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二次函数自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A. y=3x-7 B. y= C. y=3x2-7x+3 D. y=ax2-6x-2
2. 已知（0，a）是抛物线y=x2-2x-3上一点，则a的值为（　　）
A. -3 B. -1 C. 0 D. 3
3. 抛物线y=x2-2x-1与x轴交点的个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 如图是某小区一块等腰直角三角形的绿地（△ABC），计划在绿地内建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P，M，N分别在边AC，BC，AB上.记PM=x，图中阴影部分的面积为S，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（　　）
A. 二次函数关系 B. 正比例函数关系 C. 反比例函数关系 D. 一次函数关系
第4题图 第8题图 第10题图
5. 已知抛物线y=（a-1）x2，当x>0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A. a>0 B. a>1 C. a≠1 D. a<1
6. 对于抛物线y=-（x-2）2+1，下列说法错误的是（　　）
A. 对称轴是x=2 B. 顶点坐标是（2，1）
C. 当x>2时，y随x的增大而减小 D. 当x=2时，y的最小值为1
7. 若关于x的二次函数y=（a-3）x2+bx+a2-9的图象过原点，则a的值为（　　）
A. -3 B. 3 C. ±3 D. 0
8. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（1 cm对应1个单位长度），AB∥x轴，AB=4 cm，最低点C在x轴上，CH⊥AB且CH=1 cm，BD=2 cm，则轮廓线DFE所在抛物线的表达式为（　　）
A. y=（x+3）2 B. y=（x-3）2 C. y=（x-4）2 D. y=（x-4）2
9. 已知二次函数y=ax2-2ax+1（a为常数，且a>0）的图象上有A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y110. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）图象的对称轴为x=-1，则下列结论：①abc<0；②2a-b=0；③9a-3b+c<0；④a（m2-1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）.其中正确的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若抛物线y=mx2-6x-9与x轴只有一个交点，则m的值为_____________.
12. 若点（0，a），（4，b）都在抛物线y=（x-2）2上，则a　 b．（填“＞”“＜”或“=”）
13. 将抛物线y=3x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到新抛物线的表达式是　 　.
14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行时间t（秒）的函数表达式为s=-0.25t2+10t，则无人机着陆后滑行　 　秒才能停下来.
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则不等式ax2+bx+c<-1的解集是　 　.
第15题图 第16题图
16. 如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a<0）的图象上，则a的值为　 　.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（每小题4分，共8分）求下列函数的最大（小）值：
（1）y=-x2+8x；（配方法） （2）y=3x2+5x+1.（公式法）
18.（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x-3）2-1经过点（2，1）.
（1）求该抛物线的表达式，并用描点法画出图象；
（2）将该抛物线向上平移___________个单位长度后，所得抛物线与x轴只有一个交点.
19.（6分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（-1，0），C（0，3）两点，对称轴为x=1.
（1）求该二次函数的表达式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y<3时，直接写出x的取值范围.
第19题图 第20题图
20.（6分）如图，过点B（1，0）的抛物线与直线y=x+b交于A（0，-4），C两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，求△ABC的面积.
21.（8分）【新定义】我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”.
（1）求抛物线y=x2-2x+2与x轴的“和谐值”；
（2）求抛物线y=x2-2x+2与直线y=x-1的“和谐值”.
22.（10分）世界羽坛最高水平团体赛成都2024“汤尤杯”于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公开亮相.某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套.
（1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，销售单价应定为多少元？
（2）销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
23.（10分）如图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标系后，小山坡AB可近似地看成抛物线l1：y1=的一部分.小苏在点C处抛出小球，小球的运动轨迹为抛物线l2：y2=x2+bx+c的一部分，落在山坡的点D处（点D在小山坡AB坡顶的右侧）.
（1）求小山坡AB的坡顶高度；
（2）若AC=3米，且测得点D离y轴的水平距离为12米，求抛物线l2的表达式（不要求写出自变量x的取值范围）.
第23题图 第24题图
24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B.
（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC=2S△ABC，求点P的坐标；
（3）当抛物线y=x2-2x-3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p-q=2，求m的值.
二次函数自我评估参考答案
答案详解
三、17. 解：（1）由y=-x2+8x=-（x-4）2+16，得该函数图象的顶点坐标为（4，16）.
因为-1<0，所以该函数有最大值，最大值为16.
