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国庆假期专项训练1（菱形的性质与判定）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）
A. 对角线垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
2.下列说法中，不正确的是（）
A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等
3.已知菱形的周长为，两对角线长之比为，则对角线的长分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC=60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　　）
A. 1cm
B. 2 cm
C. 3cm
D. 4cm
5.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，添加下列条件，可以判定四边形EHFG为菱形的是 （ ）
A. AC＝BD B. AB// CD C. AD＝BC D. AC⊥BD
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.菱形是轴对称图形，有 条对称轴．
7.在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝ ．
8.如图，菱形的周长为8，，边在数轴上，将绕点顺时针旋转，点落在数轴上的点处，若点表示的数是3，则点表示的数是 ．
9.如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB，分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为 cm．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．
求证：BE＝DF．
11.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
(1) 求证：四边形ACDE是平行四边形．
(2) 若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
12.(本小题8分)
如图，在四边形中，，，点在上，将绕点顺时针旋转得，且点在上．
(1) 求证：；
(2) 若，求证：四边形是菱形；
(3) 若，求四边形的面积．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】两
7.【答案】57°
8.【答案】
9.【答案】4
10.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．在△ABE和△ADF中，∴．∴BE＝DF．
11.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB// CD，AC⊥BD．∴AE// CD，∠AOB＝90°．∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB．∴DE// AC．∴四边形ACDE是平行四边形．
【小题2】
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3．∴
．∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8．∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝5+5+8＝18．

12.【答案】【小题1】
证明:
B=,AC=BC,
ABC是等边三角形,
ACB=,
ECF=,
∠ACB-ACE=∠ECF-ACE,
ECB=FCA,
又BC=AC，CE=CF
ECBFCA(SAS),
AF=BE;
【小题2】
证明:由(1)得FAC=EBC=ACB=,
AFBC,
AF=BE,AE=DF,
AD=AB,
AD=BC,
四边形ABCD是平行四边形,
AD=AB,
四边形ABCD是菱形
【小题3】
解：ECBFCA,
四边形AECF的面积=ACB的面积
过A作AM垂直BC于M,
BC=2,ABC=,
BM=
AM==3,
四边形AFCE的面积=23=3.

第1页，共1页国庆假期专项训练2（矩形的性质与判定）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角相等
2.下列关于矩形的说法正确的是（）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形
C. 矩形的对角线互相垂直且平分 D. 矩形的对角线相等且互相平分
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是 （ ）
A. 3 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 12 cm
4.如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是 （ ）
A. 3 B. C. D. 4
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，D是AB的中点，若BC＝2，则∠ADC的度数为 ．
7.如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AC＝2AB，则∠AOD的度数等于 ．
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E．若BE＝1，AE＝2，则AC＝ ．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF．求证：AF＝DE．
10.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD．
(1) 求证：DF＝CF．
(2) 若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
11.(本小题8分)
已知∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD．
以下是甲、乙两位同学的作业：
甲：1．以点C为圆心，AB长为半径画弧； 2．以点A为圆心，BC长为半径画弧； 3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图①）．
乙：1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M； 2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图②）．
(1) 经老师判断，以上甲，乙两位同学的作业均正确，请挑选一位同学的作业，并给出证明过程；
(2) 请重新再找一种方法，作出矩形（不写作法，保留作图痕迹）．
12.(本小题8分)
如图，矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为2 cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)s．
(1) 若G，H分别是AB，DC的中点，且t≠2.5，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形．
(2) 在（1）的条件下，当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】120°
7.【答案】120°
8.【答案】5
9.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°．∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，∴．∴AF＝DE．
10.【答案】【小题1】
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴，，AC＝BD．∴OC＝OD．∴∠ACD＝∠BDC．∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF．∴DF＝CF．
【小题2】
∵DF＝CF，∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形．∴CD＝DF＝6．∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等边三角形．∴OC＝OD＝6．∴BD＝2OD＝12．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°．∴．∴．

11.【答案】【小题1】
解：选择甲的作业证明， 证明过程如下： 根据作图步骤1可知AB＝CD， 根据作图步骤2可知AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（两位同学的作业任选其一即可）
【小题2】
如图，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．

