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(共26张PPT)
☆ 问题解决策略：转化
第二章 轴对称
鲁教七年级上册
运用转化策略解决最短路径问题
初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，让学生经历项目式学习的全过程，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题.能根据问题的背景，通过对问题条件和预期结论的分析，构建数学模型.在这样的过程中，理解数学，应用数学，形成和发展应用意识和模型观念.
新课导入
（1）谁能讲讲《曹冲称象》的故事？
创设情境，感知“转化”
（2）故事中有没有数学问题？
（3）问题是利用什么策略解决的？
大象的重量
等重的石头的重量
转化
（较难称重）
新知探究
新课讲授
（实际问题）
如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间.你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短
问题解决，感悟“转化”
上述问题可以抽象成怎样的数学问题
1
问题1
新知探究
新课讲授
B
2
问题抽象
A
如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间.你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短
问题解决，感悟“转化”
数学问题
如图，A，B 两点在直线 l 的同一侧，在直线 l 上确定一个点C，使AC +CB 最短.
l
实际问题
问题1
新知探究
新课讲授
(C)
B
A
l
C
B
A
问题解决，感悟“转化”
如图，A，B 两点在直线 l 的同一侧，在直线 l 上确定一个点C，使AC +CB 最短.
l
（2）关于“最短”，你有哪些相关知识
（3）关于“同一侧”，如果没有这个限定条件，
还有什么其他情况？其他情况你会解决吗？
（4）两点在直线“不同侧”的情况，又怎么解决呢？
B
A
l
最短
同一侧
3
问题分析
问题1
新知探究
新课讲授
B
B′
A
问题解决，感悟“转化”
如图，A，B 两点在直线 l 的同一侧，在直线 l 上确定一个点C，使AC +CB 最短 .
l
作点B关于直线 l 的对称点B′，
因此AC+BC=AC+B'C
所以，连接AB′，与 l 交于点C，
则点C 就是所要确定的点.
最短
同一侧
C
4
问题解决
C
问题1
新知探究
新课讲授
B
A
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使AC +CB 最小 .
l
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使AC +CB 最小 .
5
问题解决策略
问题解决，感悟“转化”
B′
C
C
转 化
“两条线段和最小”问题
轴对称
问题1
新知探究
新课讲授
1
提出新问题
问题迁移，类比“转化”
B
A
l
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使AC +CB 最小 .
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使AC +CB 最小 .
新知探究
新课讲授
1
提出新问题
问题迁移，类比“转化”
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使 AC +CB 最大 .
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使 AC +CB 最大 .
“两条线段和最大”问题
问题2
新知探究
新课讲授
问题迁移，类比“转化”
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最小.
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最小.
B
A
l
1
提出新问题
“两条线段差最小”问题
问题3
新知探究
新课讲授
问题迁移，类比“转化”
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
B
A
l
1
提出新问题
“两条线段差最大”问题
问题4
新知探究
新课讲授
2
解决新问题
问题迁移，类比“转化”
A
B
A
l
B
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使 AC +CB 最大.
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使 AC +CB 最大.
“两条线段和最大”问题
显然， AC +CB 无最大值.
问题2
新知探究
新课讲授
B
A
l
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最小.
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最小.
问题迁移，类比“转化”
C
C
“两条线段差最小”问题
显然，︱AC -CB︱最小值是0.
点C 在 AB 的中垂线和直线 l 的交点.
2
解决新问题
问题3
新知探究
新课讲授
问题迁移，类比“转化”
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
B
A
l
“两条线段差最大”问题
2
解决新问题
问题4
你想先从哪种情况入手
新知探究
新课讲授
C
A
问题迁移，类比“转化”
B
l
C
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
作直线AB，交直线 l 于点 C，
所以，︱AC-CB︱≤ AB.
则点C就是所要确定的点.
“两条线段差最大”问题——两点在直线同侧时
2
解决新问题
问题4
新知探究
新课讲授
C
A
A′
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
B
l
作点 A关于直线 l 的对称点 A′，
则对于直线 l 上任意一点 C，都有AC=A'C，
因此︱AC -CB︱=︱A'C -CB︱
≤ A'B.
作直线A′B，交直线 l 于点C，
则点C 就是所要确定的点.
C
“两条线段差最大”问题——两点在直线异侧时
问题4
问题迁移，类比“转化”
2
解决新问题
新知探究
新课讲授
A′
C
A
B
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最大.
