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高三数学
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的.
“ 2x2 5x 3 0 ”的一个必要不充分条件是（ ）
1 x 3
2
1 x 6
3 x 1
2
1 x 0
2
已知集合 M 2, a2 , P { 2, 2a}，若 M P 有三个元素，则实数 a 的取值集合为（ ）
{ 1, 0}
{ 1, 0,1}
{ 2, 1, 0}
{ 2, 0}
已知函数 f x 的定义域为 3, 4 ，则函数 g x f x 1 的定义域为（ ）
1 , 3 B. 1 , 4
3 3

1 ,5

1 , 6
3 3

已知实数 a 0, b 1 满足a b＝5 ，则 2 1 的最小值为（ ）
a b 1
3 2
A
4
已知 f (x)
xex
eax 1
3 4
B.
4
是偶函数，则a （ ）
3 2
C. D.
6 6
A. 2
B. 1
C. 1 D. 2
“ a 2 ”是“函数 f (x) ax tan x 在( π , π) 上单调递增”的（ ）
4 4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
将 2 个小球随机地投入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记 1 号盒子中小球
的个数为ξ，则 E ξ （ ）
1
A. 2 B.
2 7 5
C. D.
3 12 16
已知 f (x) 是定义在R 上的增函数，且存在函数 g(x) 使得f(g(x)) x，若x1 ， x2 分别是方程 f (x 1) x 4 和
g(x 1) x 2 的根，则 x1 x2 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选的得部分分，有选错的得 0 分.
已知 P 是圆 C： x 1 2 y 2 2 9 上的一个动点，过原点 O 的动直线与圆 C 交于 M，N 两点，则下列说法正确的是（ ）
|OP|的最大值为3 B. |OP|的最小值为3
C. |MN|最大值为 6 D. |MN|最小值为 2
已知定义在R 上的偶函数 f x 的部分图象如图所示， f x 是 f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. f 2 1 B. x 0,1 ， f x 0
C. f 1 f 2 0 D. 方程 f x 0 有唯一实数解
已知函数 f x ln x 1 asinx ， f x 为 f x 的导数，则下列说法正确的是（ ）
当 a 0 时， f x 2x 恒成立
当 a 0 时， f x 在区间 0, π 单调递减
当 a 1 时， f x 在区间 1, π 上存在唯一极小值点
2

当 a 0 时， f x 有 2 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
某实践团有4 个男生、3 个女生，从中任选3 人发起问卷调研，那么恰好有2 个女生被选中的方法有 种.
已知 z a 2i ，其中 a 为实数，若 z R ，则 a= .
1 3ai
在V ABC 中， A π ， BC 2 ，则其内切圆半径 r 的最大值为 ；若平面内动点 P 满足 BP CP ，则当 r
6
取得最大值时， AP 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2025 年 7 月 22 日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表.
当 m 足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；
若根据小概率值α 0.01 的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数 m 的最小值.
n ad bc 2
附： χ2
a b c d a c b d
，其中 a b c d n .
α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且 f x 2x 1 为偶函数．
求 f x 的解析式，并判断 f x 的单调性；
已知 m 0 ， m 1，且 f log 2 f 1 0 ，求m 的取值范围．
m 3 2

已知 f (x) sin x cos x π .
3

求 f (x) 的单调增区间和对称中心；
在锐角 V ABC 中，A，B，C 的对边分别是
a, b, c
b2 c2
. f ( A) .求
4 bc
的值域.
x2 y2 3
已知椭圆C 的方程为 a2 b2
1(a b 0) ，且椭圆的短轴长为 2，离心率为 ．
2
求椭圆C 的方程；
已知不垂直于 x 轴的直线l 与椭圆相交于 A, B 两点，点Q( 4 3 , 0) ，若QA 所在的直线与QB 所在的直线关于 x
3
轴对称，直线l 是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．
19. 已知函数 f x alnx x2 ，其中 a R ．
讨论 f x 的单调性；
当 a 1 时，求证： f x x2 x 1；
求证：对任意的n N* 且 n 2 ，都有 1
1 1
1 1
1 1
1 e （其中e 2.7183为自然对数
22 32 42 n2

的底数）．
BCAAD AAB 9ABC 10BC 11BC
12 12 13 6
14 ①.
6 2
2 （或 ） ②.
1
3, 3 3
3 4
15 （1）由调查数据可知当 m 足够大时，以频率估计概率可知，
从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为 P 2m 1 .
4m 2
【2】
由题意可得，
若根据小概率值α 0.01 的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，
则χ2 15m 6.635 ，解得 m 22 6.635 9.7
22 15
因为 m 为正整数，
所以 m 的最小值为 10.
16 【1】
因为 f (x) 是定义在R 上的奇函数， f (x) 2x 1 为偶函数，
令 g(x) f (x) 2x 1 ，则 g( x)
f ( x) 2 x 1 g(x)
1 x
f (x) 2x 1 ，
故 f (x) 2 x 1
f (x) 2x 1 ，所以 f (x) 2x ，
2
x
因为 y 2x 在R 上单调递增， y
2
在R 上单调递减，
1 x
所以函数 f (x) 2x
2
1 x
在R 上单调递增，
综上， f (x) 2x
2
， f (x) 在R 上单调递增.
【2】
因为 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，
Q m 0, m 1，且 f log 2 f 1 0 ，
m 3 2

