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第十七章　因式分解
17.1　用提公因式法分解因式
第2课时　提公因式法(2)
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
请同学们回忆单项式乘多项式的运算法则并完成下面的题目:
2.下列计算正确的是 ( )
A.(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y
B.(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1
C.(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y
D.（ an+1- b）·2ab= an+2b-ab2
1.计算-3x2(4x-3)的结果为 ( )
A.-12x3+9x2　　　　　 B.-12x3-9x2
C.-12x2+9x2 D.-12x2-9x2
A
知识关联
D
探究与应用
【探究1】 公因式含有多个字母或因式的因式分解
找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公因数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x
指数：相同字母的最低次数
1
问题 如何确定一个多项式的公因式？
【探究】公因式含有多个字母或因式的因式分解
【尝试交流】 试一试 : 把下列各式分解因式:
探究与应用
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)9 m 2n-6mn
(5)-6 x 2 y-8 xy 2
解：(1)原式=3（x+2y）
(2)原式=a（b-2c）
(3)原式=a2（1-a）
(4)原式=3mn（3m-2）
(5)原式=-2xy（3x+4y）
【理解应用】
探究与应用
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例1 把下列各式分解因式.
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
【探究2】公因式为多项式
【尝试交流】 试一试 : 找出下列各式公因式:
探究与应用
(1) 3（x+y）-6（x+y）
(2)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(3) 7(2a 2 -1)+(1-2 a 2)
(4)2a（c+b)-c-b
解：(1)x+y
(4)c+b
(2)2(m+n)
(3)2a2-1
(5)8(m-n)3-2(n-m)2.
(5)2(m-n)2
归纳总结 : 确定公因式的“四看”:
(1)看系数;(2)看字母;
(3)看相同字母的指数;
(4)看整体，即提相同的多项式.
【理解应用】
探究与应用
例2 把下列各式分解因式.
(1) 2a(b+c) - 3(b+c).
解（1） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
(2)4(a-b)3+8(b-a)2.
解（2） 4(a-b)3+8(b-a)2
=4(a-b)3+8(a-b)2
=4(a-b)2(a-b+2)
提公因式法分解因式的注意点:
(1)当多项式的某项恰好是公因式本身时，提取该项之后应保留其系数1；
(2)提取公因式后，若另一因式化简后又有公因式，应再次提取；
(3)可用单项式乘多项式的法则检验结果是否正确．
【理解应用】
【变式】
(1)多项式-6xyz+3xy2-9x3y各项的公因式为 ( )
A.-3x　　　　B.3xz　　　　C.3yz　　　　D.-3xy
D
(3)若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　 　.
4
探究与应用
(2)多项式a-b+c(a-b)分解因式的结果是 ( )
A.(a-b)(c+1) B.(b-a)(c+1)
C.(a-b)(c-1) D.(b-a)(c-1)
(4)分解因式 : (x+2)x-x-2= 　.
A
　(x+2)(x-1)
【变式】
(5)分解因式:
①(2x-3y)(3x-2y)+(2y-3x)(2x+3y);
探究与应用
【理解应用】
②m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x).
解:①原式=(2x-3y)(3x-2y)-(3x-2y)(2x+3y)
=(3x-2y)[(2x-3y)-(2x+3y)]
=(3x-2y)[2x-3y-2x-3y]
=-6y(3x-2y)
②原式=m(a-x)(x-b)+mn(a-x)（x-b）
=m(a-x)(x-b)(1+n)
例3　先分解因式，再求值:
(1)x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)，其中a=3、x=2、y=4;
(2)-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2，其中a=3、b=2、c=1.
答案:(1)原式=(a-x)(a-y)(x-y)　
当a=3、x=2、y=4时
原式=2
探究与应用
【理解应用】
(2)原式=-a(a-b)2(b-1+c)　
当a=3、b=2、c=1时
原式=-6
1.已知ab=2，a-4b=-5，求a2b-4ab2+ab的值.
2.设n为奇数，求证：n2除以8的余数为1.
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
解：1.原式=ab(a-4b+1)
把ab=2，a-4b=-5代入得
2×（-5+1）
=2×（-4）
=-8
解：2.设奇数 n=2k+1(k为整数)，
则 n2 =(2k+1)2
= 4k2+4k+1
=4k(k+ 1)+ 1.
由于k与k+ 1中必有一个为偶数，
故k(k+1)是偶数，
可设为2m，则4k(k+ 1)=8m.
因此，n2=8m+1，
即n2除以8的余数为1。
【小结】
课堂小结与检测
提公因式法
确定公因式的方法：
三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
【检测】
1.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式x-2后,余下的部分是 ( )
A.x+1　　　　B.2x　　　　C.x+2　　　　D.x+3.
D
课堂小结与检测
2.若要把多项式-12xy2(x+y)+18x2y(x+y)分解因式,
则应提取的公因式为　　 .
-6xy(x+y)
3.若ab=2,a-b=-1,则a2b-ab2=　 .
-2
【 检测】
4.分解因式:
(1)2ab(b+c)-3(b+c); (2)3(a+b)(a-b)-a-b;
(3)mn(m2+n2)-n2(m2+n2);
(4)2a2b(x+y)2(b+c)-6a3b3(x+y)(b+c)2.
答案:(1)(b+c)(2ab-3)　(2)(a+b)(3a-3b-1)
(3)n(m2+n2)(m-n)　
(4)2a2b(x+y)(b+c)(x+y-3ab3-3ab2c)
课堂小结与检测
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