资源简介

国庆假期专项训练1（三角形的概念）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.三角形是（）
A. 由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C. 任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D. 由在同一平面内的三条线段所组成的图形
2.图中给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）
A. B. C. D.
3.用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形，则下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是 （ ）
A. B. C. D.
4.如图，以为边的三角形的个数共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足(a-b)(a-c)＝0，则△ABC的形状为 （ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 无法判断
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.如图，
(1) 图中一共有 个三角形；
(2) 锐角三角形有 ，直角三角形有 、钝角三角形有 ．
7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=BD=BC，写出图中的等腰三角形： ．
8.
(1) 图①中直角三角形共有 个；
(2) 如图②，已知，，则图中共有 个等腰三角形， 个等边三角形.
9.如图，过A、B、C、D、E这五点中的任意三点画三角形．
(1) 以AB为边所画的三角形中，钝角三角形是 ，等腰三角形是 ；
(2) 以C为顶点画三角形，能画 个．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题8分)
如图，图中有多少个三角形？请写出这些三角形并指出其中以E为顶点的角．
11.(本小题8分)
如图，在△ABC中，A1，A2，A3，…，An为边AC上不同的n个点，先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形……
(1) 完成下表：
连接个数 BA1 BA2 BA3 BA4 BA5 BA6
出现三角形的个数
(2) 若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
(3) 若一直连接到BAn，则图中共有 个三角形．
12.(本小题8分)
如图1，点A1在直线a上，点B，C，D在直线b上．
(1) 以点A1，B，C，D中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形；
(2) 如图2，若在直线a上再增加一个点A2，以点A1，A2，B，C，D中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形；
(3) 如图3，若在直线a上再增加一个点A3，以点A1，A2，A3，B，C，D中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成 个三角形．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】【小题1】
6
【小题2】
△ABE，△ABC
△ABD，△ADE，△ADC
△AEC

7.【答案】△ABC，△BDC，△ABD
8.【答案】【小题1】
3
【小题2】
4
1

9.【答案】【小题1】
△ADB
△ABC、△ABE
【小题2】
6

10.【答案】解：图中有7个三角形，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE．以E为顶点的角有∠AEF，∠AED，∠DEB，∠AEB，∠DEF．
11.【答案】【小题1】
3
6
10
15
21
28
【小题2】
8个点．
【小题3】

12.【答案】【小题1】
解：一共可以组成3个三角形，它们是△A1BC，△A1BD，△A1CD；
【小题2】
一共可以组成9个三角形，它们是△A1BC，△A1BD，△A1CD，△A2BC，△A2BD，△A2CD，△A1A2B，△A1A2C，△A1A2D；
【小题3】
18

第1页，共1页国庆假期专项训练2（与三角形有关的线段）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6
2.如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是△ABC的 （ ）
A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 中线和角平分线
3.如图，在△ABC中，AD是中线，若BD＝5，则 （ ）
A. AD＝5 B. CD＝5 C. AC＝5 D. AB＝10
4.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，连接BG并延长，交AC于点E，过点C作CH⊥AD于点H，延长CH交AB于点F．下列说法错误的是 （ ）
A. AD是△ABC的角平分线 B. CH是△ACD的边AD上的高
C. AH是△ACF的角平分线和高 D. BE是△ABD的边AD上的中线
5.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12 cm2，则阴影部分的面积为 （ ）
A. 1 cm2 B. 1.5 cm2 C. 2 cm2 D. 3 cm2
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
6.若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 cm．
7.如图，BD是△ABC的角平分线．已知∠ABC＝60°，则∠DBC= °．
8.已知在△ABC中，边AB，AC的长度之比为3︰5，则边AB，AC上的高的比为 ．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题8分)
已知a，b，c为△ABC的三边长．
(1) 若b，c满足(b-2)2+|c-3|＝0，且a为方程|a-4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
(2) 若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC周长的最大值和最小值．
10.(本小题8分)
在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
(1) 画出△ABC的边BC上的高AD；
(2) 画出△ABC的边AC上的中线BE；
(3) △ABE的面积为 ．
11.(本小题8分)
如图，是的边 上的一点，，交于点，且．
求证：是的角平分线．
12.(本小题8分)
【图形定义】
有一条高相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①，在△ABC和△A′B′C′中，AD和A′D′分别是边 BC和B′C′上的高，且AD＝A′D′，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．
【性质探究】
如图①，，．
∵AD＝A′D′，
∴S△ABC:S△A′B′C′＝BC:B′C′．
【性质应用】
(1) 如图②，D是△ABC的边BC上的一点，若BD＝3，DC＝4，则S△ABD:S△ADC＝ ；
(2) 如图③，在△ABC中，D，E分别是边 BC和AB上的点，若BE:AB＝1:2，CD:BC＝1:3，S△ABC＝1，求△BEC和△CDE的面积．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】22
7.【答案】30
8.【答案】5︰3
9.【答案】【小题1】
解：∵(b-2)2+|c-3|＝0，∴b-2＝0，c-3＝0，解得b＝2，c＝3．∵a为方程|a-4|＝2的解，∴a-4＝±2，解得a＝6或a＝2．∵a，b，c为△ABC的三边长，∴3-2＜a＜3+2，即1＜a＜5．∴a＝6不符合题意，舍去．∴a＝2．∴△ABC的周长为2+2+3＝7，且△ABC是等腰三角形．
【小题2】
∵a＝5，b＝2，∴5-2＜c＜2+5，即3＜c＜7．∵c为整数，∴c的最小值为4，最大值为6．∴△ABC周长的最大值为5+2+6＝13，最小值为5+2+4＝11．

