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2025-2026学年重庆实验外国语学校高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合 、 、 ，它们是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合
是( )
A. ( )
B. ( )
C. ( ) ( )
D. ( ) ( )
2.在△ 中，下列条件不是 > 的充要条件是( )
A. > B. < C. 2 < 2 D. 2 > 2
3 2.用二分法求方程 ln( + 1) = 的近似解时，可以取的一个区间是( )
A. (1,2) B. (2, ) C. (3,4) D. (0,1)
4 2 .为了得到函数 = 2 (2 3 )的图象，只需将函数 = 2 的图象( )
A. 1 所有点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，再向右平移12个单位长度
B. 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移6个单位长度
C. 向右平移3个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
D. 1向左平移6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变
5.三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，
则不同的派法共有( )
A. 90 种 B. 180 种 C. 125 种 D. 243 种
(2 ), ≤ 0
6.定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = 2 ( 3), > 0 ，则 (2023) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.箱子中有 6 个大小、材质都相同的小球，其中 4 个红球，2 个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，
摸出的球不放回.设事件 表示“第 1 次摸球，摸到红球”，事件 表示“第 2 次摸球，摸到红球”，则下列
结论正确的是( )
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A. ( ) = 23 B. ( ) =
3
5 C. ( | ) =
2
5 D. ( | ) =
4
5
8.若直线 = 4 + 是曲线 = 3 + 13 与曲线 = 2 + 2 的公切线，则 =( )
A. 11 B. 12 C. 8 D. 7
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0,0 < < 2 )的图象的相邻两条对称轴间的距离为 2 ， (0) = 1.则
( )
A. = 2
B. ( ) 2 的图象关于直线 = 3对称
C. ( ) 2 4 的单调递减区间为[4 3 , 4 + 3 ]( ∈ )
D. ( ) ≥ 1 4 的解集为[4 3 , 4 ]( ∈ )
10.在三角形 中，下列命题正确的有( )
A.若 = 30°， = 4， = 5，则三角形 有两解
B.若 0 < < 1，则△ 一定是钝角三角形
C.若 cos( )cos( )cos( ) = 1，则△ 一定是等边三角形
D.若 = ，则△ 的形状是等腰或直角三角形
11.设正实数 ， 满足 + 2 = 3，则下列说法正确的是( )
A. 3 9 + 的最小值为 4 B. 的最大值为8
C. + 2 的最小值为 2 D. 2 + 4 2 9的最小值为2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.(2 2 1 )6 展开式中
3项的系数为______. (用数字作答)
13.若函数 ( ) = 2 2 + 1 在( 3, )上不单调，则实数 的取值范围为______．
14.已知在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，cos2 + cos2 cos2 = 1 3 ， = 2，
= sin2 ，且 为 上的中点，则 2的长为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin2 + 3 ．
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(1)求 ( )的最小正周期和对称轴方程；
(2)求 ( ) 在区间[ 3 , 3 ]上的最大值，并求出此时对应的 的值．
16.(本小题 15 分)
不透明的袋子中装有编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片，这 4 张卡片除编号外，其余完全相同.现从袋子中不
放回地抽取 1 张卡片，若这张卡片的编号为偶数，则结束抽取；若这张卡片的编号为奇数，则再从袋子中
不放回地抽取 1 张卡片，直至抽出编号为偶数的卡片，结束抽取．
(1)求恰好抽取 2 张卡片后结束抽取的概率；
(2)若抽出编号为奇数的卡片得 1 分，抽出编号为偶数的卡片得 2 分，记抽取结束后的总得分为 ，求 的分
布列与期望．
17.(本小题 15 分)
如图，直三棱柱 1 1 1中， = = 1， 1 = 2， ⊥ ， 是 1的中点．
(Ⅰ)证明： 1 ⊥平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2，( + )( ) = ( )．
(1)求角 的值；
(2)求 + 2 的最大值；
(3)若 边上的中线 长为 3，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 22 ．
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(1)讨论函数 ( )的极值点个数；
(2)若函数 ( )有两个不同的极值点 1， 2，其中 1 < 2．
( )证明： 1 + 2 < 0；
( )证明： ( 1) + ( 2) > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 160
13.[3,4)
14.1 + 2 3
15.(1) 1 3由题意得 ( ) = 2 (1 2 ) + 2 2
= 2 6 2
+ 16 2 = sin(2
1
6 ) + 2，
( ) 2 所以 的最小正周期 = 2 = ，
2 = 令 6 2 + , ∈ =
+ ，解得 3 2 , ∈ ，