12.【答案】【小题1】
【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB// CD，AD// BC，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠DCA．∵AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝10 cm．∵G，H分别是AB，DC的中点，∴，，∴AG＝CH．∵E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为2 cm/s，∴AE＝CF，∴AF＝CE，∴
，∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH，∴GF// HE，∴以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形．
【小题2】
【解】如图，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形．∵G，H分别是AB，DC的中点，∴GH＝BC＝8 cm，∴当EF＝GH＝8 cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：由题知，AE＝CF＝2t． ①若E，F相遇前，EF＝8，则EF＝10-4t＝8，解得t＝0.5； ②若E，F相遇后，EF＝8，则EF＝2t+2t-10＝8，解得t＝4.5． 即当t为4.5或0.5时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形．

第1页，共1页国庆假期专项训练3（正方形的性质与判定）
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.正方形具有而矩形不具有的性质是（）
A. 对角线互相垂直 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 四角相等
2.如图，正方形中，，则的长是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
3.在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是 （ ）
A. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B. AB// CD，AC＝BD
C. AD// BC，∠A＝∠C D. AO＝DO，BO＝CO，AD＝AB
4.将图（1）中两个三角形按图（2）所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．下列判断正确的是 （ ）
A. 甲正确，乙不正确 B. 甲不正确，乙正确 C. 甲、乙都不正确 D. 甲、乙都正确
二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。
5.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是 .
6.如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为.连接，，，，已知是边长为的等边三角形，当 时，四边形为正方形.
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
7.(本小题8分)
如图，在正方形中，，，分别是边，，上的点，连接，交于点，且，求证：.
8.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，且DF＝BE．
(1) 求证：CE＝CF；
(2) 若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
9.(本小题8分)
如图，在正方形中，，动点，分别在边，上，且，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，求线段的长．
10.(本小题8分)
如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
(1) 求证：．
(2) 如果两个正方形的边长都为a，正方形A1B1C1O绕点O转动，那么两个正方形重叠部分（四边形OEBF）的面积等于多少？为什么？
11.(本小题8分)
如图，四边形和四边形都是正方形，与相交于点，点在的外部.
求证：
(1) ；
(2) .
12.(本小题8分)
如图，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝90°，连接AE，EC，BE，DE．
(1) 求证：EC平分∠BED；
(2) 求证：；
(3) 若ED＝1，，求BE的长．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】8
6.【答案】3
7.【答案】证明：如答图，过点作于点，则.
∵四边形是正方形，∴，.∴四边形是矩形.
∴，，.∴，.
∴.∵，∴.
∴.在和中，
∴.∴.∵，∴.

8.【答案】【小题1】
(1)证明:如图1中,
图1
在正方形ABCD中,BC=CD，B=CDF=,BE=DF,
CBECDF(SAS),
CE=CF;
【小题2】
解:GE＝BE+GD成立，理由如下：
理由:如图1
图1
CBECDF,
BCE=DCF,
ECD+ECB=ECD+FCD，
即ECF=BCD=，
又∵GCE=,
GCF=ECF-ECG=,
在GEC和GFC中,

ECGFCG(SAS),
EG=GF,
GE=DF+GD=BE+GD.

9.【答案】【小题1】
证明：如图，延长EB至H，使BH=DF，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠ABH=90°，AD=AB，
在△ADF和△ABH中，
∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF.
【小题2】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，BC=CD=AB=6，
∵BE=3，
∴CE=BC-BE=3，
设DF=a，
则CF=6-a，
∵EF=BE+DF，
∵EF=3+a,
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
即32+（6-a）2=（3+a）2，
解得：a=2，
∴DF=2．

10.【答案】【小题1】
解：证明：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAE＝∠OBF＝45°．∴∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°．∴∠AOE＝∠BOF．∴ ．
【小题2】
两个正方形重叠部分的面积等于．理由：∵，∴．

11.【答案】【小题1】
证明：在正方形和正方形中，，，.
∴，即.
∵在和中，∴.∴.
【小题2】
如答图，设，相交于点.
∵，∴.又，
∴，即.∴.

