资源简介 专题01 全等三角形的九大模型及两大构造方法（举一反三专项训练）【人教版2024】【模型1 平移模型】 4【模型2 翻折(轴对称)模型】 8【模型3 手拉手模型】 13【模型4 半角模型】 19【模型5 一线三等角模型】 26【模型6 雨伞模型】 33【模型7 角平分线模型】 40【模型8 平行线中点模型】 47【模型9 婆罗摩笈多模型】 57【构造方法1 截长补短法】 65【构造方法2 倍长中线法】 74知识点1 全等三角形的常用模型模型一：平移模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等模型二：翻折(轴对称)模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等模型三：手拉手模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等模型四：半角模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系模型五：一线三等角模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等模型六：雨伞模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD模型七：角平分线模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路角平分线模型 利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称等腰三角形或全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移， 这是经常使用的一种解题技巧 角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型 角平分线＋垂直平分型 角平分线＋平行线型 有角平分线时, 常通过角平分线构造等腰三角形或构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形的判定和性质进行解题模型八：平行线中点模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF模型九：婆罗摩笈多模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG知识点2 全等三角形构造方法构造方法一：截长补短法全等模型 模型解读 常见模型 解题思路截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题构造方法二：倍长中线法全等模型 模型解读 常见模型 解题思路倍长中线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD【模型1 平移模型】【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（新课标 开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：．（2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由） 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；（2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）解：仍成立．理由如下（如题图3）：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，在和中，∴；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键．【变式1-1】将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；① ；② ；（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．【答案】（1）△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）见解析.【分析】（1）依据图形即可得到2组全等三角形：①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；（2）依据平移的性质以及矩形的性质，即可得到判定全等三角形的条件．【详解】解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；故答案为△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：由平移性质，得AA′＝C′C，由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．【点睛】本题考查全等三角形的判定以及矩形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平移的性质．【变式1-2】如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．(1)求证： ；(2)若，，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据∠A=∠FCD，∠AFC=∠CFD，即可证明；（2）在中，利用三边关系求出BD的取值范围即可解决问题．【详解】（1）证明：，，在和中，，．（2）解： ，，在中，，，，，．【点睛】本题考查平移变换、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件解决问题，属于中考常考题型．【变式1-3】如图，△ABC是等边三角形，边长为6厘米，将△ABC沿直线BC向右平移4.5厘米到△DEF的位置．（1）求∠ADF的度数；（2）求四边形ABFD的周长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据平行的性质可得，，进而可得，根据，即可求得；（2）由平移可得，，根据已知数据分别计算出，即可求得四边形的周长．【详解】（1）依题意，将△ABC沿直线BC向右平移，，，△ABC是等边三角形,是等边三角形,，，，（2）向右平移4.5厘米，，，△ABC是等边三角形，是等边三角形，，，四边形ABFD的周长为（厘米）．【点睛】本题考查了平移的性质，三角形全等的性质，掌握平移的性质是解题的关键．【模型2 翻折(轴对称)模型】【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则 ．【答案】【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，根据等边对等角，求出，折叠性质，得到，证明，得到，等边对等角，求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵折叠，∴，∵，，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴；故答案为：．【变式2-1】如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积．【答案】49【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，理解折叠的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，得到，，，由三角形的面积计算公式即可求解．【详解】解：∵，∴，即．∵，∴．由翻折的性质，得，∴．在和中，，∴，∴．由翻折的性质可得，∴，∴．【变式2-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长．【答案】【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，根据折叠可得，，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，，由此即可求解．【详解】证明：将沿翻折，点恰好落在上的点处，∴，∴，，，∴，又，∴，∵点是的中点，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴．【变式2-3】如图，在中，． (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状：小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状；(2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明．【答案】(1)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解(2)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．（1）通过证明，得到，即可求解；（2）将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，根据折叠性质可得：，证出，，得出点与点F重合，在中，得出，即可求解．【详解】（1）解：是直角三角形；中，，，将沿折叠，得，连接， ，，，，，，，，，，，，∴线段组成的三角形是直角三角形．（2）解：线段组成的三角形是直角三角形，证明：如图，将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到， 根据折叠性质可得：，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故点与点F重合，如图，则在中，，∴线段组成的三角形是直角三角形．