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1.1 认识三角形
第3课时
第一章 三角形
鲁教版七年级
新课引入
1. 理解三角形的构成要素.
2. 掌握三角形高、中线、角平分线的定义和性质.
3. 能够识别和绘制三角形的高、中线和角平分线，运用三角形的基本性质解决简单几何问题.
4.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展学生空间观念、推理能力和有条理的表达能力.
学 习 目 标
合作探究
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法，并与同伴进行交流.
A
B
C
D
新知讲授
A
B
C
E
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. 如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线.
A
B
C
F
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高， 如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高.
AF ⊥ BC
新知讲授
A
B
C
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
1
2
D
思考：三角形的角平分线与角的平分线有什么关系
A
B
C
1
2
区别：三角形的角平分线是线段，
而角的平分线是一条射线；
联系：它们都平分角.
合作探究
（1）在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？
相交于一点
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一画，折一折，并与同伴进行交流.
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
三角形的中线 锐角
三角形 直角
三角形 钝角
三角形
图形
在三角形内部的数量
是否相交
所在直线是否相交
所在的直线的交点位置
3
3
3
相交
相交
相交
相交
相交
相交
三角形内部
三角形内部
三角形内部
合作探究
（3）如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置吗
也可以利用数学软件探索任意三角形三条中线的位置关系.
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
典例分析
例1 如图，AD为 △ABC 的中线，若△ABD的周长为23，△ACD
的周长为18，若AB ＞ AC，则AB - AC=___.
解：因为AD为的△ABC中线,
所以BD = CD.
因为△ABD的周长= AB+AD+BD = 23,
△ACD的周长= AC+AD+CD = 18 ,
所以AB=23-AD-BD，AC=18-AD-CD .
所以 AB–AC = (23-AD-BD)-(18-AD-CD)
=5.
5
合作探究
拿出准备好的锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个，来动手做一做.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
三角形的角平分线 锐角
三角形 直角
三角形 钝角
三角形
图形
在三角形内部的数量
是否相交
所在直线是否相交
所在的直线的交点位置
3
3
3
相交
相交
相交
相交
相交
相交
三角形内部
三角形内部
三角形内部
三角形的三条角平分线线交于一点
典例分析
例2 如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：因为ＡE是△ABC的角平分线，
因为 ∠BAC+∠B+∠C=180°,
所以∠BAC=180°－∠B－∠C=75°，所以∠BAE=37.5°
因为∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
所以∠AEB=37.5°+ 60°=97.5°.
所以∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
合作探究
在纸上画出一个锐角三角形、一个钝角三角形和一个直角三角形.
（1）你能分别画出这三个三角形的三条高吗
（2） 在每个三角形中，三条高交于一点么？它们所在的直线呢？
①锐角三角形的三条高交于同一点； ②锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
合作探究
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
直角三角形的三条高交于直角顶点.
①钝角三角形的三条高不相交于一点.
②钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的三条高所在的直线交于一点
典例分析
（2）△ABD 与△ACD 的面积相等.理由如下： 因为 BD = DC， 所以 BD·AF = DC·AF. 由三角形的面积公式可知，△ABD 与△ACD 的面积相等
例 3 如图 AD, 是△ABC 的中线，AF⊥BC，垂足是点 F. （1）AF 是图中哪几个三角形的高？ （2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由.
解：（1）AF 是△ABC ，△ABD，△ABF，△ADF，
△ADC 和 △AFC 的高.
A
B
C
F
D
典例分析
解：根据题意，分两种情况讨论：
2AF=2BF
CD
CE
∠CAD
∠CBE
∠ACF
随堂练习
2.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　)
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线
D
角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，E点在BD上，而BD不是△ABC的边，所以D说法错误.
随堂练习
3.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°， 求∠DAE的大小.
解： 因为 AD是△ABC的高，
所以∠ADC＝90°.
因为 ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
所以 ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C )
=180°－90°－40°=50°.
所以AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
所以∠CAE=41°，
所以∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
B
A
C
D
E
随堂练习
随堂练习
认识三角形（三）
课堂小结
三角形中几条重要线段
角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心
中线
三角形的三条角平分线交于一点
角平分线
高线
三角形的三条高所在的直线交于一点

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