12.【答案】【小题1】
解：过点C作CF⊥CE交EB的延长线于点F． 在正方形ABCD中，∵∠EDC+∠EBC＝360°-∠BED-∠DCB＝180°， 又∵∠FBC+∠EBC＝180°，∴∠EDC＝∠FBC， 又∵∠FCB＝∠ECD＝90°-∠BCE，∴△EDC≌△FBC，∴∠CED＝∠F，EC＝FC．∵∠ECF＝90°，∴∠CEF＝∠F＝45°，∴∠CED＝∠CEF＝45°，∴EC平分∠BED；
【小题2】
∵△EDC≌△FBC，∴ED＝BF．∵EC＝CF，∠ECF＝90°，∴，∴；
【小题3】
过点A作AM⊥AE交EB于点M，则∠BAD＝∠MAE＝90°，∴∠BAM＝∠DAE．∵∠BAD＝∠BED＝90°，∴∠ABE＝∠ADE．∵AB＝AD．∴△ABM≌△ADE．∴BM＝ED＝1，，∴，∴BE＝BM+ME＝1+4＝5．

第1页，共1页国庆假期专项训练4（特殊平行四边形中的折叠问题）
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F．已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为 （ ）
A. 31° B. 28° C. 62° D. 56°
2.如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为（ ）
A. 102° B. 112° C. 122° D. 92°
3.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB＝8，DE＝5，则AD的长为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点处，则 BE的长度为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
5.如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为_________cm．
6.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PB+PE的最小值为_________．
7.如图，在矩形ABCD的边AD上找一点P，使点P到B，C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_________．
8.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则BG的长为 ．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题8分)
已知：如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形．
（2）若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求边AD的长．
10.(本小题8分)
如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边上的一点，BE＝1，F为AB的中点．若P为对角线AC上的一个动点，求PF+PE的最小值．
11.(本小题8分)
如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边相交于A，B两点，求线段AB长的最小值．
12.(本小题8分)
在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4．
(1) 如图，P为BC边上一点，将△APB沿直线AP翻折至△APQ的位置，当点Q落在CD边上时，DQ的长为 ；
(2) M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一条直线上时，求AM的长．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】AD的中点处
8.【答案】3
9.【答案】解：（1）由折叠可得：∠HEJ=∠AEH，∠BEF=∠FEJ，
∴∠HEF=∠HEJ+∠FEJ=×180°=90°，
同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形；
（2）由折叠可得：AE=BE=EJ=AB，CG=DG=KG=CD，HD=HK，CF=KF，
∴AE=CG，
∵EH=3cm，EF=4cm，
∴HF===5cm，
∵∠AHE+∠DHG=90°，∠DHG+∠HGD=90°，∠HGD+∠FGC=90°，∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AEH=∠FGC，且∠A=∠C=90°，AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴AH=CF，
∵AD=AH+HD=HK+FK=HF=5cm．
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：如图①，当点M在线段AB上时，∵四边形ABCD是矩形，∴AB// CD，∠ABC＝90°，∴∠CDM＝∠AMD， 根据折叠的性质，得∠AMD＝∠A′MD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM＝5．∵∠CBM＝90°，∴，∴AM＝AB-BM＝5-3＝2； 如图②，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5，

