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且，，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】分别以为圆心，以长为半径画圆，确定与轴交点的个数，此外作的垂直平分线，确定与轴交点的个数，即可求解．
【详解】解：分别以为圆心，以长为半径画圆，如下图：
此时与轴交点的个数为4，
作的垂直平分线，如上图：
此时与轴交点的个数为1，
故选：B
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．
10．（3分）（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；； 其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
利用证明，可得，，再结合等边三角形的性质即可判断正确；
由，可得，即，即可判断正确；
作的平分线交于点，可证得是等边三角形，得出，利用证明 ，即可判断结论正确；
由，可得．由得．则．可得出．即可判断结论错误．
【详解】解：是等边三角形，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，
．
，
．
，
；
故正确．
，
，即．
，
．
；
故正确．
如图，作的平分线交于点，
则．
，
．
．
即．
，
．
是等边三角形．
．
在和中，
．
．
．
；
故正确．
，
，，．
．
由得，．
．
．
．
．
．
．
．
故错误．
故正确的有，个，
故选：．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出．
过M作于H，由角平分线的性质推出，于是得到．
【详解】解：过M作于H，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
12．（3分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出．
由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和．
【详解】解：是边长为的等边三角形，
，
由折叠的性质得到：，
三个阴影部分的周长的和，
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由且平分，可推出，则可得，，由等角对等边可知，根据题目所给数据即可求得的长．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
15．（3分）（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（3分）（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出．
【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点，
∵．，
∴，
∴,
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为、、；并请写出、、的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)作图见解析，、、
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，求三角形面积．
（1）先找出A、B、C的对应点、、，然后顺次连接、、即可得到答案，根据、、的位置，写出、、的坐标即可；
（2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
；
∴、、；
（2）解：．
18．（6分）如图，在中，是的垂直平分线．
(1)若，的周长是13，求的周长
(2)若中，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到的周长，然后计算即可；
（2）根据三角形内角和求出的度数，根据等腰三角形的性质得到，然后求得的度数．
【详解】（1）∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长是13，
∴，
∴的周长；
（2）在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
19．（8分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若C是的中点，，求的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵C为的中点，
∴．
20．（8分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．
(1)试探索与的关系；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键，
（1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论；
（2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴点P在的平分线上，
即平分，
由（1）得，
∴，
∴．
21．（10分）（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，平分，交于点；
(1)尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的基础上，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的性质定理、正确推理论证是解题关键．
（1）根据垂线的作法即可过作的垂线，垂足为；
（2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，，然后根据等腰三角形三线合一的性质分析证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴点是的中点，即．
22．（10分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求，的度数；
(3)探索，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)，；
(3)，见解析．
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，，，由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，进而得到，作，全等三角形的性质，推出，得到平分，求出；
（3）由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明△是等边三角形，可得，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：△与△都是等边三角形，
，，，
，
在△与△中，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
∴；
∴，
作，
∵，，
∴，
∴平分，
，
（3）解：，
证明：如图，在线段上截取，连接，
，
，
在△与△中，
，
，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
．
23．（12分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得．
(1)求的度数；
(2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明；
(3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数．
【答案】(1)
(2)图见解析，证明见解析
(3)的度数为或或或
【分析】（1）利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，设角求解的度数．
（2）通过折叠性质得到线段和角的关系，结合等腰三角形判定证明
（3）分、、等情况，依据折叠性质和等腰三角形性质计算的度数．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，点即为所求；
∵，
∴，
连接，
∵将沿翻折得，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当，如图，点与点重合，
∴；
当时，如图，
∵将沿翻折得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵将沿翻折得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
当时，点A与P重合，
∴，
综上所述，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理以及图形折叠的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
24．（12分）（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
(1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ；
(2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法.
（1）先证是等边三角形，再证然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系；
（2）在的延长线上截取，可证，可得，再证△，由全等三角形的性质可得结论仍成立；
（3）在上截取，连接，可证△，可得，然后证得∠，可证，即可得出，据此计算即可求解.
【详解】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：，；
（2）（1）问的两个结论还成立；
证明：如图②，在的延长线上截取，连接，
，，
，
，
∴，
，
，
∵，
，
，
的周长为：，
；
（3）如图③，在上截取，连接，
同（2）可证，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
，
，
∵等边的周长为，
，
的周长
，
∴，
故答案为：．
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