2 1 2 1 2 1
f logm 3 f 2 ，即 f logm 3 f 2 ，则logm 3 2 ，

2 1
2 1 4 4
当0 m 1 时， mlogm 3 m2 ，则
m2 ，即 m ，故0 m ；
3 9 9
2 1
2 1 4
当 m 1时， mlogm 3 m2 ，则 m2 ，即 m ，则 m 1；
9
综上， m 的取值范围为 0, 4 ∪ (1, ) .
9

17【1】
由 f (x) sin x cos(x π)
sin x( cos x
3 sin x)
1 sin 2x
3 2 2
3 1 cos 2x 1 sin(2x π) 3 .
4 2 2 2 3 4
由 π 2kπ 2x π π 2kπ,k Z 解得， π kπ x 5π kπ,k Z ，
2 3 2 12 12
即 f (x) 的单调增区间为[ π kπ, 5π kπ],k Z ；
12 12
由 2x π kπ, k Z 解得， x π 1 kπ, k Z ，故 f (x) 的对称中心为( π 1 kπ,
3 ), k Z .
3 6 2
6 2 4
【2】
由 f ( A) 1 sin(2 A π) 3 3 可得， sin(2 A π) 0 ，
2 3 4 4 3
因V ABC 是锐角三角形，故0 A π , 则 π 2 A π 2π ，
2 3 3 3
故2 A π 0 ，解得， A π ，
3 6
b2 c2 b c b
t b sin B
sin B
2 sin B 2
由 ，设t ，由正弦定理可得，
bc c
c sin C
sin(5π B)
1 ,
c b
0 B π
2
由
6 tan B
解得， π B π ，则tan B , 0 1 3 ,故有 3 t 2 3 .
5π π 3 2
tan B 3 2 3
0 B
6 2
b2 c2
b c
1 t
3 , 2 3 ,
于是，
bc
t ，
c b t
2 3
而 g(t) t 1 在( 3 ,1) 上单调递减，在(1, 2 3 ) 上单调递增，且 g(
3 ) g( 2 3 ) 7 3 , g(1) 2 ，
t 2
b2 c2
3 2 3 6
则 的值域为[2, ) .
bc 6
18（1）因为椭圆 C： x
a2
2
1(a>b>0)的离心率 e= ，
b2 2
b2
3 2
所以e 1
2
，即 a2 4b2 ，
a 2
又椭圆的短轴长为 2，所以 b=1，a=2，
x2 2
所以椭圆 C 的方程为 y
4
1．
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2

联立方程组 4
y 1 ，消去 y，得(1 4k 2 )x2 8kmx 4m2 4 0
y kx m
=16(4k 2 m2 1)＞0 ，即 m2＜4k 2 1，
x x
8km
4m2 4
1 2 1 4k 2 ， x1 x2 1 4k 2
因为 QA 所在的直线与 QB 所在的直线关于 x 轴对称，所以 kAQ kBQ 0 ，
kAQ kBQ
y1 y2
kx1 m
kx2 m 0
kx
4 3
4 3
即 1
m x2 3 + kx2 m x1 3

2kx x m 4 3 k x x
8 3 m 0 3
1 2 3 1 2 3

得2k 4m2 4 8km m 4 3 k 8 3 m 1 4k 2 0
3 3
化简得 m

3k ，直线 l 的方程为 y k x
3 ，
所以，直线 l 恒过定点( ，0)．
19【小问 1 详解】
函数 f x 的定义域为 0, ∞ , f
a a 2x2
x 2x ．
x x
①当 a 0 时， f x 0 ，所以 f x 在 0, ∞ 上单调递增，
②当 a 0 时，令 f x 0 ，解得 x ．
当0 x
时， f x 0 ，所以 f x 在 0,

上单调递减；
当 x
时， f x 0 ，所以 f x 在


a , 上单调递增．
2

综上，当 a 0 时，函数 f x 在 0, ∞ 上单调递增；
当 a 0 时，函数 f x 在 0, 上单调递减，在 a , 上单调递增；
2

【小问 2 详解】
证明：当 a 1 时， f x lnx x2 ，
要证明 f x x2 x 1，即证lnx x 1 ，即lnx x 1 0 ， 设 g x lnx x 1 ，则 g x 1 x ，令 g x 0 得， x 1 ．
x
当 x 0,1 时， g x 0 ，当 x 1, 时， g x 0 ，所以 x 1 为极大值点，也为最大值点．
所以 g x g 1 0 ，即lnx x 1 0 ．故 f x x2 x 1；
【小问 3 详解】
证明：由（2）知lnx x 1 （当且仅当 x 1 时等号成立），
令 x 1 1
n2
，则ln 1
1
n2
1 1
n2 n n 1
1
n 1
1 ，
n
1 1 1 1 1 1
所以ln 1 22 ln 1 32 L ln 1 n2 22 32 n2
1 1
1
1 1 1 1 L 1
1 1 1 1 ln e ，
1 2 2 3
n n 1

1 2 2 3
n 1 n n
1 1 1 1
即ln 1 1 1 1 lne ，

所以 1
1 1
1 1
1 1
1 e ．
22 32 42 n2

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