∵∠CBM＝90°，CB＝4，∴，∴AM＝AB+BM＝5+3＝8． 综上，AM的长为2或8．

第1页，共1页国庆假期专项训练5（一元二次方程的解法）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程x(x-10)＝0的解是 （ ）
A. x＝10 B. x＝0 C. x1＝10，x2＝0 D. x1＝-10，x2＝0
2.用配方法解一元二次方程x2-6x+8＝0时，配方后得到的方程是 （ ）
A. (x+6)2＝28 B. (x-6)2＝28 C. (x+3)2＝1 D. (x-3)2＝1
3.关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是 （ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
4.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．设道路的宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若关于x的一元二次方程(x-a)2＝1的两个根均为正整数，则a的值可能为 （ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
6.根据下表对应值，判断方程ax2+bx+c＝0的一个解为 ．
x 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -8 -9 -8 -5 0
7.若关于y的方程2y2+3py-2p＝0有一个根是y＝2，则关于x的方程x2-3＝p的解为 ．
8.一个直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的面积是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
9.用适当的方法解下列方程：
(1) x2+10x-96＝0．
(2) (3x+1)2+(3x+1)＝0．
(3) 2x2+3x＝3．
四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题8分)
下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解方程：6x2-2x＝1-3x．
解：原方程可化为2x(3x-1)＝-(3x-1)，……………………………………第一步
两边同除以3x-1，得2x＝-1，………………………………………………第二步
同边同除以2，得．……………………………………………………第三步
问题：
(1) 小明的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误；
(2) 请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
11.(本小题8分)
设一元二次方程.在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①，；②，；③，；④，.
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.
12.(本小题8分)
已知关于的一元二次方程
(1) 用公式法解方程；
(2) 用因式分解法解方程；
(3) 当为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
13.(本小题8分)
用整体换元法解特殊的一元二次方程．
【例】解方程：．
解：设，则原方程可化为，解得，．
当时，，解得；
当时，，解得．
所以原方程的解为，．
上述解法称为“整体换元法”．
(1) 请运用“整体换元法”解方程：；
(2) 已知，求的值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】x＝4
7.【答案】x1＝1，x2＝-1
8.【答案】6或
9.【答案】【小题1】
解：(x+5)2＝121，∴x+5＝11或x+5＝-11．∴x1＝6，x2＝-16．
【小题2】
(3x+1)(3x+1+1)＝0．∴3x+1＝0或3x+2＝0．∴，．
【小题3】
整理，得2x2+3x-3＝0．∵a＝2，b＝3，c＝-3，∴Δ＝b2-4ac＝9+24＝33＞0．∴．∴，．

10.【答案】【小题1】
二
【小题2】
6x2-2x＝1-3x， 2x(3x-1)＝-(3x-1)， 2x(3x-1)+(3x-1)＝0， (2x+1)(3x-1)＝0，∴2x+1＝0或3x-1＝0，解得，．

11.【答案】要使这个方程有两个不相等的实数根，，即，
②③均可选择.
选②解方程，则这个方程为，，
，；
选③解方程，则这个方程为，，.

12.【答案】【小题1】
解：根据题意，得，这里，，.，，，.
【小题2】
原方程变形为，，或，，.
【小题3】
由（1）知，，.方程的两个根都为正整数，为整数，是正整数，为整数，或，或，当为2或3时，此方程的两个根都为正整数.

13.【答案】【小题1】
解：设，则原方程变形为，解得，．当时，，解得；当时，，解得．所以原方程的解为，．
【小题2】
将原方程两边都除以，得．设，则原方程可化为，解得，，的值为或．

第1页，共1页国庆假期专项训练6（一元二次方程的根与系数的关系）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一元二次方程x2-4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1x2的值是 （ ）
A. 3 B. -3 C. -4 D. 4
2.方程的两根和是，则k的值是（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
3.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1＝0的两根，且x1x2＝-3，则k的值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.一直角三角形的两直角边长分别为方程的两根，则它的面积是（ ）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 35
5.已知m，n是方程x2-2x-2024＝0的两个实数根，则m2+2n的值为 （ ）
A. -2020 B. 2020 C. 2024 D. 2028
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.设方程3x2-12x+2＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
7.已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ．
8.已知关于x的方程x2+mx-20＝0的一个根是x1＝-4，则它的另一个根是x2＝ ．
9.小科同学在解关于的一元二次方程时误将看成，结果解得，，则原方程的解为 .
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题8分)
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1) x2+4x＝0．
(2) 2x2-3x＝5．
(3) 2x2+3＝x(7x+1)．
11.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2x+3-k＝0有两个不相等的实数根．
(1) 求k的取值范围．
(2) 若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
12.(本小题8分)
阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1) 应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ， ；
(2) 类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
(3) 提升：已知实数，满足，且，求的值．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】4

7.【答案】x2-7x+12＝0
8.【答案】5
9.【答案】，
10.【答案】【小题1】
解：a＝1，b＝4，c＝0，Δ＝b2-4ac＝42-4×1×0＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝-4，x1x2＝0．
【小题2】
原方程可化为2x2-3x-5＝0，Δ＝b2-4ac＝(-3)2-4×2×(-5)＝49＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两根为x1，x2，则，．
【小题3】
原方程可化为5x2+x-3＝0，Δ＝b2-4ac＝12-4×5×(-3)＝61＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两根为x1，x2，则，．

