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2025-2026学年云南省昭通市市直中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的短轴长为( )
A. B. C. D.
3.若直线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
4.在长方体中，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆，过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与椭圆交于，两点，椭圆右焦点为，直线与的另外一个交点为，若，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知点是椭圆上的动点，则点到直线的距离最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 当直线与圆相切时，切线方程是
C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
D. 圆上的一点到直线的最大距离是
10.关于曲线：，下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示两条直线，则，或，
B. 若曲线表示圆，则
C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线表示椭圆，则
11.已知椭圆：的离心率为，长轴长为，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是( )
A. B. 椭圆的标准方程为
C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的标准方程是______．
13.已知，满足，则的最小值为______．
14.已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于，两点已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，动点满足．
求动点的轨迹方程；
一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程．
16.本小题分
求满足下列条件的圆的方程：
经过点，，圆心在轴上；
经过直线与的交点，圆心为点．
17.本小题分
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
焦点的坐标分别是，，并且经过点；
经过两点，．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．
求证：；
若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为．
求椭圆的方程；
若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形．
证明：四边形为菱形；
求四边形面积的最大值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：设，又，，且，
，
两边平方化简可得，
点的轨迹方程为；
设点关于轴的对称点为，则，
根据对称性设反射光线所在直线的方程为，，
由知点的轨迹为圆：，圆心，半径，
又反射光线所在直线：被圆所截弦，
圆心到直线：的距离，
又，，解得，
反射光线所在直线的方程为，即．
16.解：圆经过点，，圆心在轴上，
设圆心，由，可得，
解得，故圆心，半径，
故要求的圆的方程为．
由，求得，
故直线与的交点为，
半径为，
故要求的圆的方程为．
17.设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，
则，且焦点在轴上，
，
所以，，
所以椭圆方程为；
设椭圆的方程为，
则，解得，
所以椭圆方程为．
18.证明：如图所示，取的中点，连接，．
因为，，所以且，
所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以，
又为等边三角形，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，
所以．
设四棱锥的高为，
由题设，得，则，
由题设知，
所以底面．
如图所示，以点为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，所以；
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，所以．
设平面与平面的夹角为，
因为，
所以，
即平面与平面的夹角正弦值为．
19.；
证明：当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形，
四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意，
此时四边形为菱形；
当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，，
由，
得，
则，
，，
所以，
因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为，
则，
整理得，
所以，
则，此时平行四边形为菱形，
综上可知，四边形为菱形；

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