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九年级上册自我评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c，则下列选项成立的是 （　　）
A. sin A = B. cos B =
C. tan A = D. tan B =
2. 如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成.当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间.晷针在晷面上形成的投影是 （　　）
A. 平行投影
B. 既是平行投影又是中心投影
C. 中心投影
D. 无法确定
3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，如图①出自该著作的“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着一堆粮食，若将这堆粮食看作圆锥的一部分（如图②），则它的主视图是 （　　）
4. 若tan A = 0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是 （　　）
A.
B.
C.
D.
5. 将抛物线y = - （x - 3）2 + 5向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为 （　　）
A. y = - （x - 5）2 - 1 B. y = - （x - 1）2 - 1
C. y = - （x - 5）2 + 11 D. y = - （x - 1）2 + 11
6. 函数y = 和y = - kx - 2（k ≠ 0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 （　　）
7. 如图，在△ABC中，∠B = 22.5°，∠C = 45°，若AC = 4，则△ABC的面积是 （　　）
A. 8 + 4 B. 6 + 4
C. 4 D. 8 + 2
8. 双曲线l1：y = - 和l2：y = （k ≠ 0）的图象如图所示，A是l1上一点，分别过点A作AB ⊥ x轴，AC ⊥ y轴，垂足分别为B，C，AB与l2交于点D.若△AOD的面积为2，则k的值为 （　　）
A. 4 B. - 4 C. 2 D. - 2
9. 如图所示是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i = 1∶2，背水坡CD的坡比i = 1∶1，若AB的长度为6米，则斜坡CD的长度为 （　　）
A. 6米 B. 6米
C. 6米 D. 3米
10. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y = - ax2 + 3x - c与y = 2x2 - 3x - c + a关于x轴对称，则a + 2c的值为 （　　）
A. 0 B. - 4 C. 4 D. - 1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知α为锐角，且sin α = ，则α的度数为____________.
12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是____________mm2.
13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了____________度.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D是AB的中点，ED ⊥ AB交AC于点E，且tan∠BEC = ，则tan A =____________.
15. 如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 12 mm，BC = 24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为____________mm2.
16. 抛物线y = ax2 + bx + c交x轴于点A（ - 1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于点C，顶点为D.下列结论：①2a + b = 0；②2c < 3b；③当m ≠ 1时，a + b < am2 + bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a = ；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个.其中正确的有____________.（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （6分）计算：（1）2sin2 60° - tan 45° + 4cos 60°；
（2）（ - 1）2024 + 2sin 45° - cos 30° + sin 30° + tan2 60°.
18. （7分）如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN.
（1）在图中画出路灯的位置并用点P表示；
（2）在图中画出表示大树的线段MQ.
19. （8分）如图是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍.
（1）画出该几何体的三视图；
（2）若长方体的长为10 cm，宽为4 cm，高为3 cm，求该几何体的表面积和体积（π取3）.
20. （8分）如图，在平面直角坐标系中，函数y = （x < 0）的图象经过点A（ - 6，1），直线y = ax - 2经过点B（ - 2，2）.
（1）求k，a的值；
（2）过第二象限的点P（ - 1，4）作平行于x轴的直线，交直线y = ax - 2于点C，交函数y = （x < 0）的图象于点D，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由.
21. （9分）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段BC是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图.已知BC = 1米，∠MBC = 37°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC = 45°，继续向前行走，从点E处看点B，仰角∠AEB = 53°，且点D到点E走了2.2米.求匾额悬挂的高度AB.（参考数据：sin 37° ≈ 0.6，cos 37° ≈ 0.8，tan 37° ≈ 0.75）
22. （10分）甲、乙、丙三名同学玩跳绳，绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线，其表达式为y = ax2 + bx + 1.3.已知拿绳的甲、乙两名同学甩绳时手间距AB为6米，手到地面的距离AD和BC相等，丙同学位于距点D的水平距离为1米的点E处，他跳起后头顶距地面的高度为1.6米，绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶F.以点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求此抛物线所对应的函数表达式，并注明x的取值范围；
（2）丁同学跳起后头顶距地面的高度为1.78米，若丁同学也加入游戏，最多能与丙同学水平相距多少米？
23. （11分）【跨学科】某数学活动小组研究一款图①所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：kg）.图②是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻R0、可变电阻R（单位：Ω）之间关系为I = ，电源电压恒为12 V，定值电阻R0的阻值为2 Ω.
根据I与R之间的关系得出一组数据如下：
R/Ω … 1 2 3 q 6 …
I/A … 4 p 2.4 2 1.5 …
（1）填空：p = ____________，q = ____________；
（2）该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对（R，I）的对应点，画出函数I = 的图象，并写出一条此函数图象的性质；
（3）若电流表量程是0～0.2 A，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图④所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
24. （13分）如图，抛物线M过点E（ - 2，3），与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为（ - 1，4）.
（1）求抛物线M所对应的函数表达式和点A的坐标；
（2）F是线段AC上一动点，求△DEF周长的最小值；
（3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若∠PDQ = 4∠DPQ，直接写出点P的坐标.
九年级上册自我评估
一、1. D　2. A　3. C　4. A　5. A　6. D　7. A 8. D　9. B　10. C
二、11. 30°　12. 13. 200　14. 　15. 36　16. ①③④
三、17. 解：（1）原式 = 2 × - 1 + 4 × = - 1 + 2 = .