A
B
l
转 化
“两条线段差最大”问题
轴对称
问题迁移，类比“转化”
3
问题解决策略
C
问题4
新知探究
典例分析
例1 如图，BA，BC 是两条公路，在两条公路夹角内部的点 P 处有一个草莓种植基地，若在两公路旁分别建一个加工厂，并使从草莓种植基地出发先到一个加工厂，再到另一个加工厂，最后回到草莓种植基地的路程最短，则两个加工厂应如何选址？
解：如图，分别作点 P 关于 AB 的对称点 P′，点 P 关于 BC 的对称点 P″，连接 P′P″，分别交 AB 于点 M，交 BC 于点 N，连接 MP，NP， 此时路程 MP+MN+NP 最短.故两加工厂应分别建在 M，N 处.
［点拨］ 确定平面图形中最短路径问题，依据的是轴对称和两点之间线段最短.我们在解题过程中一定要将问题中的多条线段转化到同一条线段上.
典例分析
典例分析
例2 如图，△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，过点 A 的直线 EF∥BC，且 AE=AF，试说明：DE=DF．
解：如图，连接 AD．因为在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，所以 AD⊥BC.因为EF∥BC，所以 AD⊥EF.又因为 AE=AF，所以 AD 垂直平分 EF，所以 DE=DF．
［点拨］ 在运用“三线合一”的性质解决问题时，如果题干中给出了底边中点，常作底边上的中线；如果没有中点，常常过顶点向底边作高.
典例分析
典例分析
例3 如图，两个村庄 A，B 在河 CD 的同侧，现要在河边 CD 上建造一水厂，向 A，B 两村送自来水（水管需直接接到 A，B 村）.水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短？（请你在图中设计出水厂的位置 M）
［解析］作点 A 关于直线 CD 的对称点 E，连接 BE，则 BE 与直线 CD 的交点即是水厂的位置 M．
解：水厂的位置 M 如答案图所示.
解题通法 利用转化思想解题时，要将复杂问题转化为简单问题、未知问题转化为已知问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称等变换把所求问题转化为容易解决的问题，如两点之间线段最短的问题，从而找出最短路径.
典例分析
课堂小结
问题回顾，深悟“转化”
课堂回顾，深化认知
1
（1）本节课重点探究并解决了哪些问题？是用什么知识、什么策略解决的？
（2）解决实际问题一般要经历哪些步骤？
（3）你积累了哪些经验？有哪些收获和感悟？
新知生成
课堂小结
问题回顾，深悟“转化”
所谓转化，是指一种研究对象在一定条件下转换为另一种研究对象的思维方式.
解题的过程实际就是转化的过程.可以说，转化是解决数学问题的最基本策略，也是最基本的数学思想.
新知生成
课堂小结
问题回顾，深悟“转化”
在以前的数学学习中，我们在哪里应用过转化呢？
《问题解决策略：归纳》中“从几种特殊情形出发，找到一般规律”，是特殊到一般的转化；
《问题解决策略：直观分析》中“借助表格和示意图直观分析问题”，是抽象到直观的转化；
《问题解决策略：特殊化》中“借助特殊情形的结论或方法解决一般问题”，是一般到特殊的转化；
解一元一次方程，本质上就是由繁到简的转化；
数形结合思想，就是由数到形或由形到数的转化；
分类讨论思想，就是由整体到局部的转化；
……
旧知新识，升华认知
2
新知生成
课堂小结
问题回顾，深悟“转化”
转化 要遵循熟悉化、简单化、直观化的原则.
困难
容易
陌生
熟悉
未知
已知
复杂
简单
抽象
直观
转 化
转 化
转 化
转 化
转 化
新知生成
作业布置
（1）必做：习题第1、2题；
（2）选做：联系生活实际，你能在问题1的基础上提出新的实际
问题并解决吗 试一试，或者和同组的伙伴讨论讨论.
C
车间
道路
大门
D
车间
道路
大门
如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间.你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短
如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，其入口在C处、出口在D处.工作人员每天进入工厂大门后，先到储物柜取物品，然后再到车间.你认为该取物柜应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程（大门到C、D到车间的距离之和）最短
如果车间、大门在道路的两侧呢？
新实际问题
问题1（实际问题）
新知生成

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