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2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷
一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
3．方程经过配方后，其结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列关于抛物线的说法正确的是
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为
C．在对称轴的右侧，随的增大而增大
D．抛物线与轴有两个交点
5．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
7．已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A． B．
C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
10．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A．y=3（x+2）2﹣1B．y=3（x﹣2）2+1
C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
11．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（ ）
A．x＞3 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣1
12．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当直线与该图象恰有三个公共点时，则
D．关于x的方程的所有实数根的和为4
二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．已知一元二次方程x2－c＝0有一个根为2，则c的值为 ．
14．设，是一元二次方程的两个根，则 ．
15．如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是 ．

16．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是 .（填序号）
三、解答题（本题共7小题，共72分．）
17．（8分）解方程：
(1)； (2)
18．（10分）已知二次函数的图象经过点A (﹣1，0)，B (3，0)，C(0，﹣3)．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)求此函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
19．（18分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设是方程的两个实根，是否存在值使，若存在，求出值，若不存在，请说明理由．
(3)若方程两实数根为，且满足，求实数的值．
20．（10分）列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米？

21.（10分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
22．（12分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为元，每件商品涨价元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
23．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一﹑单项选择题
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意；
B、，是二元一次方程，不符合题意；
C、，是分式方程，不符合题意；
D、，是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)．
故选C．
3．A
【分析】用配方法把一元二次方程配成完全平方的形式即可解答．
【详解】解：，
移项，两边同时加8得，，
配方得，．
故选：A．
4．D
【分析】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向上；顶点坐标为（0，2）；在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
【详解】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向下；顶点坐标为（0，2）；在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
故选D.
5．A
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
【详解】根据题意得：
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，即可判断．
【详解】解：在一元二次方程，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
7．D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是，根据时，y随x的增大而增大，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴图像的开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，，，
又∵，
∴，
故选：D．
8．D
【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm，
∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm．
依题意得：（45-2x）（25-2x）=625．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键．
【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意；
B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意；
D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．A
【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.
考点：二次函数图象的平移法则.
11．C
【分析】由抛物线的对称性及抛物线经过（3，0）可得抛物线与x轴另一交点，进而求解．
【详解】解：∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵ax2＋bx＋c＞0，
∴y＞0，
∴对应抛物线在x轴上方，即在（﹣1，0）与（3，0）之间．
∴﹣1＜x＜3．
故选：C．
12．D
【分析】由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确．
【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴，
故A、B错误；
如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，

故C错误；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
∴关于x的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：D．
二﹑填空题
13．4
【分析】直接把x=2代入方程得到关于c的一次方程，然后解方程即可．
【详解】解：把x=2代入方程得4-c=0，
解得c=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
14．
【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
【详解】∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求．
【详解】解：观察图形可知，当时，抛物线在直线下方，
因此若，则x的取值范围是．
故答案为：．
16．①②④
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；
②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b＝﹣4a，即4a+b＝0，结论②正确；
③根据抛物线的对称性结合当x＝1时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确；
⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，
∴ ＝2，c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝0，
∴4a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣1时，y值为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，即 有两个不等的实数根，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确；
⑤当x＜2时，y随x的增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案是：①②④．
三、解答题
17．（1）解：，
‘’
或，
∴；
（2）解：
，
，
∴或，
∴
18．（1）解：设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，
∵抛物线过点C(0，﹣3)，
∴﹣3＝a(0＋1)(0﹣3)，
解得a＝1，
∴y＝(x＋1)(x﹣3)，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）解：由y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1,﹣4)，
∵抛物线开口向上，
∴当x<1时，该函数的y随x的增大而减小．
19．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：即k的取值范围为
（2）解：是方程的两个实数根，
解得
∵方程有实数根时k的取值为
∴不存在k值使得
（3）解：由得
代入中得，
解得：，
把代入原方程得，，
解得：．
20．解：设米，则米，
由题意得，
解得，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，，
综上可知，、边分别为8米、12米．
21.（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴关于的函数表达式为，即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
22．（1）设该商品每件的售价为元，进价为每件元，
由题意得：，解得，
∴该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；
（2）由题意得：
，
∴当时，有最大值，最大值为2645，此时售价为（元）．
∴当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．
23．解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：
解得：
∴二次函数解析式为.
由图像可知，当或时y﹤0；
综上：二次函数解析式为，当或时y﹤0；
（2）设点P坐标为，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM=，PN=，AO=3.
当时，，所以OC=2
，
∵
∴函数有最大值，
当时，有最大值，
此时；
所以存在点，使△ACP 面积最大.
（3）存在，
假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点此时=
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0,2）关于对称轴对称，
∴M（﹣2,2），
∴CM=2.
由= ；
②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，
易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即.
设M（x，﹣2），则有，解得：.
又QG=3,∴，
∴
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为：
.

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