【模型3 手拉手模型】【例3】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（ ） A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解．【详解】解：如图，在上截取，连接， 是等边三角形，，是的中点，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，在与中，，．，，，，，；故选：A．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．【变式3-1】（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．【答案】6【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】解：，，即，在和中，，，，，，，，，，，，故答案为：6．【变式3-2】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)60度(3)，见解析【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到，计算即可；（3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵为等边三角形，∴，∵点A，D，E在同一直线上，∴，∵，∴，∵，∴．（3）解：．理由如下：∵和均为等腰直角三角形，∴∴∴，在和中，，∴，∴，又∵为等腰直角三角形，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．【变式3-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．【答案】或/或【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．分类讨论，当时或时，延长到点，使，连接、，先证，再证，最后证，得，即可得解．【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，，，在△和△中，，，，，是中点，，在△和△中，，，，，，，，，，，，，，，，，，在△和△中，，，，，，，；②当时，如图，延长到点，使，连接、，同①理可得，；综上，的度数为或，故答案为：或．【模型4 半角模型】【例4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．【详解】解：如图，将关于AE对称得到，则，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即与的面积之和为21，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式4-1】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【答案】详见解析【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解．【变式4-2】【问题情境】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故．【知识应用】（1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．．【拓展提升】（2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明．【答案】（1）成立，见详解；（2），见详解【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决．【详解】解：（1）成立．证明：如图，将绕点顺时针旋转得到．，∴，，，，∵，．，，三点共线．，，，，，，；（2）结论：．证明：延长，交于点，如图：四边形是矩形，，，平分，，，在和中，，．，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键．【变式4-3】如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．（1）如图①，当时，则的周长为______；（2）如图②，求证：．【答案】（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题；（2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵是等边三角形，，，∴是等边三角形，，则，∵是顶角的等腰三角形，，，在和中，，，，∵，∴是等边三角形，，，，∴的周长．（2）如图，延长至点，使得，连接，∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，，，，在和中，，，，，∵，，在和中，．，又∵，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．【模型5 一线三等角模型】【例5】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点．(1)如图1，点在线段上，且．①请补全图形；②判断，，之间的数量关系，并证明．(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)①见解析；②，证明见解析；(2)见解析，．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；（1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；（2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证．【详解】（1）解：①补全图形如图所示：②，证明：如图，作交的延长线于，则，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）解：画出如图所示：关系：，作交的延长线于，则，在和中，，，，，，，，，，，在和中，，，，．【变式5-1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ．【答案】9【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，，∴，∴．故答案为：9．【变式5-2】如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时， °， °；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；(2)当等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．【答案】(1)；；小(2)当时，(3)可以；的度数为或【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小；（2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得；（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：，，点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：；；小；（2）解：当时，，理由：，，又，∴，，又 ，，；（3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形；理由：时，，，，，，是等腰三角形；时，，，，，的形状是等腰三角形．【变式5-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．(1)试说明：；(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型．（1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得；（2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得；（3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，，∴∴∴，又，，，，，；（2）成立，理由：，，，又∵，，，，，又，；（3），，，，又，，，，，，，，．【模型6 雨伞模型】【例6】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．【变式6-1】如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．【答案】证明见解析【分析】延长、相交于点，根据角平分线性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可证明；【详解】解：延长、相交于点，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；【变式6-2】求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．【详解】（1）解：如图所示，线段为所求作的线段；（2）已知：如图，是直角三角形，，．求证：．解法一：如图，在上截取一点，使得，连接．∵，，∴．∵，∴是等边三角形．∴，．∵，∴．∴．∴．∵，∴．解法二：如图，延长至点，使，连接．∵，，∴，，∵，，，∴．∴．∴是等边三角形．∴．∵，∴．【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键．【变式6-3】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，，垂足E在 CD的延长线上． 