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浙江省温州市鹿城区2025—2026学年九年级上学期期中数学模拟训练试卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为
【答案】D
【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意；
故选：D．
2．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为，故A错误；
∴顶点坐标为，故B错误；
当时，，故C正确；
∵
∴二次函数图象开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故D错误；
故选：C．
如图，绕点O顺时针旋转到的位置，
已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
【详解】解：∵绕点O顺时针旋转到的位置，
∴，
而，
∴．
故选：D．
4．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：．
故选：D．
有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键；
本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解；
【详解】解：A、摸出红球的概率为；
B、摸出红球的概率为；
C、摸出红球的概率为；
D、摸出红球的概率为；
∵，
∴A选项摸出红球可能性最大，
故选：A；
如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理和三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质 ．
根据二次函数的性质得到抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大，依次计算出点到对称轴的距离进行比较，即可得到答案 ．
【详解】解：∵抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大，
∵，
，
∴；
故选： D．
8. 2025年春节档电影精彩纷呈，其中《哪吒之魔童闹海》登顶全球动画电影票房榜首位．
小晋和小阳相约观影，他们分别从图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，
则他们选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
列表得出所有等可能的结果数以及小晋和小阳选择的影片相同的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小晋和小阳选择的影片相同的结果有3种，
所以小晋和小阳选择的影片相同的概率为．
故答案为：A．
如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，
连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∵，
，
．
故选：A．
已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，
对称轴为直线对于下列结论：
①；
②；
③（其中）；
④若和均在该函数图象上，且，则
其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键．
根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
把，代入，可得：，解得，
∴，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即（其中），故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，故④错误，
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. 小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】
【详解】试题分析：根据题意和图示，可知所有的等可能性为18种，然后可知落在黑色区域的可能有4种，因此可求得小球停留在黑色区域的概率为：.
12. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，
点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，
则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交点C，
∴，
，
点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，
，
∵二次函数与一次函数的图象经过点和点，
∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即，
故答案为：．
如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，
若．则的度数为
【答案】/45度
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出旋转角是解题关键．由题意得出，再结合求解即可．
【详解】解：由旋转可知，
∴．
故答案为：．
圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，
某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径
【答案】1.3
【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【详解】解：设圆的半径为，
由题意可知，，，
中，，，
所以，
解得．
故答案为：1.3
15. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点，
则该抛物线所对应的函数式为 ．
【答案】y＝-（x﹣4）2+3
【分析】根据二次函数的顶点式即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：根据题意，得
设抛物线对应的函数式为y＝a（x﹣4）2+3
把点（0，）代入得：
16a+3＝
解得a＝﹣，
∴抛物线对应的函数式为y＝﹣（x﹣4）2+3
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+3．
16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结．
已知于点，；下列结论：
①； ②若点为的中点，则；
③若，则； ④；
其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴
故①正确，符合题意；
②∵点为的中点，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③连接，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④∵，
∴，
当时，，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：
有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，
同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．
否则小亮获胜．
转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________；
请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平．
【答案】(1)
(2)游戏不公平
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．
(1)直接利用概率公式计算即可；
(2)先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出配成紫色的结果数和配不成紫色的结果数，然后根据概率公式求解即可；
【详解】（1）解：转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有9种可能出现的结果，其中配成紫色的有5种，配不成紫色的有4种，
，因此游戏不公平．
18．已知二次函数，经过点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)若点在该函数图象上，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质：
（1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式；
（2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值．
【详解】（1）将点代入二次函数得：，
二次函数解析式为：．
（2）将点坐标代入得：，
解得：．
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．
格点A，B，C在同一个圆上． 请只用无刻度直尺分别在给定网格中按照下列要求作图，
并保留作图痕迹．

(1)在图1中，画出圆心；
(2)在图 2 中，在上画点，并连结，使平分．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图、垂径定理的推论、圆周角定理等知识点，
（1）连接，由圆周角定理可知为圆的直径，取的中点O，则点O即为所求；
（2）取的中点O，连接，再取的中点D，连接并延长交于点E，连接即可；
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】（1）如图，连接，由圆周角定理可知为圆的直径，取的中点O，