11.【答案】【小题1】
解：∵方程有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＞0，即22-4×1×(3-k)＝-8+4k＞0，解得k＞2．
【小题2】
∵方程的两个根为α，β，∴．∴k2＝3-k+3k，解得k1＝3，k2＝-1．∵k＞2，∴k的值为3．

12.【答案】【小题1】
【小题2】
一元二次方程的两根分别为，，，，
【小题3】
实数，满足，，且，，是一元二次方程的两个实数根，，，

第1页，共1页国庆假期专项训练7（应用一元二次方程）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份的售价为23万元，5月份的售价为16万元．设该款汽车从3月份到5月份售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，，，求的长．设的长为，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
4.毕业前夕，班主任王老师让每一位同学给班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，则这个班级的学生总人数是（）
A. 40 B. 30 C. 29 D. 39
5.九（3）班的化学课代表在经过老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班49人都会做该实验了．若设1人每次都能教会x名同学，则x的值为 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
6.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份利润将增加11万元，则六、七月份的平均增长率是 ．
7.某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1 400元，每件应降价 元．
8.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
(1) y与x之间的函数表达式为 （不要求写出自变量x的取值范围）；
(2) 该种商品日销售额 （填“能”或“不能”）达到2600元．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题8分)
《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？
10.(本小题8分)
甘肃临夏州积石山县地震牵动着全国人民的心，某市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元.
(1) 如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2) 按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该市教育局能收到多少捐款？
11.(本小题8分)
某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元.
(1) 若销售单价为45元，求每天的销售利润；
(2) 如果每天销售这款工艺品盈利1200元，那么每件工艺品的售价为多少元？
12.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务：
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材一 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是300元/辆，网上和实体店售价均为500元/辆．
素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价x（元/辆）与销售量y（辆）之间的关系如图所示：
素材三 据调查，网上销售量为每月800辆，销售价每降低10元，网上销售量平均每月多售出200辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少20辆．
【问题解决】
任务一 确定函数模型 求实体店销售该品牌自行车的月销售量y（辆）关于销售单价x（元/辆）的函数解析式；
任务二 计算所获利润 当该品牌自行车的网上售价为420元/辆时，求小明网上和实体店销售该品牌自行车的月利润分别是多少？
任务三 拟定价格方案 若使小明在实体店销售该品牌自行车获得11.25万元的销售利润且让利于顾客，则该自行车的销售单价应定为多少元？
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】20%
7.【答案】6或10
8.【答案】【小题1】
y＝-x+100
【小题2】
不能

9.【答案】解：设长为x步，则宽为(60-x)步．依题意，得x(60-x)＝864，解得x1＝36，x2＝24（不符合题意，舍去）．∴60-x＝24．∴36-24＝12（步）．答：它的长比宽多12步．
10.【答案】【小题1】
解：设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，由题意，得
，解得，（舍去）.则.
答：捐款增长率为20%.
【小题2】
第四天收到的捐款为（元）.
答：第四天该市教育局能收到17280元捐款.

11.【答案】【小题1】
解：（元）.
答：每天的销售利润为1050元.
【小题2】
设每件工艺品的售价为x元，则每天的销售量是件，
依题意，得，
整理，得，解得，（不合题意，舍去）.
答：每件工艺品的售价为50元.

12.【答案】解：任务一：设y关于x的函数表达式为y＝kx+b(k≠0)， 将点(500，500)，(600，400)代入y＝kx+b中，得，解得，∴y关于x的函数表达式为y＝-x+1000；
任务二：网上销售该品牌自行车的利润为：（元）＝28.8（万元）； 实体店销售该品牌自行车的利润为：（元）＝6.8（万元）； 答：小明网上和实体店销售该品牌自行车的月利润分别为28.8万元和6.8万元；
任务三：由题意，得(x-300)(-x+1000)＝112500，整理，得x2-1300x+412500＝0， 解得x1＝550，x2＝750．∵要让利于顾客，∴x＝550． 答：该自行车的销售单价应定为550元/辆．

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