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1.3探索三角形全等的条件(第3课时)
第一章 三角形
鲁教七年级上册
学 习 目 标
1
2
3
掌握“SAS”全等判定定理，能运用尺规准确作出满足条件的三角形.
通过作图探究理解“SAS”条件下三角形的唯一性，并能证明简单全等问题.
培养几何直观和逻辑推理能力，体会数学的严谨性与应用价值.
知识回顾
对应相等的两个三角形全等，简写为 .
1.三角形全等的条件1: .
“边边边”
三边
“SSS”
2.三角形全等的条件2: .
“角边角”
的两个三角形全等，简记为 .
的两个三角形全等. 简写 .
3.三角形全等的条件3: .
“角角边”
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
两角和它们的夹边对应相等
“ASA”
“AAS”
新课引入
学校篮球架歪斜，需要重新安装一个三角形支架进行固定，已知之前三角形支架两边长度及两边夹角大小.
(2)如果给的角不是夹角，而是其中一个边的对角，情况会怎样？
思考
（1）维修部门能做出完全相同的支架吗？
新课引入
由前几节课我们知道，如果给出两个三角形三条相等边或者两角一边对应相等，那么两个三角形都全等.如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？
每种情况下得到的三角形都是全等的吗？维修部门能做出完全相同的支架？现在，我们通过作图来探究这一问题
`
两边及夹角
两边和其中一边的对角
合作探究
（1）两边及夹角（SAS）
如果“两边及一角”条件中的角是两边所夹的角，比如三角形的两边长为7cm和5cm，它们的夹角为40°，并用尺规作出这个三角形.
40°
5 cm
两个三角形完全重合，一定全等.
你作的三角形与同伴作的一样吗？
7 cm
这是我
画的
40°
5 cm
7 cm
这是我
画的
新知讲授
三角形全等的条件(四):“边角边”
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
因为
AB = DE，
几何语言：
所以△ABC≌△DEF（SAS）.
D
E
F
A
B
C
在△ABC 和△DEF 中，
BC = EF，
∠B = ∠E，
新知讲授
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图，已知线段a，c，∠α,求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α.
α
a
1.作一条线段BC = a.
2.以 B 为顶点，BC 为一边，作 ∠DBC= ∠α .
3.在射线 BD 上截取线段 BA = c；
4.连接 AC
△ABC就是所要作的三角形.
c
B
C
α
D
A
a
c
作法思路：固定边 构造角 截取边 连第三边.
典例分析
例1 如图，已知AB与CD相交于点O，OA = OB，OD = OC.△AOD与△BOC全等吗？请说明理由.
C
B
O
D
A
解：△AOD≌△BOC.理由如下：
在△AOD与△BOC中，
因为： OA = OB（已知），
∠AOD = ∠BOC（对顶角相等）.
OD = OC（已知），
根据SAS，所以△AOD≌△BOC.
利用对顶角相等得∠AOD=∠BOC，结合OA=OB、OD=OC，由SAS可证全等.
典例分析

合作探究
如果“两边及一角”条件中的角是两边和其中一边的对角，比如三角形的两边长为5cm和7cm， 边长5cm边的对角为40°，并用尺规作出这个三角形.
40°
这是我
画的
不一定全等
7 cm
这是我
画的
5 cm
5 cm
7 cm
40°
你作的三角形与同伴作的三角形全等吗？
合作探究
已知△ABC的AB边和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗？把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进行交流.
B
△ABD和△ABC
AB=AB，
AD=AC=l,
∠B=∠B,
但△ABC与△ABD不全等.
两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等
A
D
C
1.固定AB和∠B，
2.以A为圆心，半径l画弧，与∠B的另一边交于C、D两个点.
3.连接AC、AD
l
归纳总结
注意
两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备“SSA”条件时一般是不能判定三角形全等的．
1.“SSS”（边边边）三边对应相等.
2.“ASA”（角边角）两角及其夹边对应相等.
3.“AAS”（角角边）两角及其中一角的对边对应相等.
4.“SAS”（边角边）两边及其夹角对应相等.
目前已学习判定三角形全等的方法
归纳总结
知识卡片
基础等边
①已知直接标注的等边，②公共边，③等腰或等边三角形 .
2. 全等三角形的对应边
3. 特殊的图形（正方形、长方形等）
4.通过等量代换
①等边的传递性，②比例关系转换
5.构造辅助线创造等边.
寻找等边的方法
随堂练习
A
本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
1．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=OA，OQ=OB，再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（　　）
解：在△OPQ和△OAB中，
OP=AO∠POQ=∠AOBOQ=OB，
∴△OPQ≌△OAB(SAS)，
∴PQ=AB．
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
随堂练习
2．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（ ）
解：在△ACD和△ABD中，
∵ ∠C=∠B,
∠1=∠2,
AD=AD，
∴△ACD≌△ABD(AAS)．
故选A．
A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS
A
本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定.
随堂练习
3．已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF．
求证：∠B=∠D．
证明：∵BF=CD，
∴BF+FC=CD+FC，即BC=DF.
在△ABC与△EDF中，
BC=DF
∠ACB=∠EFD
AC=EF，
∴△ABC≌△EDF(SAS)，
∴∠B=∠D.
分析：先根据BF=CD得出BC=DF，再由“SAS”定理得出△ABC≌△EDF，由全等三角形的性质得出∠B=∠D，由此可得出结论．
A
B
C
D
F
E
随堂练习
4. 已知：如图，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线，
试说明：BD = CD.
解：
因为 AD 是△ABC 的角平分，
所以∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC(已知)，
∠BAD =∠CAD（角平分线的性质）
AD = AD (公共边)
所以△ABD≌△ACD (SAS).
所以 BD = CD.
先根据角平分线的性质求出角相等，再由“SAS”定理得出△ABC≌△ACD，由全等三角形的性质得出BD=CD，由此可得出结论．
“SAS”
（边角边）
作图
注意
1. “SAS”能证明三角形全等
2. “SSA”不一定证明三角形全等
探索三角形全等的条件（3）
条件：两边及其夹角对应相等
结论：两三角形全等
关键点：角必须是两边的夹角
已知两边及其夹角（“SAS”），可用尺规唯一作出三角形
课堂小结

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