∴点O即为所求；
（2）如图，在（1）的基础上，连接，再取的中点D，连接并延长交于点E，连接，

由垂径定理的推论可知，，
∴，即，平分，
∴即为所求．
某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，
使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．
以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式；
要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
【答案】(1)；
(2)m．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）当时，代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设，
把代入，得：，
解得：，
∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：．
（2）在中，
当时，（），
答：这个装饰物的设计高度（）．
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
求w与x之间的函数关系式；
该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【详解】（1）解：在中，令得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
（3）解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，
连结，，分别交于点，．
求与的数量关系，并说明理由；
若，且，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识求解．
（1）由垂径定理可得，由三角形中位线定理即可求解；
（2）证明，可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
为中点，
，
，
，
；
（2）解： 是直径，
，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
23．如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．

求这个二次函数的解析式．
点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，
设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴．
① 若点N也在二次函数的图像上，求m的值；
② 当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合法是解题的关键．
（1）把，分别代入，利用待定系数法求解即可．
（2）①先求出抛物线的对称轴，由轴可知M点与N点关于对称轴对称，由此即可求解；
②先求得点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为，然后分两种情况：（ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧；（ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧，列不等式求解即可．
【详解】（1）把，分别代入，得：
解得，
抛物线的解析式为；
（2）①抛物线的对称轴是，
轴，且点N在抛物线上，
点M和点N关于抛物线对称轴对称，
，
解得，
的值为；
② 点M的横坐标为m，
点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为．
（ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧时
，
解得：；
（ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧时
，
解得：；
∴当线段与二次函数的图像有两个公共点时， m的取值范围或．
24．已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD相交于点E，且OD⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，若AC＝BD，求弦AC的长．
（2）如图2，若E为弦BD的中点，
① 求证：DF＝2OF．
② 求EF：DF的值．
【分析】（1）由AC＝BD得，根据OD⊥AC知，
从而得，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
利用AF＝AOsin∠AOF可得答案；
（2）①连接BC，证明△DEF≌△BEC（ASA），得出BC＝DF、则可得出结论；
②求出DF＝BC，由勾股定理求出AC，求出EF的长，则可得出答案．
【解答】（1）解：∵OD⊥AC，
∴，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴，即，
∴
∴，
∴∠AOD＝60°，
∵AB＝4，
∴AO＝BO＝2，
∴AF＝AOsin∠AOF＝2，
则AC＝2AF＝2；
（2）①证明：如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO＝∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠EBC，
∵DE＝BE，∠DEF＝∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC＝DF、
又∵AO＝OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OFCB，
∴DF＝2OF；
②解：设OF＝t，则BC＝DF＝2t，
∵DF＝DO﹣OF＝2﹣t，
∴2﹣t＝2t，
解得：t，
则DF＝BC，
∴AC，
∴EFFCAC，
∴．
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浙江省温州市鹿城区2025—2026学年九年级上学期期中数学模拟训练试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为
2．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小
如图，绕点O顺时针旋转到的位置，
已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（ ）
A． B．C． D．
如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8. 2025年春节档电影精彩纷呈，其中《哪吒之魔童闹海》登顶全球动画电影票房榜首位．
小晋和小阳相约观影，他们分别从图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，
则他们选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，
连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，
对称轴为直线对于下列结论：
①；
②；
③（其中）；
④若和均在该函数图象上，且，则
其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. 小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．
12. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，
点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，
则不等式的解集为 ．
如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，
若．则的度数为
圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，
某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径
15. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点，
则该抛物线所对应的函数式为 ．
16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结．
已知于点，；下列结论：
①； ②若点为的中点，则；
③若，则； ④；
其中正确的是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：
有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，
同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．
否则小亮获胜．
转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________；
请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平．
18．已知二次函数，经过点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)若点在该函数图象上，求的值．
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．
格点A，B，C在同一个圆上． 请只用无刻度直尺分别在给定网格中按照下列要求作图，
并保留作图痕迹．

(1)在图1中，画出圆心；
(2)在图 2 中，在上画点，并连结，使平分．
某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，
使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．
以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式；
要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
求w与x之间的函数关系式；
该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，
连结，，分别交于点，．
求与的数量关系，并说明理由；
若，且，求的长．
23．如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．

求这个二次函数的解析式．
点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，
设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴．
① 若点N也在二次函数的图像上，求m的值；
② 当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围．
24．已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD相交于点E，且OD⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，若AC＝BD，求弦AC的长．
（2）如图2，若E为弦BD的中点，
① 求证：DF＝2OF．
② 求EF：DF的值．
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