（2）原式 = 1 + 2 × - + + = 1 + - + + 3 = + - .
18. 解：（1）如图，点P即为所求作.
（2）如图，线段MQ即为所求作.
19. 解：（1）该几何体的三视图如图所示.
（2）几何体的表面积为2 × （10 × 4 + 4 × 3 + 10 × 3） + 3 × 2 × 4 × 3 = 236（cm2）.
几何体的体积为10 × 4 × 3 + × 3 × 3 × 2 = 192（cm3）.
20. 解：（1）因为函数y = （x < 0）的图象经过点A（ - 6，1），所以k = - 6 × 1 = - 6.
因为直线y = ax - 2经过点B（ - 2，2），所以 - 2a - 2 = 2，解得a = - 2.
（2）PC = 4PD.理由：当y = 4时， - 2x - 2 = 4，解得x = - 3，所以C（ - 3，4）.所以PC = - 1 - （ - 3） = 2.
当y = 4时， - = 4，解得x = - ，所以D.所以PD = - 1 - = .所以PC = 4PD.
21. 解：过点C作CF ⊥ AM于点F，过点C作CH ⊥ AD于点H，则四边形AHCF是矩形.所以AF = CH，CF = AH.
在Rt△BCF中，BC = 1米，∠CBF = 37°，所以BF = BC·cos 37° ≈ 0.8（米），CF = BC·sin 37° ≈ 0.6（米）.
在Rt△BAE中，∠AEB = 53°，所以∠ABE = 37°.所以AE = AB·tan 37° ≈ 0.75AB.
在Rt△CDH 中，∠CDH = 45°，所以DH = CH = AF = 0.8 + AB.
因为AD = AH + DH = 0.6 + 0.8 + AB = 1.4 + AB，AD = AE + DE = 0.75AB + 2.2，所以1.4 + AB = 0.75AB + 2.2，解得AB = 3.2米.
答：匾额悬挂的高度AB约是3.2米.
22. 解：（1）由题意，得F（1，1.6），B（6，1.3）.
将F（1，1.6），B（6，1.3）代入 y = ax2 + bx + 1.3，得解得所以抛物线所对应的函数表达式为y = - 0.06x2 + 0.36x + 1.3（0 ≤ x ≤ 6）.
（2）设丁同学所站的点到点D的距离为x，则 - 0.06x2 + 0.36x + 1.3 = 1.78，解得x1 = 2，x2 = 4.
因为4 - 1 > 2 - 1，4 - 1 = 3（米），所以丁同学最多能与丙同学水平相距3米.
23. 解：（1）3 4
（2）函数图象如图所示.
电流I的值随可变电阻R值的增大而减小.（答案不唯一）
（3）根据题意，设可变电阻R与人的质
量m的函数表达式为R = km + b（k ≠ 0）.
将（0，260），（130，0）代入R = km + b，得解得所以可变电阻R与人的质量m的函数表达式为R = - 2m + 260.所以可变电阻R的值随人的质量m值的增大而减小，当m = 0时，R = 260，所以I = = ≈ 0.05（A）.
当I = 0.2时，0.2 = ，解得R = 58.所以 - 2m + 260 = 58，解得m = 101.所以电子体重秤可称的最大质量为101 kg.
24. 解：（1）因为顶点D的坐标为（ - 1，4），所以设抛物线M所对应的函数表达式为y = a（x + 1）2 + 4.
将E（ - 2，3）代入y = a（x + 1）2 + 4，得（ - 2 + 1）2a + 4 = 3，解得a = - 1.
所以抛物线M所对应的函数表达式为y = - （x + 1）2 + 4.
当y = 0时， - （x + 1）2 + 4 = 0，解得x1 = - 3，x2 = 1.所以点A的坐标为（ - 3，0）.
（2）当x = 0时，y = - （0 + 1）2 + 4 = 3，所以点C的坐标为（0，3）.所以直线AC所对应的函数表达式为y = x + 3.
如图①，作点E关于AC的对称点E′，则EE′ ⊥ AC，设垂足为G，则G为EE′的中点.
因为直线AC所对应的函数表达式为y = x + 3，E（－2，3），所以EE′所对应的函数表达式为y = - x + 1.
联立解得所以点G的坐标为（ - 1，2）.所以E′的坐标为（0，1）.所以DE = = ，DE′ = = .所以△DEF的周长为DE + DF + EF = DE + DF + FE′ ≥ DE + DE′ = + .所以△DEF周长的最小值为 + .
（3）点P的坐标为或.
解析：如图②，由抛物线的平移设抛物线N所对应的函数表达式为y = - x2 + nx + m.将D（ - 1，4）代入y = - x2 + nx + m，得m = n + 5.所以抛物线N所对应的函数表达式为y = - x2 + nx + n + 5.所以顶点P的坐标为.将x = 代入y = - （x + 1）2 + 4，得y = - n2 - n + 3，所以Q.过点D作DH ⊥ PQ于点H，则H.因为 = 4，所以H为点P与点Q的中点.所以PD = QD.所以∠DPQ = ∠DQP.因为∠PDQ = 4∠DPQ，所以∠DPQ = 30°.在Rt△DPH中，∠DPH = 30°，所以PH = DH.所以n2 + n + 5 - 4 = 或n2 + n + 5 - 4 = ，解得n = - 2（舍去）或n = 2 - 2或n = - 2（舍去）或n = - 2 - 2.所以点P的坐标为或.

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