10.【答案】【小题1】
解：如图，AD即为所求.
【小题2】
解：如图，BE即为所求.
【小题3】
4

11.【答案】证明：∵，∴．又∵，∴．∴是的角平分线．
12.【答案】【小题1】
3:4
【小题2】


第1页，共1页国庆假期专项训练3（三角形的内角与外角）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则图中所有与∠1互余的角是 （ ）
A. ∠B B. ∠A C. ∠BCD和∠A D. ∠BCD
2.在△ABC中，若∠A＝∠B-∠C，则△ABC是 （ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
3.如图，该图形中的x的值为（ ）
A. 60 B. 65 C. 70 D. 75
4.如图，点C在AB的延长线上，CE⊥AF于点E，交FB于点D．若∠F＝40°，∠C＝20°，则∠FBA的度数为 （ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
5.如图，∠CGE＝α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 （ ）
A. 2α B. 270°-α C. 180°+α D. 360°-α
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
6.在△ABC中，，则∠A＝ ．
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，则∠ADC的度数为 ．
8.如图，将一副分别含30°，45°角的一副直角三角尺重叠，使直角顶点重合．若两直角重叠形成的角为65°，则∠α的度数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是边 BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝75°，求∠DAC的度数．
10.(本小题8分)
如图，B岛在A岛南偏西方向，B岛在C岛北偏西方向，C岛在A岛南偏东方向.从B岛看A，C两岛的视角是多少度？
11.(本小题8分)
如图，在中，，是的平分线，点，，在同一条直线上，，，求的度数．
12.(本小题8分)
如图，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．
(1) 求证：∠BPC＝∠A+∠ABP+∠ACP；
(2) 若∠A＝80°，∠D＝160°，求∠P的度数．
13.(本小题8分)
(1) 如图①，将∠BAC沿DE折叠，使点A落在∠BAC内部的点M处，当∠A＝50°，∠BDM＝30°时，求∠CEM的度数；
(2) 如图②，将∠BAC沿DE折叠，使点A落在∠BAC外部的点M处，求∠A，∠BDM，∠CEM之间的数量关系；
(3) 如图③，将∠A，∠B一起沿EF折叠，使点A，B的对应点M，N分别落在射线BD的左右两侧，则∠CEM，∠DFN，∠A，∠B之间的数量关系为 ．（直接写出结果）
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】36°
7.【答案】110°
8.【答案】140°
9.【答案】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
∵∠BAC=75°，
∴∠2+∠4=180°-75°=105°，即x+2x=105°，
∴x=35°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=75°-35°=40°．
10.【答案】
11.【答案】解：∵，，∴．∵是的平分线，∴．∵，∴．
12.【答案】【小题1】
证明：延长BP交AC于点E， 则∠BPC＝∠BEC+∠ACP ＝∠A+∠ABP+∠ACP；
【小题2】
设∠ABP＝∠DBP＝x， ∠ACP＝∠DCP＝y．
则∠BPC＝x+y+80°， ∠D＝x+y+∠BPC＝160°，
∴2x+2y+80°＝160°，
∴x+y＝40°，
∴∠BPC＝40°+80°＝120°．

