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1.3探索三角形全等的条件(第2课时)
第一章 三角形
鲁教版七年级上册
学 习 目 标
1
2
3
掌握“角边角”“角角边”判定定理，能运用尺规作图验证并证明三角形全等.
发展几何推理能力，规范书写证明过程，区分“夹边”与“对边”的不同情况.
体会数学的严谨性，通过合作探究培养逻辑思维和转化思想（如AAS→ASA）
知识回顾
对应相等的两个三角形全等，简写为 .
1.三角形全等的条件:
“边边边”
三边
“SSS”
2.三角形具有 ,在生活和工程中广泛应用.
稳定性
几何语言:
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE，
BC=EF，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
A
B
C
D
E
F
新课引入
木匠需要制作一些三角形支架，已知两个角的度数和它们之间的木板长度，能否确保做出的支架都相同？"
(2)如果给的边不是夹边，而是其中一个角的对边，情况会怎样？
思考
(1)这种情况下我们知道了哪些具体信息？
①三角形的两角及其夹边；
新课引入
由上节课我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
每种情况下得到的三角形都是全等的吗？能否确保木匠做出的支架都相同？下面我们一起来探究吧！
①两角及其夹边；
②两角及其中一角的对边.
合作探究
（1）两角及其夹边（ASA）
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是50°和70°，它们所夹的边为 6 cm，并用尺规作出这个三角形.
50°
70°
6 cm
50°
70°
6 cm
这是我
画的
这是我
画的
两个三角形完全重合，一定全等.
你作的三角形与同伴作的一样吗？
新知讲授
三角形全等的条件:“角边角”
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角” ，简记为“ASA”）
因为
∠B = ∠E，
BC = EF，
∠C = ∠F，
几何语言：
所以△ABC≌△DEF（ASA）.
D
E
F
A
B
C
新知讲授
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α,∠B=∠β，AB=c.
α
β
c
作法思路：先作一角，截一边，在边同侧的另一端作另一角.
1.作∠DAF=∠α.
2.在射线 AF上截取线段 AB=c.
3.以点B为顶点，以BA为一边作∠ABE=∠B，BE交AD于点C.
△ABC就是所要作的三角形.
A
α
F
D
B
c
β
C
E
思考
还有其他作法吗？
典例分析
例1 如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点．∠A = ∠B， △AOC和△BOD全等吗？为什么？
A
B
C
D
O
根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等即可证明．
解： ∴△AOC≌△BOD .理由如下：
因为O是AB的中点， 所以AO＝BO，
在△AOC和△BOD中，
因为点O是AB的中点，所以OA = OB，
又已知∠A = ∠B，且∠AOB = ∠BOD，
根据ASA，所以△AOC≌△BOD.
合作探究
思考·交流
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢 你能将它转化为两角及其夹边的条件么 与同伴进行交流并举例说明.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，两个三角形全等.
可以转化为两角及其夹边的条件
因为三角形内角和为180°，已知两个角，可以求出第三个角，这样条件就转化为两角及其夹边,从而证明三角形全等.
新课讲授
如图，△ABC和△DEF的两个内角分别是60°和50°，且60°所对的边为 3cm，利用角边角条件证明这两个三角形全等.
解：根据三角形的内角和为180°，所以第三个角度数为 180°-60°-50°=70°.
所以∠C=∠F=70°.
在△ABC 和△DEF中，
∴△ABC ≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
50
50
60
60
3
3
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F，
∵
知识归纳
两角分别相等且其中一组对角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
三角形全等的条件:“角角边”
在△ABC和△DEF中，
B
A
C
D
E
F
AC=DF（已知），
所以 △ABC≌△ DEF（AAS）.
∠A=∠D（已知），
∠B=∠E （已知），
几何语言：
典例分析
例2,如图，如果DF=CE，∠DAE=∠CBF∠D=∠C，那么△AED≌△BFC成立吗 请说明理由．

典例分析
例3 如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：AC=AD..

归纳总结
知识卡片
基础等角
公共角（共享角） 对顶角（必然相等） 直角（所有直角均90°）
场景：共顶点、相交线、直角三角形
2. 角度运算
等角加/减等角 → 和/差相等；例：若∠A=∠B，则∠A+∠C=∠B+∠C
3. 余补性质
同角余角相等 、 等角补角相等
4. 几何工具
角平分线 → 角等分
平行线 → 同位角/内错角
寻找等角的方法
课堂小结
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配
A．① B．② C．③ D．①和②
A
知识点：
根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形.
随堂练习
知识点：
2．如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC=65°，∠ACB=30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，测得MB的长是20米，BC的长是30米，则A，B两点间的距离为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．30米
解：在△ABC和△MBC中，
∠ABC=∠CBM,
∠ACB=∠MCB
BC=BC
∴△ABC≌△MBC(AAS)，
∴AB=MB=20米，
∴A，B两点间的距离为20米.
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC ≌△MBC，从而利用全等三角形的性质即可解答．
C
随堂练习
知识点：
3．如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC=CE，∠ACB=∠E．求证：△ABC≌△DCE．
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定，根据“两直线平行，同位角相等”，得出∠ABC=∠DCE，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定是解题的关键．
证明：∵点C在线段BD上，CE∥AB，
∴∠ABC=∠DCE（两直线平行，同位角相等）
在△ABC和△DCE中，
∠ABC=∠DCE，
BC=CE，
∠ACB=∠E，
∴△ABC≌△DCE（ASA）．
随堂练习
（1）证明：∵ AD=BE，
∴ AD+BD=BE+BD，
∴ AB=ED，
在△ABC和△EDF中
∠A=∠E
∠C=∠F
AB=ED，
∴ △ABC≌△EDF（AAS）
本题考查了全等三角形的判定、线段的和差．
知识点：
课堂小结
探索三角形全等的条件（2）
ASA（角边角）
AAS（角角边）
作图应用
条件：两角及其夹边对应相等
结论：两三角形全等
关键点：边必须是两边的夹角
条件：两角及其一角的对边对应相等
结论：两三角形全等
关键点：边是某一角的对边，非夹角
已知两边及其夹角（ASA），可用尺规唯一作出三角形

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