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第二十一章 一元二次方程素养能力提升卷
时间：90分钟　　　满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）方程①3x－1=0,②3x2－1=0，③，④ax2+bx+c=0 (a、b、c为常数),⑤2x2－1=（x－1）（x－2）,⑥(5x+2)(3x-7)=15x2 其中一元二次方程的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）下列一元二次方程最适合用分解因式来解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）关于x的一元二次方程（k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
4．（本题3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
5．（本题3分）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
6．（本题3分）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
7．（本题3分）年月日，在第个“世界读书日”到来之际，由河南省委宣传部、河南省直文明办指导，河南省文化和旅游厅主办，河南省图书馆、各省辖市文广旅局共同承办的“阅享新时代·书香润河南”——河南省“全民阅读”系列活动启动仪式在郑州举行．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市图书馆是读书的重要场所之一，据统计，某图书馆对外开放的第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末三个月累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
9．（本题3分）若，则的值是（ ）
A．或2 B．4 C．或4 D．2
10．（本题3分）已知等腰三角形的一边长为，另外两边长是关于的方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 ．
12．（本题3分）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ．
13．（本题3分）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ．
14．（本题3分）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人．
15．（本题3分）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ．
16．（本题3分）已知，且，则代数式的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题20分）解方程：
(1)；
(2)．
(3)；
(４)；（用公式法）
18．（本题6分）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
19．（本题6分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
20．（本题8分）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的.设甬道的宽为米.
（1）求梯形的周长；
（2）用含的式子表示甬道的总长；
（3）求甬道的宽是多少米？
21．（本题10分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”；
(2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
22．（本题10分）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点、、…分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第50名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

______ ______
(1)填写上图中第四个图中y的值为______，第五个图中y的值为______．
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为______，当时，对应的______．
(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话276次，问：该班共有多少名女生？
23．（本题12分）如图，在中，，，．点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．
(1)下列两位同学的说法正确的是__________，请说明理由；
小六同学：可以平分的周长；
小珠同学：可以平分的面积．
(2)连接，当为何值时，？
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《第二十一章 一元二次方程素养能力提升卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D C C A D C
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①是一元一次方程；
②是一元二次方程；
③是分式方程；
④当a=0时，不是一元二次方程；
⑤原方程可化为：x2+3x-3=0，是一元二次方程；
⑥原方程可化为：-29x-14=0，是一元一次方程．
故选B．
2．B
【分析】逐项分析即可．
【详解】A、适合用配方法或公式法来解；
B、适合用分解因式法来解；
C、适合用配方法或公式法来解；
D、适合用直接开平方法来解；
故选：B．
3．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系判断即可．
【详解】解：∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．本题逐步分析各位同学的方程变形即可得到答案．
【详解】解：
，甲计算错误；
，
，乙计算正确；
，丙计算错误；
，
，丁计算正确；
∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙，
故选：C．
5．D
【分析】先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，
再整体代入即可．
【详解】原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
6．C
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，
∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣4．
故选∶C．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
根据题意，找准等量关系，列出一元二次方程即可．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
，
故选：C．
8．A
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax=b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a，
设AD=x，根据勾股定理得：，
整理得：，（a≠0，b≠0），
