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2025年9月高二上学期数学月考试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的实部为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数
6．已知空间四面体中，两两垂直且，那么四面体的外接球的表面积是
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ）

A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共15分）
9．已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ）
A．两组样本数据的中位数相同 B．两组样本数据的极差相同
C．两组样本数据的标准差相同 D．两组样本数据的平均数相同
10．下列说法中正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是
B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件
C．数据的第70百分位数是23.5
D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9
11．已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ）
A．若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心
B．若，垂足为，则为的垂心
C．若，则为的外心
D．若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数等于 ．
13．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 ．
14．如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .

四、解答题（共80分）
15．（本题16分）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的分位数；
(2)现从样本中利用分层随机抽样的方法从，这两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率.
16．（本题16分）已知向量.
(1)若，分别求与的值；
(2)若，且与垂直，求.
17．（本题16分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入)
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？
（精确到0.01）.
18．（本题16分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本题16分）已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对.
（1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同；
（3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B C A A C BC AC
题号 11
答案 BCD
12．4
13．1
14．4
15．(1)，分位数为26.5
(2)
16．(1)；
(2).
17．（1），；（2）；（3）0.65.
18．（I）证明：连接，易知，，
又由，故，
又因为平面，平面，
所以平面.
（II）证明：取棱的中点，连接，
依题意，得，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，故，
又已知，，
所以平面.
（III）解：连接，
由（II）中平面，
可知为直线与平面所成的角.
因为为等边三角形，且为的中点，
所以，又，
在中，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
19．（1）若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使故对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
（2）及的定义域均为,
根据题意可知,对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
对于函数而言,,
所以,
,,
即,故,只有,所以函数的“平衡”数对为,
综上可得函数与的“平衡”数对相同.
（3）,所以,
,所以,
由于,所以,故,,
,
由于,所以时,,
,所以.
答案第1页，共2页

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