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2025-2026学年河南省百师联盟高二（上）9月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 的斜率为 2，且过点(2,0)，则直线 的方程为( )
A. 2 + 4 = 0 B. 2 4 = 0 C. 2 + + 4 = 0 D. 2 + 4 = 0
2 3.设直线的倾斜角为 ，斜率为 .若 ≥ 3 ，则 的取值范围是( )
A. [ 5 5 6 , ) B. [0, 2 ) C. [0, 2 ) ∪ [ 6 , ) D. [0,
) ∪ ( , 5 2 2 6 ]
3.若方程 2 + 2 8 + 6 + = 0 表示圆，则实数 的值可以为( )
A. 29 B. 25 C. 16 D. 41
2 24.已知椭圆 ： 8 + 6 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，点 在椭圆 上，则△ 1 2的周长为( )
A. 4 2 B. 2 2 C. 2 6 D. 6 2
5.已知实数 ， 满足( + 2)2 + 2 = 4，则 4 + 3 的取值范围为( )
A. [ 18,2] B. [ 2,18] C. [ 10,10] D. [ 10, 6]
6
2 2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，点 在椭圆 上，且∠ 1 2为直角.若
3| 2| = 4| 1|，则椭圆 的离心率是( )
A. 3 B. 5 C. 45 7 5 D.
4
7
7.已知直线 3 4 + 2 = 0 与圆 ： 2 + 2 + 2 = 0( > 0) 5相切，则圆 和圆 ：( + 1)2 + ( 1)2 = 4
的位置关系是( )
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
8.已知点 (1, 1)， (1,2)，且点 在直线 ：4 + 3 12 = 0 上，则下列说法错误的是( )
A.存在点 ，使得 ⊥ B.存在点 ，使得| | = 2| |
C. | |( 12为坐标原点)的最小值为 5 D. | | + | |的最小值为 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 1：(2 + 1) + + 1 = 0， 2：( + 2) + + 2 = 0，若 1 ⊥ 2，则实数 的值可能是( )
A. 1 B. 0 C. 23 D. 1
10.已知圆 ： 2 + 2 4 + 8 5 = 0 和直线 ： = 2 + ，则下列说法正确的有( )
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A.当 = 3 时，直线 被圆 截得的弦长为 4 5
B.当 = 3 时，圆 上到直线 的距离为 2 的点有 4 个
C.若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围为( 5 5 8,5 5 8)
D.存在实数 ，使得直线 与圆 相切
2 2
11.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0, ≠ )的左、右焦点分别为 1， 2，点 在椭圆 上.若△ 2是等腰
直角三角形，则椭圆 的离心率可能是( )
A. 2 B. 5 12 2 C. 2 1 D. 3 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 的一个法向量为 = (2,1)且过点(3, 2)，则直线 的一般式方程为______．
13.在平面直角坐标系 中，已知圆 ： 2 + 2 = 16，点 在直线 2 + + 10 = 0 上运动，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形 面积的最小值为______．
14.圆 经过点 (16,0)，且与圆 ： 2 + 2 + 8 6 = 0 相切于坐标原点 ，则圆 的标准方程为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知直线 ： + 3 2 = 0( ∈ )．
(1)若直线 不经过第三象限，求 的取值范围；
(2)已知 ( 3,8)，若点 到直线 的距离为 ，求 最大时直线 的一般式方程．
16.(本小题 15 分)
根据下列条件求椭圆的标准方程．
(1) 3 1焦点在 轴上，过点(1, 2 )，离心率 = 2；
(2) 30 2 3一个焦点为(1,0)，过点( 3 , 3 )；
(3) 3短轴长为 2，离心率 = 2 ．
17.(本小题 15 分)
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 20 的圆形区域内.已知小岛中心位
于轮船正西 40 处，港口位于小岛中心正北 30 处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
18.(本小题 17 分)
已知△ 的三个顶点分别是 (2,3)， (1,2)， (4, 4)．
(1)求边 上的高线 所在直线的方程；
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(2)若直线 过点 ，且点 、 到直线 的距离相等，求直线 的方程；
(3)求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
已知点 ( 2, 3)和以点 为圆心的圆( 4)2 + ( 2)2 = 9．
(1) 设倾斜角为4的直线 与圆 交于 ， 两点，求弦 的长；
(2)设以 为直径的圆为圆 ，求圆 的方程；
(3)设圆 与圆 相交于 ， 两点，直线 ， 是圆 的切线吗？为什么？
(4)求直线 的方程．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 + 4 = 0
13.8
14.( 8)2 + ( + 6)2 = 100
15.(1)已知直线 ： + 3 2 = 0( ∈ )，
直线 的方程为可化为 = ( 2) + 3，因此直线 恒过定点 (2,3)，
由直线 不经过第三象限，得 ≤ 0，所以 的取值范围是( ∞,0]；
(2)已知 ( 3,8)，点 到直线 的距离为 ，
由(1)知直线 恒过定点 (2,3)，当且仅当 ⊥ 时， 取得最大值，
= 8 3直线 的斜率 3 2 = 1，此时直线 的斜率 = 1，
直线 的方程为 + 3 2 = 0，即 + 1 = 0，
所以当 最大时直线 的一般式方程为 + 1 = 0．
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2 2
16.(1) 因为椭圆的焦点在 轴上，可设其标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
3 1
因为椭圆过点(1, 2 )，离心率 = 2，
1 9
2 + 4 2 = 1
则有 ，
= 1
2 = 32
解得 2 = 4， 2 = 3，
2 2
故椭圆的标准方程为 4 +