（2）在y=3x2+5x+1中，a=3，b=5，c=1，所以，.
所以该函数图象的顶点坐标为.
因为3>0，所以该函数有最小值，最小值为.
18. 解：（1）把（2，1）代入y=a（x-3）2-1，得a（2-3）2-1=1，解得a=2.
所以抛物线的表达式为y=2（x-3）2-1.用描点法画出图象略.
（2）1
19. 解：（1）因为二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C（0，3），所以c=3.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+3.
根据题意，得解得所以二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.
因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以该二次函数图象的顶点坐标为（1，4）.
（2）x<0或x>2.
20. 解：（1）把A（0，-4）代入y=x+b，得b=-4.所以直线AC的函数表达式为y=x-4.
令y=0，得x-4=0，解得x=5.所以C（5，0）.
设抛物线的表达式为y=a（x-1）（x-5）.
把A（0，-4）代入，得5a=-4，解得a=-.所以y=-（x-1）（x-5）=.
所以抛物线的表达式为y=.
（2）因为A（0，-4），B（1，0），C（5，0），所以BC=5-1=4.
所以S△ABC=BC·OA=×4×4=8.
21. 解：（1）因为y=（x-1）2+1，所以抛物线上的点到x轴的最短距离为1.
所以抛物线y=x2-2x+2与x轴的“和谐值”为1.
（2）设x = t，则函数y=x2-2x+2的值为y1=t2-2t+2，函数y=x-1的值为y2=t-1，所以y1-y2=t2-2t+2-（t-1）=t2-3t+3=.因为1>0，所以y1-y2有最小值，当t=时，y1- y2取得最小值，为.
所以抛物线y=x2-2x+2与直线y=x-1的“和谐值”为.
22. 解：（1）设销售单价定为x元.根据题意，得（x-20）[400-20（x-30）]=4320，解得x=32或x=38.
因为要尽快清空库存，所以x=32.所以售价应定为32元.
（2）设销售单价定为a元，则每天获得利润w元.
根据题意，得w=（a-20）[400-20（a-30）]=-20（a-35）2+4500.
因为-20<0，所以w有最大值.当a=35时，每天获得利润最大，最大利润为4500元.
所以销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润为4500元.
23. 解：（1）当x==7时，y1=.所以小山坡的坡顶高度为米.
（2）当x=12时，y1=×122+×12+1=4，所以D（12，4）.当x=0时，y1=1，所以A（0，1）.
因为AC=3米，所以C（0，4）.
把D（12，4），C（0，4）代入y2=x2+bx+c，得解得
所以抛物线l2的表达式为y2=x2+3x+4.
24. 解：（1）由对称轴的公式，得x==1，所以抛物线的对称轴为x=1.
当x=0时，y=x2-2x-3=-3，所以C（0，-3）.
因为CB∥x轴，所以点B与点C关于直线x=1对称.所以B（2，-3）.
（2）设点P的坐标为（t，t2-2t-3）.当x=1时，y=x2-2x-3=-4，所以A（1，-4）.所以S△ABC=×2×1=1.
因为S△PBC=2S△ABC，所以S△PBC=2.所以易得点P到BC的距离为2.
因为B（2，-3），C（0，-3），所以点P的纵坐标为-1，即t2-2t-3=-1，解得t=1-或t=1+.
所以点P的坐标为或.
（3）由（1）知抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1.
①当m>1时，q=m2-2m-3，p=（m+2）2-2（m+2）-3=m2+2m-3.
因为p-q=2，所以m2+2m-3-（m2-2m-3）=2，解得m=（舍去）；
②当m+2<1，即m<-1时，p=m2-2m-3，q=（m+2）2-2（m+2）-3=m2+2m-3.
因为p-q=2，所以m2-2m-3-（m2+2m-3）=2，解得m=（舍去）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1时，q=-4，p=（m+2）2-2（m+2）-3=m2+2m-3，所以p-q=m2+2m+1=2，解得m=-1或m=--1（舍去）；
④当m+1<1≤m+2，即-1≤m<0时，q=-4，p=m2-2m-3，所以p-q=m2-2m+1=2，解得m=+1（舍去）或m=-+1.
综上所述，m的值为-1或-+1.
答案速览
一、1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9. D 10. C
二、11. -1 12. = 13. y=3（x-3）2+2 14. 20 15. 0三、解答题见“答案详解”
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