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浙江省金华市金东区2025—2026学年学期九年级上学期数学期中模拟练习卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向下 B．在一个装有10只红球的袋子中摸出一个白球
C．任意画一个三角形，它的内角和为 D．如果，那么
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类：事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可．
【详解】解：抛掷一枚硬币，正面向下，是随机事件；在一个装有10只红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件；任意画一个三角形，它的内角和为，是必然事件；如果，那么，是随机事件；
故选：C．
2．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
【详解】解：∵绕点O顺时针旋转到的位置，
∴，
而，
∴．
故选：D．
3．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【详解】试题分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
故选D．
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为，故A错误；
∴顶点坐标为，故B错误；
当时，，故C正确；
∵
∴二次函数图象开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故D错误；
故选：C．
5．书架上一共有本书，分别是本数学书，本科学书．从中任取本书，取到数学书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式：概率满足条件的事件数量总的事件数量，根据公式计算即可．
【详解】解：根据题意可得，
从中任取本书，取到数学书的概率为．
故选：B．
某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），
则求拱桥的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，可得半径，根据垂径定理，可知，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
7．已知点，，都在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可求解，理解“抛物线开口方向向上时，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大.”是解题的关键.
【详解】解：
，
抛物线开口向上，对称轴为，
到对称轴的距离为个单位长度，
到对称轴的距离为个单位长度，
到对称轴的距离为个单位长度，
抛物线开口向上，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大，
．
故选：A．
8. 五一期间，小明和小聪准备去大学里参观游玩，两人决定分别从北京大学、复旦大学和浙江大学
这三所大学里随机选择一所大学参观游玩，小明和小聪选择同一所大学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解题的关键．先画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小聪选择同一所大学的结果数，再利用概率公式即可得出答案．
【详解】解：设“北京大学、复旦大学和浙江大学”这三所大学分别为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小聪选择同一所大学的结果有3种，
小明和小聪选择同一所大学的概率为，
故选：A．
9. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【答案】B
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到∠ADC的度数，最后利用三角形内角和可得结论；
【详解】解：，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=26°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B,所对的圆周角为∠ADC,
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
△ADC中，∵∠BAC=26°，
∴∠DCA=180°-116°-26°=38°，
故选B.
10．如图，抛物线过点，对称轴，下列结论正确的是（ ）
①，②，③，④．
A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】由函数图象开口向上可得，对称轴在轴左侧可得，由，得到，故正确；
根据抛物线过点，得到，故正确；
，得到，根据抛物线过点，得到，得到 ，故错误；
根据-a+c=0，得到c=a，根据，得到，根据，得到，故错误．
【详解】由函数图象开口向上可得；顶点在轴左侧可得、符号相同，故；
函数图象与轴交于负半轴，可知．
，故正确；
抛物线过点，
，故正确；
，
，
抛物线过点，
，
代入得，故错误；
∵-a+c=0,
∴c=a，
，
，
，
，
故错误．
故正确．
故选：A
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．抛物线顶点坐标是 ．
【答案】(3，5)
【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质可直接求出顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（3，5），
故答案为：(3，5)．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于E，CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．
【答案】
【详解】试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得：r=．
在一个不透明的袋中装有50个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，
佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有
【答案】10个
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练理解题意是解题的关键．同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】解：设袋中红球大约有个，
由题意知：
解得，
故答案为：．
14．如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，
扇面的面积为 平方厘米．
【答案】
【分析】根据扇形面积公式计算．
【详解】解：扇面的面积为（平方厘米），
故答案为：．
15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是 m．
【答案】10
【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求．
【详解】在函数式中，令，得
，解得，（舍去），
∴铅球推出的距离是10m．
故答案为10．
一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，
，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．
【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：
A宸宸、B琮琮、C连连、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）
放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片．
(1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率．
(2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：共有4张卡片，
第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率为；
（2）解：树状图如图所示∶
，
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A宸宸”的结果有7种，
P（至少一张卡片图案为“A宸宸”）
18. 已知二次函数的图象经过点．
求该二次函数的表达式；
求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征．
（1）把两已知点的坐标代入得b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到二次函数解析式；
（2）通过解方程得到抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】（1）解：把分别代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为．
19．如图所示，把置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：
(1)画出绕着原点O逆时针旋转得到的；
(2)在（1）的基础上求点C经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、再连接各点即可得出答案；
（2）先计算出的长，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）如图：即为所求
（2）
点C经过的路径长为．
如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点．
求证：；
若，，求的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的半径为
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证；
（2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则∴，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径为．
21．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材】某公园计划修建一个图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，