∵△=4a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为-b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查代数式求值，涉及换元法、因式分解法解一元二次方程等知识，采用换元法转化成一元二次方程求解是解决问题的关键．令，将条件中的等式转化为一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案．
【详解】解：令，
则可化为，
即，
，
解得或，
，
，即的值是，
故选：D．
10．C
【分析】分腰为或底为两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一边为，
∴腰长为时，
∴是方程的一个根，
∴，解得：，
此时方程为：，解得：，，
则三角形三边为，，，能构成三角形，
∴此时这个等腰三角形的周长为；
如果底边为，则有两个相等的实数根，
∴，解得：，
此时方程为：，解得：，
则三边长为，，，不能构成三角形，
综上可知：这个等腰三角形的周长为，
故选：．
11．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：设的两个实数根为，，其中，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
12．6
【分析】利用因式分解法解出一元二次方程，再利用菱形面积的计算公式：对角线乘积的一半进行计算即可．
【详解】解：，
，
解得：，
∴菱形的面积；
故答案为：6．
13．
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴+=2，=﹣3，
∴=，
故答案为：．
14．12
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解．
【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得
，
，
，
∴或
解得或（舍去）
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题．
【详解】解：第一行有个点，第二行有个点第行有个点，
根据前行共有个点，
可得：，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，(舍去)，
的值为．
故答案为： ．
16．11
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的得出根与系数的关系是解决本题的关键．
先将两边同时除以，进而可以分析m与n的关系，最后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：将可得，方程两边同时除以，
得，即，
∵，
∴m和同时满足，
又∵，
∴，
∴m和是的两个不同根，
∴，
∵
，
将代入，原式，
故答案为：11．
17．(1)，；
(2)，
(３)或
(４)或
【分析】
（1）通过开平方转化为两个一次方程求解，需注意符号的取舍．
（2）使用求根公式求解，需准确计算判别式并代入公式．
（３）先用乘法公式去括号，合并同类项，再用因式分解法解方程；
（４）找出的值，先用判别式判断方程有多少个实数根，再用求根公式求出方程的解．
【详解】（1）解：，
，
∴，，
解得，；
（2）解：，
∴，
，
∴，．
（３）
解：
或
或
（４）
解：
或
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
即，
解得，
则m的取值范围为；
（2）由韦达定理可知：，，
若，
由可得，
即，
将，代入得：，
即，
解得，
由（1）可知，故符合题意，
因此，m的值为．
19．29元．
【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
【详解】解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得，
或，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
20．（1）256米
（2）米
（3）4米
【分析】（1）由题意求出，由勾股定理求出腰长即可求得周长；
（2）求得水平甬道的长即可求得甬道的总长；
（3）由（2）得甬道总长与甬道宽的积便是甬道面积，根据题意列出方程即可求得结果．
【详解】解：（1）在等腰梯形中，
，
，
，
梯形的周长=(米)；
（2）甬道的总长：米；
（3）根据题意，得
，
整理，得
，
解之得
；
因，不符合题意，舍去．
答：甬道的宽为4米．
21．(1)是“倍根方程”，理由见解析；
(2)当时，；当时，；
(3)的值为或．
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用因式分解法解方程得，，然后根据“倍根方程”定义即可；
（）由得，，根据“倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可；
（）由关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，设较小的根为，较大的为，根据根与系数的关系得，然后解方程即可．
【详解】（1）解：是“倍根方程”，理由，
∴，，
∴，
∴是“倍根方程”；
（2）解：由得，，
∵关于的方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
当时，；
当时，；
（3）解：∵关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，
∴设较小的根为，较大的为，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
22．(1)10；15
(2)；
(3)该班共有24名女生
【分析】（1）观察图形即可得到答案；
（2）根据前五个图的数据得出规律，列出通电话次数y与该班级人数x之间的关系式，再把代入计算即可；
（3）把通话次数276代入函数关系式，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵，，，，，
∴，
当时，．
故答案为：；．
（3）依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有24名女生．
23．(1)小珠同学，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想求解是解题的关键．
（1）根据题意可得，则，利用勾股定理可得，当平分的周长时，则，若P、Q都没有停止运动，则，当点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，当平分的面积时，，若P、Q都没有停止运动，若点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，分别解方程可判断对应同学的说法；
（2）根据用含t的式子表示出，再根据建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴的周长，
当平分的周长时，则，
∴若P、Q都没有停止运动，则，
解得，
∵秒，即点Q需要3秒就运动到点A，
∴点Q运动3秒就停止运动，故不符合题意；
当点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，解得，不符合题意，
故不可以平分的周长；
∵，
∴当平分的面积时，，
∴若P、Q都没有停止运动时，则，
解得或（舍去），
若点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，
解得：，
∴可以平分的面积；
∴小珠同学的说法正确；
（2）解：，
，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去）．
答案第1页，共2页
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