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(共14张PPT)
第七章 证明
3　平行线的证明
第2课时　平行线的性质
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
　上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理,回想要证明两条直线平行,有哪些方法 平行线又具有哪些性质呢？
已知:如图,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.
求证:∠1=∠2.
探究与应用
【探究1】 两直线平行,同位角相等
证明:
假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,
如图所示.根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.
已知:如图,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.
求证:∠1=∠2.
探究与应用
【探究2】 两直线平行,内错角相等.
分析:由条件l1∥l2可以得到哪些角的等量关系,这些等量关系中的角与∠1,∠2有什么联系
证明:∵l1∥l2(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).
又∵∠2=∠3(对顶角相等),
∴∠1=∠2(等量代换).
想一想:通过前面的证明你能得到什么结论
【概括新知】
定理　两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简述为:两直线平行,内错角相等.
探究与应用
【探究2】 两直线平行,内错角相等.
类似地还可以证明:定理　两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简述为:两直线平行,同旁内角互补.
已知:如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角.
求证:∠1+∠2=180°.
证明:∵a∥b(已知),
∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1+∠3=180°(平角的定义),
∴∠1+∠2=180°(等量代换).
【应用】
例　已知:如图,b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.
求证:b∥c.
探究与应用
【探究2】 两直线平行,内错角相等
分析:由条件b∥a,c∥a可以得到哪些等量关系 为了证明b∥c需要怎样的等量关系
证明:∵b∥a(已知),
∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).
∵c∥a(已知),
∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等).
∴∠2=∠3(等量代换).
∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
想一想:通过上面的证明你还能得到什么结论
【概括新知】
定理　平行于同一条直线的两条直线平行.
【回顾·反思】
(1)回顾前面的证明过程,你认为完成一个命题的证明,需要哪些主要环节
(2)对于证明思路的分析,你积累了哪些经验
探究与应用
【探究2】 两直线平行,内错角相等
探究与应用
【探究2】 两直线平行,内错角相等
证明文字叙述类命题的一般步骤:
第一步:先根据命题的条件即已知事项,画出图形,再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号,还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号,以便于叙述或推理过程的表达.
第二步:根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证.
把命题的条件化为几何符号语言写在已知中,命题的结论转化为几何符号语言写在求证中.
第三步:经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
一般情况下,分析的过程不要求写出来,有些题目中,已经画出了图形,写好了已知、求证,这时只要写出“证明”一项就可以了.
达标测评
1.如图,直线m∥n,直线m和直线n分别经过三角尺的一个锐角顶点和直角顶点,已知∠1=55°,则∠2的度数为 (　　)
A.35°　　　　B.45°　　　　C.55°　　　　D.125
2.如图,AB∥CD,BC∥DE,∠B=135°,则∠D的度数为 (　　)
A.40° B.45° C.50° D.55°
课堂小结与检测
A
B
达标测评
3.推理填空.
如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,FG⊥AB于点G,ED∥BC.求证:∠1=∠2.
证明:∵CD⊥AB,FG⊥AB(已知),
∴∠CDB=∠FGB=90°(①　　　 　　　　),
∴CD∥②　　　　(③　　　　　 　　　　 ),
∴④　　　　=∠3(⑤　　　　　 　　　　 ).
又∵DE∥BC(已知),
∴⑥　　　　=∠3(⑦　　　　　 　　　　 ),
∴∠1=∠2(⑧　　　　　 　　　　 ).
课堂小结与检测
垂直的定义
GF
同位角相等，两直线平行
∠2
两直线平行，同位角相等
∠1
两直线平行，内错角相等
等量代换
达标测评
4.如图,已知AB∥CD,∠BAD+∠C=180°.
(1)求证:AD∥EC;
(2)若CE⊥AE于点E,∠C=160°,求∠FAB的度数.
课堂小结与检测
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠BAD，
∵∠BAD+∠C=180°，
∴∠ADC+∠C=180°，
∴AD∥EC；
（2）解：∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
∵AD∥EC，
∴∠E=∠DAF=90°，∠C+∠ADC=180°，
∵∠C=160°，∴∠ADC=20°，
∴∠BAD=∠ADC=20°，
∴∠FAB=∠DAF-∠BAD=70°．
反证法是从命题结论的反面出发,通过推理论证,得到与学过的基本事实相矛盾的结论,从而说明假设不成立,而结论成立.
方法
| 课堂检测 |
已知:如图7-3-10,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角.求证:∠1+∠2=180°.
课堂小结
图7-3-10
证明:如图.∵a∥b(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等).
又∵∠2+∠3=180°(平角的定义),
∴∠1+∠2=180°(等量代换).
3
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