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由/0=2sin24-3+1=3→sin(24-2=1
8分
又A∈0，)→2A-∈(，1巧
6
6
6
2A正=
62
3,B+C=2
,即A=
]0分
b+c
2
由正弦定理a=b」
a
3
sin A sin B sinC
，得5
sinB+sin(经-0
sin B+
-cos B
2
1
.a=
6
(8+学e,
故1a<2,仅当B=号时，a=1.
15分
18.(本小题满分17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAB⊥底面ABCD,面PAD⊥底面ABCD,
PA=AB=2AD=6,E是CD的中点，AC∩BE=H,PF=F而
(1)证明：BE⊥平面PAC:
(2)当1=2时，.(i)证明：直线F∥平面PAB:
()求平面AFC与平面PCD夹角的余弦值.
(1)证明：由题意得，在矩形ABCD中，AB⊥AD,
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD,AB⊥AD,ABC平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD,
又APc平面PAD,所以AB⊥PA:
.1分
因为平面P4B⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD,AD⊥AB,ADC平面ABCD,
所以AD⊥平面PAB,
又APC平面PAB,所以AD⊥PA:
2分
又因为ABC平面ABCD,ADc平面BCD,AB∩AD=A,
所以PA⊥平面ABCD,
,3分
且BEC平面ABCD,得PA⊥BE.
4分
(注：或在平面ABCD内任取一点作AB、,AD的垂线）
在△MBC和ABCE中，LABC=∠BCB=90°，C-S=V2,故△MBC∽ABCB)
得∠BAC=∠CBE,即∠CBE+∠ACB=90°，BE⊥AC,
又因为ACc平面PAC,PAC平面PAC,AC∩AP=A,
即证BE⊥平面PAC.
头7分
(2)解法一（综合法）：
数学试卷第3页共6页
(i)法一：当1=2时，在线段AD上取一点M,使得AM=2MD,即FM∥PA,
因为FMt平面PAB,PAc平面PAB,FM∥平面PAB,
在矩形ABCD中，因为AM∥CE,AM=2CE,所以AH=2CH,
即HM∥CD,
叉CD∥AB,所以HM∥AB,
因为HM平面PAB,ABc平面PAB,M∥平面PAB,
且FMc平面FM,mMc平面FHM,FM∩HM=M,
得平面FM∥平面PAB,
又因为FHc平面FM,所以FH∥平面PAB·
12
法二：当元=2时，在线段P4上取一点M,使每PM=2MM,即M∥D,PM=径4D,
在线段AB上取一点N,使得AW=2阳，即HN∥BC,N.2BC,
在矩形ABCD中，AD∥BC,AD=BC,即FM∥N,FM=HN,
得四边形FMNH是平行四边形，
所以H∥N,FH平面PAB,MNc平面PAB,
即证FH∥平面PAB.
(i)解法一(（主要证得AF⊥平面PCD即可)：
由示-而+号而，历=而-亚，
所以正币=亚+子D)而-)=0→R1PD,
又易证CD⊥平面PAD,AFc平面PAD,得CD⊥AF,
且PDC平面PCD,CDC平面PCD,PD∩CD=D,得AF⊥平面PCD,小
又AFC平面AHF,即平面AHF⊥平面PCD,
故平面AHF与平面PCD夹角的余弦值为0，
解法二（建系)：
()证明：由(1)得，以店，历，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-,
A0,0,0),B6,0,0),P0,0,,F0,22,2),H4,22,0),
丽=(4,0,2)，易得平面PB的一个法向量为元=(0,1,0)，
因为·派=0，H￠平面PAB,所以H∥平面PB,
()亚=0,2W5,2),4C=(6,32,0),
没平面4F℃的一个法向量为元=：，乃，)，
1示-亚02%+24=0
低c宁保元=06x+3,-0以-屈
得万=伤，-5,2)，不妨取无=1，即元=0，-5,2)，
数学试卷第4页共6页

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