求证∶ ．（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F．可证明△ △ ，依据是 ； 从而得到 ；再证．（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上，，垂足为E，DE与AB相交于点F． 试探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）ABF，ACD，ASA，BF＝CD；（2）BE＝FD，证明见解析【分析】（1）延长BE交AC的延长线与点F，结合已知可证为等腰三角形，利用等腰三角形的性质，再根据全等三角形的判定定理证明线段的相等即可得到答案，（2）过点D作DG，交BE的延长线与点G，与AE交于点H，证明，，，结合题意可证为等腰三角形，于是与（1）同理可证BE＝FD【详解】（1）延长BE交AC的延长线与点F，,CD平分为等腰三角形，在和中（2）BE＝FD，证明如下：过点D作DG∥CA，与BE的延长线交于点G，与AB交于点H则∠BDG＝∠C，DE平分为等腰三角形BE＝BG，结合（1）的证明方法，可证∴BG＝FD ．∵BE＝BG，∴BE＝FD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题关键．【模型7 角平分线模型】【例7】（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】在上截取，连接，由可证得，于是可得，由可证得，于是可得，进而可求得的长．【详解】解：如图，在上截取，连接，平分，平分，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，周长为，，，，，，，解得：，故选：．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式7-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ． 【答案】3【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模型，熟练掌握各性质并准确确定是解题的关键．在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解．【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于， 是的平分线，，，，，∴，，，，解得，∴的最小值是3．故答案为：3．【变式7-2】已知：是的角平分线，且(1)如图1，求证：；(2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．①求证：；②若，且，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)①证明见解析②6【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.（1）用证明，即得；（2）①证明可得，再用证明，即得；②过作于，由，可得，，而，，即得，根据，可求．【详解】（1）证明：是的角平分线，，，，在和中，，，；（2）①，，，，，在和中，，，，在和中，，，；②过作于，如图：由①知：，，，，由①知：，，，，，∴．【变式7-3】（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点， 平分，．，．在和中，，（依据1）（依据2），，，．……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长． 【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；任务二：……，，；应用：延长、交于点， 平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【模型8 平行线中点模型】【例8】如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点．(1)试说明：；(2)若，试说明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（）证明得到，进而由即可求证；（）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证；本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键．【详解】（1）证明：∵是的中线，∴，∵∴，又∵，∴，∴，∵，∴（2）证明：∵ 是边上的高，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，，点E、F在AD上，且满足．(1)求证；(2)若，直接写出面积为面积一半的所有三角形．【答案】(1)见解析(2)、、、【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，中线与面积．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，中线与面积是解题的关键．（1）由，可得，，证明，则，证明，则；（2）由线段的数量关系可得，即是的中线，是的中线，然后根据中线的性质进行求解作答即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∴是的中线，是的中线，∴，∴、、、的面积为面积一半．【变式8-2】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．（1）求证：；（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,①若点在点的右侧，如图2，求证：；②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;(2) ①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∴∠BAC+∠ABC==90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵MN∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE ②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE如图3，延长AC交PQ点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC⊥AC∴C是AF的中点∴AC=FC在△ACD与△FCE中∴∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：；【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论；（2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论；（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）延长，取，连接，如图所示：∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）延长，使，连接，如图所示：∵，，∴，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．【模型9 婆罗摩笈多模型】【例9】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ．【答案】【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．过点E作交延长线于点G，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可．【详解】如图所示，过点E作交延长线于点G∵∴∴又∵，∴∴，∵∴∵∴∴又∵∴∴∴．故答案为：．【变式9-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ．【答案】【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积．【详解】解：如图，作交的延长线于点H．则，，是等腰直角三角形，，，，．在和中，∵，≌ ,，．是等腰直角三角形，，，．在和中， ∵，≌ ,．．故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．【变式9-2】已知如图，，，，，、交于点F．(1)求证：；(2)猜想线段、的数量关系并证明．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）利用平行线的性质和等角的余角相等即可得证；（2）作的延长线于G，分别证明，，即可得证．【详解】（1）证明：∵，，∴，，∴，∴；（2）解：．理由：如图所示：作的延长线于G，∵，∴，在和中，，∴，∴；，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行线的性质以及证明三角形全等是解题的关键．【变式9-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，2，3，中，分别以，为边作和，，，，则有下列结论：①图1中；②如图2中，若是边上的中线，则；③如图3中，若，则的延长线平分于点N．(1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；(2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：与均为等腰直角三角形，，连接，，若F为的中点，连接，求证：．