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专题01 与等腰三角形有关的分类讨论（举一反三专项训练）
【人教版2024】
【题型1 腰与底不明时需分类讨论】 1
【题型2 顶角或底角不明时需分类讨论】 2
【题型3 高在形内或形外需分类讨论】 2
【题型4 遇中线时需分类讨论】 2
【题型5 遇垂直平分线时需分类讨论】 3
【题型6 遇动点时需分类讨论】 3
【题型7 遇动线段时需分类讨论】 4
【题型8 构造等腰三角形时需分类讨论】 5
【题型1 腰与底不明时需分类讨论】
【例1】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ．
【变式1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形两条边长分别为6和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ．
【变式1-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为，若该等腰三角形可以唯一确定，则满足的条件是 ．
【题型2 顶角或底角不明时需分类讨论】
【例2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是 ．
【变式2-1】（24-25七年级上·山东东营·期末）等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ．
【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）若等腰三角形一个外角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
【变式2-3】在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ．
【题型3 高在形内或形外需分类讨论】
【例3】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
【变式3-1】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若等腰三角形的一个内角为，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 ．
【变式3-2】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ．
【变式3-3】（24-25九年级上·上海·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是 ．
【题型4 遇中线时需分类讨论】
【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，是的中线，E为边上的一点．若是等腰三角形，则的度数是
【变式4-1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）等腰三角形，，中线把这个三角形的周长分成和的两部分，则三角形的底边长为 ．
【变式4-2】等腰三角形腰长为，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为，则这个等腰三角形的周长为 ．
【变式4-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ．
【题型5 遇垂直平分线时需分类讨论】
【例5】△的两边、的垂直平分线分别交直线于、，且，则的度数 ．
【变式5-1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为，则三角形的底角为 ．
【变式5-2】在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为 ．
【变式5-3】已知，在中，，的垂直平分线交直线于点．当时，则的度数为 ．（用含α的式子表示)
【题型6 遇动点时需分类讨论】
【例6】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（ ）
A．5 B．5或8 C． D．4或
【变式6-1】（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（ ）．
A． B． C． D．或
【变式6-2】如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒．
【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，．动点从点出发，沿边，向点运动．在整个运动过程中，点存在（ ）位置，使为等腰三角形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型7 遇动线段时需分类讨论】
【例7】（24-25九年级上·云南保山·期中）已知是等边三角形，将绕点 B 旋转得到，连接，过点作直线于点 D，则的度数为 ．
【变式7-1】（24-25八年级上·上海·期中）如图：已知中，，，将绕点旋转得到，所在的直线与直线交于点，那么的度数是 ．
【变式7-2】如图，O是内的点，，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接．设为α，当为等腰三角形时，α为 ．
【变式7-3】在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ．
【题型8 构造等腰三角形时需分类讨论】
【例8】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，是平分线上的一点，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为 ．
【变式8-1】如图，在中，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（　　）

A． B． C． D．
【变式8-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ．
【变式8-3】（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 与等腰三角形有关的分类讨论（举一反三专项训练）
【人教版2024】
【题型1 腰与底不明时需分类讨论】 1
【题型2 顶角或底角不明时需分类讨论】 3
【题型3 高在形内或形外需分类讨论】 6
【题型4 遇中线时需分类讨论】 10
【题型5 遇垂直平分线时需分类讨论】 13
【题型6 遇动点时需分类讨论】 17
【题型7 遇动线段时需分类讨论】 21
【题型8 构造等腰三角形时需分类讨论】 26
【题型1 腰与底不明时需分类讨论】
【例1】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分长为的边分别为腰和底边，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当长为的边为腰时，底边长为：，
此时：，三边能构成三角形，符合题意；
当长为的边为底边时，腰长为：，
此时：，三边能构成三角形，符合题意；
故答案为：或．
【变式1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形两条边长分别为6和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】22或26
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．
分两种情况，底边为6和底边为10时，分别求得周长，并检查两种情况是否都能构成三角形
【详解】分两种情况，底边为6，周长为，经验证，这种情况是成立的；
底边为10，周长为，经验证，这种情况是成立的．
故答案为：22或26．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可．
【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如；
∴共有5个，
故答案为：5．
【变式1-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为，若该等腰三角形可以唯一确定，则满足的条件是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当为顶角，则的取值范围为；
当为底角，则的取值范围为；
故答案为：或．
【题型2 顶角或底角不明时需分类讨论】
【例2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论即可得出结论．
【详解】解：在中，设，分情况讨论：
当为底角时，，解得，则；所以，三个分别为；．
当为底角时，，解得，所以，三个分别为；．
当时，，此种情况不存在，
所以，该等腰三角形中最小的内角的度数是或．
故答案为：或．
【变式2-1】（24-25七年级上·山东东营·期末）等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
分情况讨论这个的角是顶角还是底角．
【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为；
若的角是底角，则顶角是，
综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或．
故答案是：或．
【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）若等腰三角形一个外角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.
根据题意求出等腰三角形的一个内角为，再分这个角是顶角、底角两种情况讨论求解即可.
【详解】解：等腰三角形一个外角是，
等腰三角形一个内角度数是，
当顶角的度数为时，两个底角的度数均为，
当底角的度数为时，顶角的度数为，
这个等腰三角形的顶角的度数是或，
故答案为：或.
【变式2-3】在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ．
【答案】、或
【分析】根据题意分为若及进行讨论，再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图1，在中，，若，