水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，
并在石柱顶点处汇合为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，
且离池面的高度为．
【素材】距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】

小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
【答案】(1)符合要求，花坛的半径至少为，理由见解析
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过米
【分析】（1）设二次函数顶点式，利用待定系数法求出二次函数解析式，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得到答案；
（2）令，则，解得或舍，即可得到答案．
【详解】（1）解：符合要求，理由如下：
由题意可得，顶点为，
设解析式为，
函数过点，
代入解析式得，，
解得，
解析式为：，
令，则，
解得或舍去，
花坛的半径至少为；
（2）令，则，
解得或舍，
为了不影响水流，小水池的半径不能超过米．
22．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．
为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，
平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元．
求出与的函数关系式；
若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元
(3)每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元
【分析】（1）由总利润=每套利润销售量可列出函数关系式；
（2）由（1）可知与的函数关系式，令，即可求出，进而得到定价；
（3）根据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）由题意可知：
∴与的函数关系式为．
（2）令
解得，
∴，
答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元．
（3），
∵
∴当时，有最大值1250，此时，
答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元．
23．已知的直径，弦与弦相交于点，且，垂足为．
如图，若，求弦的长．
如图，若为弦的中点，
① 求证：．
② 求的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由得，根据知，从而得，即可知，利用可得答案；
（2）①连接，证明得、根据三角形中位线定理可得出结论；
②求出，由勾股定理求出，继而求出的长，则可得出答案．
【详解】（1）解：∵在中，是弦，，
∴，，，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即弦的长为；
（2）①证明：如图，连接，
∵为直径，，
∴，，
∵点为弦的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴是的中位线，
∴，即，
∴；
②解：设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，
交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
求二次函数的解析式：
如图甲，连接，若，求点P的坐标；
如图乙，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E．
点P在运动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，
【分析】对于（1），根据待定系数法求出关系式即可；
对于（2），连接，求出点C的坐标，设点P的坐标，再根据得出关于m的方程，求出解，即可得出答案；
对于（3），先求出抛物线的对称轴为，则设点，点，，再根据，及点M在的垂直平分线上，可得关于n的式子，整理即可．
【详解】（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
所以这个二次函数的关系式为；
（2）如图所示，连接，
当时，，
∴点，
∴．
设点，
则，
即，
解得（舍），
则
∴点；
（3）抛物线的对称轴为，
∵，
∴点M在线段的垂直平分线上，
即点M在对称轴上，
则设点，点，，
∵点，
∴，．
∵，
∴，
解得.
∵，
∴点M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即，
∴.
所以点P运动过程中线段的长不变，．
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浙江省金华市金东区2025—2026学年学期九年级上学期数学期中模拟练习卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向下 B．在一个装有10只红球的袋子中摸出一个白球
C．任意画一个三角形，它的内角和为 D．如果，那么
2．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50° B．80° C．90° D．100°
已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小
5． 书架上一共有本书，分别是本数学书，本科学书．从中任取本书，取到数学书的概率为（ ）
A． B． C． D．
某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），
则求拱桥的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，，都在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
8. 五一期间，小明和小聪准备去大学里参观游玩，两人决定分别从北京大学、复旦大学和浙江大学
这三所大学里随机选择一所大学参观游玩，小明和小聪选择同一所大学的概率为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
10．如图，抛物线过点，对称轴，下列结论正确的是（ ）
①，②，③，④．
A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．抛物线顶点坐标是 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于E，CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．
在一个不透明的袋中装有50个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，
佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有
14．如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，
扇面的面积为 平方厘米．
15． 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是 m．
一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，
，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：
A宸宸、B琮琮、C连连、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）
放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片．
(1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率．
(2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率．
18. 已知二次函数的图象经过点．
求该二次函数的表达式；
求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标．
19．如图所示，把置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：
(1)画出绕着原点O逆时针旋转得到的；
(2)在（1）的基础上求点C经过的路径长．
如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点．
求证：；
若，，求的半径．
21．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材】某公园计划修建一个图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，
水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，
并在石柱顶点处汇合为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，
且离池面的高度为．
【素材】距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】

小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
22．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．
为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，
平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元．
求出与的函数关系式；
若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
23．已知的直径，弦与弦相交于点，且，垂足为．
如图，若，求弦的长．
如图，若为弦的中点，
① 求证：．
② 求的值．
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，
交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
求二次函数的解析式：
如图甲，连接，若，求点P的坐标；
如图乙，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E．
点P在运动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长．
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