【答案】(1)见解析(2)证明见详解【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解此题的关键．(1)①如图，由“”可证，得，由三角形的面积公式可求解，②如图，延长至，使得，连接，由“”可证，得，，由“”可证，可得，进而可得结论；③如图，过点作，交的延长线于，过点作于，先证，，可得，由“”可证，进而即可得证；(2)延长至K，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，，进而可得结论．【详解】（1）解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于，，，，，，，，，，；如图，延长至，使得，连接，是边上的中线，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，如图，过点作，交的延长线于，过点作于，，，，，，，同理可证，，，，，，的延长线平分于点N；（2）如图，延长至K，使，连接，为的中点，，，，，，，，，，，，，，，，．【构造方法1 截长补短法】【例10】（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ．【答案】13【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答．【详解】解：在上取点G，使，∵，，∴，在与中，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在与中，∴∴．∴∴的周长等于，∵，，，∴的周长等于故答案：．【变式10-1】如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ．【答案】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题．【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵ ，∴ ，故答案为：．【变式10-2】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、．(1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)【答案】(1)；证明见解析(2)，证明见解析(3)【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法．（1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；（2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；（3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可；【详解】（1）解：，证明：延长到，使，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，证明：延长到，使，连接，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：，证明：在上截取，连接，，，，，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【变式10-3】如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论；（2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得， 在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）结论：．理由：如图2中，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如图2中，延长到Q，使得，连接， ∵，∴，∴，，∴ ，∴．延长到，使得，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【构造方法2 倍长中线法】【例11】如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为 A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得．【详解】解：如图，延长到，使得，连接，．，，，在和中，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【变式11-1】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．【详解】解：如图，延长至，使，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．【变式11-2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ．【答案】/【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可．【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G，∵点E是的中点，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴， 设，∵，∴，解得，即．故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线．【变式11-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．【答案】或/或【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．分类讨论，当时或时，延长到点，使，连接、，先证，再证，最后证，得，即可得解．【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，，，在△和△中，，，，，是中点，，在△和△中，，，，，，，，，，，，，，，，，，在△和△中，，，，，，，；②当时，如图，延长到点，使，连接、，同①理可得，；综上，的度数为或，故答案为：或．21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 全等三角形的九大模型及两大构造方法（举一反三专项训练）【人教版2024】【模型1 平移模型】 4【模型2 翻折(轴对称)模型】 6【模型3 手拉手模型】 7【模型4 半角模型】 8【模型5 一线三等角模型】 10【模型6 雨伞模型】 12【模型7 角平分线模型】 13【模型8 平行线中点模型】 15【模型9 婆罗摩笈多模型】 18【构造方法1 截长补短法】 19【构造方法2 倍长中线法】 21知识点1 全等三角形的常用模型模型一：平移模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等模型二：翻折(轴对称)模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等模型三：手拉手模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等模型四：半角模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系模型五：一线三等角模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等模型六：雨伞模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD模型七：角平分线模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路角平分线模型 利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称等腰三角形或全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移， 这是经常使用的一种解题技巧 角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型 角平分线＋垂直平分型 角平分线＋平行线型 有角平分线时, 常通过角平分线构造等腰三角形或构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形的判定和性质进行解题模型八：平行线中点模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF模型九：婆罗摩笈多模型全等模型 模型解读 常见模型 解题思路向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG知识点2 全等三角形构造方法构造方法一：截长补短法全等模型 模型解读 常见模型 解题思路截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题构造方法二：倍长中线法全等模型 模型解读 常见模型 解题思路倍长中线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD【模型1 平移模型】【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（新课标 开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：．（2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由） 【变式1-1】将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；① ；② ；（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．