点在直线边上，为直角三角形，且当时，
；
如图2，在中，，若，
点在直线边上，为直角三角形，且当时，

；
如图3，在中，，若，

点在直线边上，为直角三角形，且当时，
；
如图4，在中，，若，

点在直线边上，为直角三角形，且当时，
，
；
故答案为：、或
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
【题型3 高在形内或形外需分类讨论】
【例3】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．
【详解】解：①当原等腰三角形为锐角三角形时可以画图，则，
∴顶角为；
②当原等腰三角形为钝角三角形时可以画图，
此时垂足落到三角形外面，则，
∴顶角为；
故答案为：或．
【变式3-1】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若等腰三角形的一个内角为，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当的角为顶角时，则：两个底角的度数为：，
∴一腰上的高与底边所夹的角的度数是：，
当的角为底角时，则：一腰上的高与底边所夹的角的度数是：；
故答案为：或．
【变式3-2】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】解：①如图1，当是钝角时，
由题意：，
∴，
②如图2，当是锐角时，
由题意：，
∴，
∴，
综上，该等腰三角形的底角的度数为或，
故答案为：或．
【变式3-3】（24-25九年级上·上海·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键；
分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可；
【详解】解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半，
设等腰三角形中，，是底边上的高，为底边，且．
是底边上的高，
D为中点，即，
，
，
，
，
顶角；
，
当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半
设等腰三角形中，，是腰上的高，，
在中，
，
，
即此时顶角为；
当等腰三角形是钝角三角形时，
设等腰三角形中，，是腰延长线上的高，，
在中，
，
顶角，
综上所述：这个等腰三角形的顶角是或或．
故答案为：或或．
【题型4 遇中线时需分类讨论】
【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，是的中线，E为边上的一点．若是等腰三角形，则的度数是
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．先由，是的中线，且得到，，再分两种情况讨论得出结果．
【详解】解：∵，是的中线，且，
∴，
∴，
①当时，
，
则；
②当时，
，
故的度数是或．
故答案为：或．
【变式4-1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）等腰三角形，，中线把这个三角形的周长分成和的两部分，则三角形的底边长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，分腰长与腰长的一半是和两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可．
【详解】如图，设腰长为．
①腰长与腰长的一半是时，
，
∴，
∴底边，
∵
∴三角形的三边为、、，能组成三角形；
②腰长与腰长的一半是时，
，
∴，
∴底边，
∵，
∴三角形的三边为、、，能组成三角形，
故答案为：或．
【变式4-2】等腰三角形腰长为，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】或/20或16
【分析】由为中点，得到，再根据将其周长分成两部分的差为，分别表示出分三角形周长的两部分，求出方程的解得到的长．
【详解】解：，为中点，
，
根据题意得：或，
即或，
解得：或，
故周长为或，
故答案为：或．

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是求出底边的长，同时注意因为没有指明周长分成两部分的长短，故求出有两解，不要遗漏．
【变式4-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出度数和，再分三种情况讨论为等腰三角形时的度数．
【详解】解：，是边上的中线，
平分，（等腰三角形三线合一）．
，
，．
情况一：当时
，，
．
，
．
情况二：当时
，，
，则．
，此时，不符合，舍去．
情况三：当时
，，
．
，
．
综上，的度数是或．
故答案为：或 ．
【题型5 遇垂直平分线时需分类讨论】
【例5】△的两边、的垂直平分线分别交直线于、，且，则的度数 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，
分三种情况：当是锐角时，根据线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质得，然后表示，最后根据三角形的内角和定理得出答案；当是直角，不符合题意；当是钝角时， 先表示出，再表示出，然后根据三角形内角和定理得出答案.
【详解】解：当是锐角时，如图所示，
∵的两边的垂直平分线分别交于直线于点D，E，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
解得.
当是直角，不符合题意；
当是钝角时，如图所示，
∵的两边的垂直平分线分别交于直线于点D，E，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
解得.
所以的度数是或.
故答案为：或.
【变式5-1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为，则三角形的底角为 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形，三角形内角和的知识，解题的关键是分类讨论垂直平分线的位置，根据等边三角形的性质，三角形的内角和，进行解答，即可．
【详解】解：∵等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为，
∴当是的垂直平分线（图），，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴；
当是的垂直平分线（图），，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴；
故答案为：或．
【变式5-2】在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分两种情况讨论：当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，继而根据线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质求解即可．
【详解】当点E在线段上时，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
当点E在线段的延长线上时，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：或．
【变式5-3】已知，在中，，的垂直平分线交直线于点．当时，则的度数为 ．（用含α的式子表示)
【答案】或
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等．先由得，由此利用三角形的内角和定理可，再由线段垂直平分线的性质得，然后分两种情况讨论可得出答案．
【详解】解：设的垂直平分线交于，垂足为，如图所示：
，
，
，，
，
，
为的垂直平分线，
，
，
当时，
；
当时，
．
故答案为：或．
【题型6 遇动点时需分类讨论】
【例6】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（ ）
A．5 B．5或8 C． D．4或
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论．
根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
根据题意得，，
①当时，，
②当时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
③若时，点P在延长线上，不符合题意．
综上所述，t的值是5或8．
故选：B．
【变式6-1】（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（ ）．
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，数形结合，分类讨论，①如图所示，；②如图所示，；由此即可求解，解题的关键是正确分类，熟练等腰三角形的判定和性质．
【详解】解：∵，，
∴，则，
①如图所示，，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∴；
②如图所示，，即是等腰三角形，

∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
故选：D
【变式6-2】如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒．
【答案】1或3/3或1
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点，
∴，
∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵动点的速度为/秒，
∴当从时，，当从时，．
故答案为：1或3．
【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，．动点从点出发，沿边，向点运动．在整个运动过程中，点存在（ ）位置，使为等腰三角形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义．分三种情况：，，，分别画出图形，得出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
以点A为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，如图所示：

则，
∴当点P运动到点、位置时，为等腰三角形；
以点C为圆心，为半径画弧，交于点，如图所示：

则，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴点与重合；
作线段的垂直平分线，交于点，如图所示：

则此时，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴点与重合；
综上分析可知：点P存在2个位置，使为等腰三角形．
故选：C．
【题型7 遇动线段时需分类讨论】
【例7】（24-25九年级上·云南保山·期中）已知是等边三角形，将绕点 B 旋转得到，连接，过点作直线于点 D，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论求解．
【详解】解：①当顺时针旋转时，如图，
根据题意得，，
∴，
∴；
②当逆时针旋转时，如图，
根据题意得，
∴，，
∴
∴，
综上，的度数为：或，
故答案为：或．
【变式7-1】（24-25八年级上·上海·期中）如图：已知中，，，将绕点旋转得到，所在的直线与直线交于点，那么的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，将绕点顺时针或逆时针旋转得到，由等腰三角形的性质求出，由旋转的性质及三角形外角和定理——三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得出答案，掌握知识点的应用及分类思想讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，
∵，，
∴，
∵，
∴；
如图，将绕点逆时针旋转得到，
∵，，
∴，
∵，
∴；
综上可知：的度数是或，
故答案为：或．
【变式7-2】如图，O是内的点，，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接．设为α，当为等腰三角形时，α为 ．
【答案】或或
【分析】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由，，得，由，，求得，，则，由旋转得，，，则，，求出三个内角分别为，，，再分情况讨论分别列方程求解即可．
【详解】解：，，
，，
，
，，
，，
，，
∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到，
∴，，
∴，， ，
，，
∴，，
∴三个内角分别为，，，
当为等腰三角形，分以下三种情况：
当时，，则，解得；
当时， ，则，解得；
当时，，则，解得；
综上所述，或或，
故答案为：或或．
【变式7-3】在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题．
【详解】解：在中，∵，，点O是的中点，
∴，
∴，，，
①如图，当时，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
②如图，当时，
同理可证
∴，
∴．
③如图中，当时，
同理可证，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【题型8 构造等腰三角形时需分类讨论】
【例8】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，是平分线上的一点，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用．掌握等腰三角形的性质，并进行分类讨论是解答本题的关键．求出，根据等腰得出三种情况：，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解： 是平分线上的一点，
，
分三种情况：①当时，如图，
，
，
，
②当时，如图，
，
，
③当时，如图，
，
，
，
综上所述，的度数为：或或．
故答案为：或或．
【变式8-1】如图，在中，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，

②∵，
∴，
如图2，点P在上时，若，顶角为，

如图3，点P在上时，若，则顶角为，

如图4，点P在上时，若，则顶角为，

综上所述，顶角为或或．
故选：B．
【变式8-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ．
【答案】或．
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可．
【详解】解：，为等腰三角形，
是等腰直角三角形，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
如图1，当点在上时，，则；
如图2，当点在的延长线上时，，则；
综上可知，的长为或
故答案为：或．
【变式8-3】（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
①当，即D点在处时，
此时
；
②当时，即D点在处时，
此时，
③当时，即D点在处时，
此时，
综上所述的度数是或或．
故答案为：或或．
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