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第二章 轴对称自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（ 　　）
A B C D
2. 下列图形中，对称轴最多的是（　 　）
A B C D
3．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BD＝5，AD＝3.若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（　 　）
A．3 B．2.4 C．4 D．5
图1 图2
4. 如图2，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　）
A B C D
5．如图3，是△ABC的边的垂直平分线，分别交边，于点，，且，，则△ACD的周长是（　 　）
A．10.5 B．12 C．15 D．18
图3 图4 图5 图6
6．如图4，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上，则下列结论不一定成立的是（ 　）
A. ∠ANM=∠BNM B. ∠MAP=∠MBP C. AM=BM D. AP=BN
7．如图5，在△ABC中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则∠ABD的度数为（　 　）
A． B． C． D．
8．如图6，等腰三角形ABC的底边BC的长为6 cm，AD为BC边上的中线，腰AB的垂直平分线EF交AD于点M，交AC于点F.若BM+MD＝8 cm，则△ABC的面积是（　 　）
A．48 cm2 B．24 cm2 C．12 cm2 D．6 cm2
9. 有一正方形卡纸，如图7－①，沿虚线向上翻折，得到图7－②，再沿虚线向右翻折得到图7－③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（　 　）
A B C D
图7 图8
10．如图8，在钝角三角形ABC中，∠ABC＝30°且AB＞AC．（1）以点C为圆心，CA长为半径画弧；（2）以点B为圆心，BA长为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交BC的延长线于点D．下列结论：①BD垂直平分AE；②AC平分∠BAD；③S△ABC＝BC AD；④△ABC与△EBC成轴对称.其中一定成立的是（　 　）
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图9，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，若点A到直线l的距离是2 cm，则线段AA′的长为 cm．
图9 图10 图11 图12
12．如图10，在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝31°，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数是 ．
13.图11所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，这样的轴对称图形可以画出_________种．
14．如图12，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC的度数为__________.
15. 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD=40°，E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是　 　．
16.已知锐角∠AOB，如图13，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心、CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q.根据以上作图过程及所作图形，有下列结论：①CD⊥OP；②CP=2QC；③∠AOP=∠BOP；④CP∥OB.其中一定成立的是__________.（填序号）
图13
三、解答题（共52分）
17．（6分）把图14所示的图形分别补成以直线l、a为对称轴的轴对称图形．
图14
（6分）如图15，在由4×6个小正方形组成的网格纸中，均有三个小正方形涂成黑色，请你用三种不同的方法分别在每个网格中再选一个白色小正方形涂成黑色，使得四个黑色小正方形组成轴对称图形．
① ② ③
图15
19.（6分）如图16，已知OA和OB两条公路，以及M，N两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PM=PN，且P到OA，OB两条公路的距离也相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
图16
20. （8分）AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE=3，S△ABC=20．
（1）如图17－①，若AB=AC，求AC的长；
（2）如图17－②，若AB=5，求AC的长．
① ②
图17
21．（8分）如图18，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AD，AB，AC于点O，E，F．
（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
图18
（8分）如图19，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接CD，BE，BD=BC=BE．
（1）若∠A=30°，∠ACB=70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD=α°，∠ABE=β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
图19
（10分）已知△ABC，AB=AC，D为射线CB上一点，E为射线CA上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图20，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，∠B=60°，∠ADE=70°，那么α，β之间的关系式是 ___________；
（2）是否存在不同于（1）中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式；若不存在，请说明理由．
图20
第二章 轴对称自我评估参考答案
一、1. A 2. B 3. A 4. B 5. C 6. D 7. B 8. B 9. D 10. C
二、11. 4 12. 56° 13. 3 14. 34° 15. 20°或50° 16. ①②③
三、17. 解：如图1所示.
图1
18. 解：如图2所示.
① ② ③
图2
19. 解：如图3所示，点P为所求作．
图3
20. 解：（1）过点D作DF⊥AC于点F.
因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF=DE=3.
由题意，得×AB×3+×AC×3=20.因为AB=AC，所以AC=AB=.
（2）过点D作DF⊥AC于点F，
因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF=DE=3.
由题意，得×5×3+×AC×3=20，解得AC=．
21. 解：（1）因为AD⊥BC，所以∠ADC＝∠ADB＝90°.
因为EF垂直平分AD，所以AF＝DF.
所以∠ADF＝∠DAF＝30°.所以∠FDC＝90°﹣30°＝60°.
（2）∠AED＝2∠B.
理由：因为AD⊥BC，EF⊥AD，所以∠AOE=∠ADB=90°.所以EF∥BC.所以∠AEF＝∠B.
因为EF垂直平分AD，所以AE＝DE.所以∠AEF＝∠DEF.
所以∠B＝∠AEF＝∠DEF.所以∠AED＝2∠B．
解：（1）因为∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=30°，∠ACB=70°，所以∠ABC=80°．
在△BDC中，因为BD=BC，所以∠BDC＝∠BCD＝×（180°－80°）＝50°.
所以∠ACD=∠ACB－∠BCD=20°．
（2）β=2α.理由：设∠BCD=x°.
因为BE=BC，所以∠BEC=∠BCE=（α+x）°.
所以∠DBC=180°－2x°，∠EBC=180°－2（α+x）°．
所以∠DBC－∠EBC=（180°－2x°）－[180°－2（α+x）°]=2α°.
又因为∠DBC－∠EBC=∠ABE=β°，所以β=2α．
23.解：（1）α=2β 解析：因为AB=AC，∠B=60°，所以∠BAC=60°.
因为AD=AE，∠ADE=70°，所以∠DAE=180°－2∠ADE=40°.
所以α=∠BAD=60°－40°=20°.
所以∠ADC=180°－40°－60°=80°.
所以β=∠CDE=∠ADC－∠ADE=10°.所以α=2β.
（2）①如图4，当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时.
设∠ABC=x°，∠ADE=y°，所以∠ACB=x°，∠AED=y°.
在△ABD中，由三角形内角和及补角，得x°+y°=β－α.
在△DEC中，x°+y°+β=180°.
所以α=2β－180°.
图4 图5
②如图5，当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时.
在△ABD中，由三角形内角和及补角，得x°+y°=β+α.
在△DEC中，x°+y°+β=180°.
所以α=180°－2β．
综上所述，α=2β－180°或α=180°－2β．

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