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巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期
高二年级 月考
数学学科答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C B C D C A AD AC ABC
12．.
13．，
，
.
14．∵向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），
∴2+λ+2＝λ，，．
又，夹角的余弦值为，
∴，可知λ＞0．
解得λ＝1．
15.（1）因为空间向量，
所以，
所以；
（2）由题得，
由向量与垂直，则，
则，解得：.
16.由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示，
因此是平面的一个法向量；
设是平面的法向量．
由已知得，，
因而
取，得，则是平面的一个法向量．
17.∵AC=BC=2,D是AB的中点,
∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0).
在Rt△VCD中, ,当 时, ,
∴V(0,0, ).∴ , =(1,1,- ),
∴cos＜ , ＞
∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为
18.设=a,=b,=c,
因为四边形B1BCC1为平行四边形,
所以=+=c-a.
因为O是B1D1的中点,所以=(+)=(a+b),=-=b-(a+b)=(b-a).
因为=,所以=c.
所以=+=(b-a)+c.
设存在实数x,y,使=x+y(x,y∈R)成立,
则c-a=x+y=-(x+y)a+(x-y)b+xc.
因为a,b,c不共面,
所以解得所以=+.
所以,,是共面向量.
因为B1C不在OD,OC1所确定的平面ODC1内,
所以B1C∥平面ODC1.
19.（1）记，，，
则，，
∴，，
，
∴，即的长为；
（2），故，
故，
由（1）知，，
故
，
∴．巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期
高二年级 月考
数学学科 时间：90分钟
班级:___________姓名：______________ ：___________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在四面体PABC中，（ ）
B．
C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．空间中，若向量,,共面，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在长方体中，,,，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，，向量，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知在矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（ ）
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为90°
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．平面
D．点到平面的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 ．
13．在空间四边形中，，，，，则 ．
14．若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ= .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（15分）已知空间向量.
(1)求；
(2)若向量与垂直，求实数的值.
16.（15分）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．
17．（15分）如图所示,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.当 时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.
18.（15分）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点.求证:B1C∥平面ODC1.
19．（17分）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．
(1)用为基底表示向量，并求的长；
(2)求的值

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