【变式1-2】如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．(1)求证： ；(2)若，，求的取值范围．【变式1-3】如图，△ABC是等边三角形，边长为6厘米，将△ABC沿直线BC向右平移4.5厘米到△DEF的位置．（1）求∠ADF的度数；（2）求四边形ABFD的周长．【模型2 翻折(轴对称)模型】【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则 ．【变式2-1】如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积．【变式2-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长．【变式2-3】如图，在中，． (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状：小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状；(2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明．【模型3 手拉手模型】【例3】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（ ） A．， B．， C．， D．，【变式3-1】（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．【变式3-2】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．【模型4 半角模型】【例4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）A．36 B．21 C．30 D．22【变式4-1】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【变式4-2】【问题情境】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故．【知识应用】（1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．．【拓展提升】（2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明．【变式4-3】如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．（1）如图①，当时，则的周长为______；（2）如图②，求证：．【模型5 一线三等角模型】【例5】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点．(1)如图1，点在线段上，且．①请补全图形；②判断，，之间的数量关系，并证明．(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．【变式5-1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ．【变式5-2】如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时， °， °；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；(2)当等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．【变式5-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．(1)试说明：；(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．【模型6 雨伞模型】【例6】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．【变式6-1】如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．【变式6-2】求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．【变式6-3】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，，垂足E在 CD的延长线上． 求证∶ ．（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F．可证明△ △ ，依据是 ； 从而得到 ；再证．（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上，，垂足为E，DE与AB相交于点F． 试探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论．【模型7 角平分线模型】【例7】（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）A． B． C． D．4【变式7-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ． 【变式7-2】已知：是的角平分线，且(1)如图1，求证：；(2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．①求证：；②若，且，求AC的长．【变式7-3】（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点， 平分，．，．在和中，，（依据1）（依据2），，，．……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长． 【模型8 平行线中点模型】【例8】如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点．(1)试说明：；(2)若，试说明：．【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，，点E、F在AD上，且满足．(1)求证；(2)若，直接写出面积为面积一半的所有三角形．【变式8-2】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．（1）求证：；（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,①若点在点的右侧，如图2，求证：；②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由． 【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：；【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．【模型9 婆罗摩笈多模型】【例9】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ．【变式9-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ．【变式9-2】已知如图，，，，，、交于点F．(1)求证：；(2)猜想线段、的数量关系并证明．【变式9-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，2，3，中，分别以，为边作和，，，，则有下列结论：①图1中；②如图2中，若是边上的中线，则；③如图3中，若，则的延长线平分于点N．(1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；(2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：与均为等腰直角三角形，，连接，，若F为的中点，连接，求证：．【构造方法1 截长补短法】【例10】（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ．【变式10-1】如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ．【变式10-2】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、．(1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)【变式10-3】如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．【构造方法2 倍长中线法】【例11】如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为 A． B． C． D．以上都有可能【变式11-1】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（ ）A． B． C． D．【变式11-2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ．【变式11-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教版2026年八年级上册数学举一反三专题01全等三角形的九大模型及两大构造方法（专项训练）（原卷版）.docx 人教版2026年八年级上册数学举一反三专题01全等三角形的九大模型及两大构造方法（专项训练）（解析版）.docx
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