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(2)因为DP=
-2,0,2由(1)得平面DEF的一个法向量为n=(2,0,1),
所以点P到平面DEF的距离d=n·D庐_I-1+2一5
n
5
…15分
√5
18.(1)解：因为l⊥l1,
直线l:(2a-5)x+(a+2)y-6a+6=0,直线l1:x+y-3=0,
所以(2a-5)X1十(a十2)X1=0,…3分
解得a=1,故实数a的值为1.……5分
(2)证明：因为(2a-5)x+(a+2)y-6a+6=0,
所以a(2x+y-6)-5x+2y+6=0,
2x+y-6=0,
所以
…8分
-5x+2y+6=0,
解得/2，
(y=2,
所以直线1恒过定点(2,2).…。
10分
(3)解：因为a=-11,
所以直线l:3x十y-8=0…12分
设点P(1,4)关于直线l的对称点为P'(xo,y0),
则线段Pp'的中点坐标为+1，十4)
2,21
y0-4
xo-1
·(-3)=-1,
所以
15分
.x十1++4-8=0，
3
2
2
8
x0=5'
解得
21
y=5'
所以点P关于直线：的对称点P的坐标为[侣，得)】
…17分
19.(1)证明：如图，取AD的中点O,连接PO,OC.
因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD:
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
因为OCC平面ABCD,所以PO⊥OC.…3分
在梯形ABCD中，BC∥AD,AB⊥AD.因为AD=2,所以AO=1.
在四边形ABCO中，由AO=BC=1,AO∥BC,AB⊥AD,得四边形ABCO是矩形.
所以OC∥AB,所以OC⊥AD,所以直线OC,OD,OP两两垂直.…5分
以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,3).…6分
数学答案第5页（共6页）
因为AB=(1,0,0),PD=(0,1,-√3)，所以AB·PD=0,
所以AB⊥PD,所以AB⊥PD.…
…8分
2解：图为M是PA的中点，所以P=P-0.分，写》
……9分
n·PD=0,
设平面PCD的法向量为n=(.x,y,之)，则
n·cd=0.
因为Ci=(-1,1,0所以>-5：=0，
-x+y=0.
取之=1，得n=(3,3,1),
所以点M到平面PCD的距离d=Pi,n-_2I
n77
12分
(3)解：假设存在点E满足题意，令P正=入PD=(0,入，-√3入)，A∈[0,1]，
则AE=AP+PE=(0,1,√3)+(0，λ，-√3)=(0,1+入，√3-√3)，AC=(1,1,0).
1m·AC=a+b=0,
设平面EAC的法向量为m=(a,b,c),则
m·AE=(1十λ)b+(3-√5λ)c=0,
取b=√3（入-1），得m=(3(1-入)，√3（入-1），入十1).……14分
易知平面DAC的一个法向量为OP=(0,0,√3)，
所以cos,m>=1O京·m
√3(+1)
W/10
OP||m√3×√7a-10入+7
5
简得3x3一10以+3=0，义入∈[0,1，解得入=，即E1
即PD3
所以线段PD上存在点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为ID】
5
PE 1
此时pD3
…17分
数学答案第6页（共6页）

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