可得 ( )的对称轴方程为 = 3 +

2 , ∈ ．
(2) ∈ [ 若 3 , 3 ]，则 2
5
6 ∈ [ 6 , 2 ]，
当 2 6 =

2，即 =
3
3时，sin(2 6 ) = 1， ( )取得最大值2，
所以 ( ) 3 在区间[ 3 , 3 ]上的最大值为2，此时 = 3．
16.解：(1)由题可知，要恰好抽取 2 张卡片后结束抽取，
则需第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，
2 2 1
故所求的概率为4 × 3 = 3；
(2)由题， 的所有可能取值为 2，3，4，
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2 1
若第一张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，则 ( = 2) = 4 = 2，
若第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，
1
则由(1)可知 ( = 3) = 3，
若前两张被抽出的卡片的编号均为奇数，则第二张被抽出的卡片的编号必是偶数，抽取结束，
则 ( = 4) = 2 1 14 × 3 = 6，
所以 的分布列为：
2 3 4
1 1 1
2 3 6
故 ( ) = 2 × 1 1 1 82 + 3 × 3 + 4 × 6 = 3．
17.(Ⅰ)证明：在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，且 ⊥ ，
点 为坐标原点， 、 、 1所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所
示的空间直角坐标系，
点 (0,1,0)、 (0,0,0)、 1(0,0,2)、 (1,0,1)，
= (0,1,0)、 = (1,0,1)、 1 = (1,0, 1)，
所以， 1 = 0， 1 = 1 + 0 1 = 0，则 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，因此， 1 ⊥平面 ．
(Ⅱ)解：设平面 1 的法向量为 = ( , , )， 1 = (0, 1,2)，
1 = + 2 = 0则 ，取 = 1，可得 = (1,2,1)， 1 = = 0
2 3
所以，cos < ， >= = = ，| | | | 2× 6 3
因此， 与平面 1 所成角的正弦值为
3．
3
18.(1)因为( + )( ) = ( )，则由正弦定理得( + )( ) = ( )，
2 2 2
即 2 + 2 2 = + 1，由余弦定理得 = 2 = 2 = 2，
因为 ∈ (0, ) ，所以 = 3．
(2)因为 = 2 2 4，由正弦定理可得 = = = 3 = 3，
2
则 = 43 ， =
4
3 ．
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因为 + + = ， = 3，所以 =
2
3 ，
+ 2 = 4 4 2 所以 3 ( + 2 ) = 3 [sin( 3 ) + 2 ]
4 3 1
= ( 2 + 2 + 2 )3
4 3 5
= (
3 2
+ 2 )
= 4 213 ( ×
5 7 21
14 + × 14 )，
+ 2 = 4 21所以 3 sin( + )，其中 =
3
5 ．
+ = 4 21所以当 2时， + 2 取得最大值，最大值为 3 ．
(3)由题意可知， = 3, = 2，
由(1)知 2 + 2 2 = ，即 4 = 2 + 2 ，①
因为 为 边上的中线，所以 2 = + ，
2 2 2
两边平方得：4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + ，
所以 12 = 2 + 2 + ，②
② ①可得 2 = 8，可得 = 4，
所以△ 的面积 = 12 =
1 3
2 × 4 × 2 = 3．
19.(1)由题设 ′( ) = ，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 1，
当 < 0 时， ′( ) < 0，
当 > 0 时， ′( ) > 0，
所以 ( ) = ′( )在( ∞,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，
由 (0) = ′(0) = 1 ，
当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0，则 ( )在 上单调递增，无极值点；
当 > 1 时， ′(0) < 0， → ∞或 →+∞时， ′( ) →+∞，
所以 ′( )在( ∞,0)、(0, + ∞)上各存在一个零点，分别取 ， ，
所以( ∞, )、( , + ∞)上 ′( ) > 0，( , )上 ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞, )、( , + ∞)上单调递增，在( , )上单调递减，
此时 ( )有两个极值点，
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综上， ( )在 ≤ 1 时无极值点，在 > 1 时有两个极值点；
(2)证明：( )令 ( ) = ( ) ( )且 > 0，
则 ′( ) = ′( ) + ′( ) = 2 > 2 + 2 = 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，则 ( ) ( ) > (0) (0) = 0，
所以，当 > 0，有 ( ) > ( )，结合(1)及已知 1 < 0 < 2，
则 ( 1) = ( 2) > ( 2)，且 2 < 0，
又 ( )在( ∞,0)上单调递减，则 1 < 2，所以 1 + 2 < 0 得证；
( )令 ( ) = ( ) + ( )且 > 0，则 ′( ) = ′( ) ′( ) = 2 ，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = + 2 > 0，即 ( ) = ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ′( ) > ′(0) = 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增， ( ) > (0) = 2，
由 1 < 0 < 2，且 ( 2) + ( 2) > 2，又 1 < 2 < 0，
结合(1) ( )在( 1, 2)上单调递减，则 ( 1) > ( 2)，
所以 ( 1) + ( 2) > ( 2) + ( 2) > 2 得证．
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