3 = 1；
2 2
(2)由已知， = 1 ，设椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
30 2 3 10 4
由点( 3 , 3 )在椭圆上，代入可得3 2 + 3 2 = 1，
又 2 = 2 + 1，联立解得 2 = 5， 2 = 4，
2 2
故椭圆的标准方程为 5 + 4 = 1；
(3) = 由题意知 = 1 (
)2 = 3 2 ，2 = 2，联立解得 = 1， = 2，
2
故当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程为 + 24 = 1；

2
当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程为 + 24 = 1，
2 2
故椭圆的标准方程为 + 24 = 1 或 4 +
2 = 1．
17.解：以港口中心为原点 ，东西方向为 轴，建立如图
所示的直角坐标系．
这样，以小岛的中心为圆心，半径为 30 的圆形区域所
对应的圆的方程为 2 + 2 = 202①

轮船航线所在直线 的方程为40+ 30 = 1，即 3 + 4
120 = 0②
如果圆 与直线 有公共点，则轮船有触礁危险，需要改
变航向；如果 与直线 无公共点，则轮船没有触礁危险，
无需改变航向．
由于圆心 (0,0)到直线 的距离 =
120 = 24 > 20，
32+42
所以直线 与圆 无公共点．这说明轮船没有触礁危险．
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18.(1)由 (1,2)， (4, 4) 4 2，得直线 的斜率为 4 1 = 2，
因为 是边 上的高线，
1
所以直线 的斜率为2，
而 (2,3)，
所以直线 的方程为 3 = 12 ( 2)，即 2 + 4 = 0．
(2)由点 、 到直线 的距离相等，得直线 与边 所在的直线平行或过边 的中点，
4 3 7①当直线 与直线 平行时，由 (2,3)， (4, 4)，知直线 的斜率为 4 2 = 2，
7
所以直线 的斜率为 2，
而直线 过点 (1,2)，
7
所以直线 的方程为 2 = 2 ( 1)，即 7 + 2 11 = 0；
②当直线 1过边 的中点时，由 (2,3)， (4, 4)，得边 的中点为(3, 2 )，
12 2又 (1,2) 5，所以直线 的斜率为 3 1 = 4，
5
所以直线 的方程为 2 = 4 ( 1)，即 5 + 4 13 = 0，
综上所述，直线 的方程为 7 + 2 11 = 0 或 5 + 4 13 = 0．
(3)由点 (1,2)， (4, 4)，得| | = 3 5，
由(1)知直线 的斜率为 2，
所以直线 的方程为 2 = 2( 1)，即 2 + 4 = 0，
所以点 (2,3)到直线 = |2×2+3 4| 3 5的距离 = ，
22+12 5
1 1 3 5 9
所以△ 的面积 = 2 | | = 2 × 3 5 × 5 = 2．
19.(1)已知点 ( 2, 3)和以点 为圆心的圆( 4)2 + ( 2)2 = 9，
tan 因为直线 的倾斜角为4，所以直线 的斜率为 4 = 1，
因为 ( 2, 3)，所以直线 的方程为 ( 3) = ( 2)，即 1 = 0，
由圆 的方程( 4)2 + ( 2)2 = 9，知圆心 (4,2)，半径 = 3，
|4 2 1| 2
根据点到直线的距离公式可得圆心 到直线 的距离 = = 2 ，12+( 1)2
所以| | = 2 2 2 = 2 9 ( 2 22 ) = 34；
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(2)设以 为直径的圆为圆 ，
( 2, 3) 1因为 ， (4,2)，所以 (1, 2 )，
| | = (1 4)2 + ( 1 2)2 = 61圆 的半径 2 2 ，
1 61
所以圆 的方程为( 1)2 + ( + 22 ) = 4；
(3)直线 ， 是圆 的切线，

因为 是圆 的直径，点 ， 是圆 上的两点，所以∠ = ∠ = 2，
因为点 ， 是圆 上的两点，所以直线 ， 是圆 的切线；
(4)因为圆 的方程为( 4)2 + ( 2)2 = 9，即 2 + 2 8 4 + 11 = 0①，
1 61
圆 的方程为( 1)2 + ( + 2 )
2 = 4，即
2 + 2 2 + 14 = 0②，
② ①，得 6 + 5 25 = 0，
且 与圆 相交，所以直线 的方程为 6 + 5 25 = 0．
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