13.【答案】【小题1】
70°
【小题2】
2∠A＝∠BDM-∠CEM
【小题3】
2(∠A+∠B)＝∠CEM-∠DFN+360°

第1页，共1页国庆假期专项训练4（三角形的综合）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中具有稳定性的是（）
A. 平行四边形 B. 三角形 C. 长方形 D. 正方形
2.下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④
3.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）
A. 三边高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 最长边的中点 D. 三边中线的交点
4.△ABC是等腰三角形，其中一边长为6 cm，另一边长比这一边长短2 cm，则这个等腰三角形的周长为 （ ）
A. 14 cm B. 16 cm C. 14 cm或16 cm D. 无法确定
5.如图，已知∠A＝37°，∠C＝26°，∠D＝50°，则∠1等于（）
A. 87° B. 100° C. 113° D. 247°
6.如图，在中，，.将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.如图，在△ABC中，∠ADC＝110°，∠BAC和∠ACB的平分线交于点D，则∠B＝ °．
8.如图，在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，则∠AEC＝ °．
9.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 ．
10.如图，∠BGF＝140°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ．
11.如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是 ．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题8分)
某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图所示的同一高度的位置定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线AP，为了准确定出右边开挖的方向线BQ，测量人员取一个可以同时看到点A，P，Q的点O，测得∠A＝28°，∠AOC＝100°，那么∠QBO应该等于多少度，才能确保BQ与AP在同一条直线上？
13.(本小题8分)
如图，，是的两条高，，，，求的长.
14.(本小题8分)
如图，求证：∠ A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．
15.(本小题8分)
如图1，将三角板(△MPN，∠MPN＝90°)放置在△ABC上（点P在△ABC内），三角板的两边PM，PN恰好经过点B和点C，我们来探究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
(1) 特例探究：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ ，∠ABP+∠ACP＝ ．
(2) 类比探究：探究∠ABP+∠ACP与∠A之间的数量关系．
(3) 变式探究：如图2，改变三角板的位置，使点P在△ABC外，三角板的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，探究∠ABP，∠ACP，∠A之间的数量关系．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】40
8.【答案】61
9.【答案】60°或10°
10.【答案】280°
11.【答案】
12.【答案】解：当点A，P，Q，B共线，即点P，Q在△OAB的边AB上时，两侧开挖的隧道在同一条直线上．∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∴∠QBO＝180°-28°-100°＝52°．
13.【答案】解：依题意，得..，，，.
14.【答案】证明：连接BE，设BC与DE的交点为F．
∵∠BFD＝∠C＋∠D，∠BFD＝∠FBE＋∠FEB，
∴∠C＋∠D＝∠FBE＋∠FEB．
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEA
＝∠A＋∠ABC＋∠FBE＋∠FEB＋∠DEA
＝∠A＋∠ABE＋∠BEA
＝180°．

15.【答案】【小题1】
90°
40°
【小题2】
∵(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A＝180°，∴90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A＝180°．∴∠ABP+∠ACP＝90°-∠A．
【小题3】
设AB交PC于点O．∵∠AOC＝∠POB，∠ACO+∠A+∠AOC＝∠P+∠PBO+∠POB＝180°，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP．∴∠ACP-∠ABP＝90°-∠A．

第1页，共1页国庆假期专项训练5（全等三角形及其性质）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是（）
A. 面积相等的两个图形是全等图形 B. 形状相等的两个图形是全等图形
C. 周长相等的两个图形是全等图形 D. 能够完全重合的两个图形是全等图形
3.如图，△ABC≌△EBD，AB＝4 cm，BD＝7 cm，则CE的长为（ ）
A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 3.5 cm
4.如图，△ABE≌△ACD，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠DOE的度数为 （ ）
A. 85° B. 95° C. 110° D. 120°
5.如图，若，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.如图，把△ABC沿直线AC翻折，得到△ADC，则△ABC≌ ，AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，∠BCA的对应角是 ．
7.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为 .
8.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别是A(-6，0)，B(0，5)，△OA′B′≌△AOB．若点A′在x轴上，则点B′的坐标是 ．
9.已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3a-2b，a+2b，则a+b＝ ．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题8分)
如图，，点A和点B是对应顶点，写出这两个三角形中相等的边和角.
11.(本小题8分)
如图，在中，于点D，，CF的延长线交AB于点E.
(1) 求证：；
(2) 若，，求AF的长.
12.(本小题8分)
如图，△ABC≌△ADE，分别延长BC，ED交于点F．
(1) 求证：∠ACF+∠E＝180°；
(2) 若∠BAC＝55°，∠CAD＝60°，求∠F的度数．
13.(本小题8分)
如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE．
(1) 求证：BD＝DE+CE；
(2) 若∠E＝90°，求证：△ABC是等腰直角三角形；
(3) 若∠E＝90°，则在图中可以通过平移、翻折、旋转中的哪些方法，使△BAD与△ACE完全重合？
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】△ADC
AD
AC
∠DCA

7.【答案】
8.【答案】(6，-5)
9.【答案】5或4
10.【答案】解：相等的边：，，；相等的角：，，.
11.【答案】【小题1】
证明：∵，∴.
∵，∴.
又∵，
∴.∴.
【小题2】

12.【答案】【小题1】
证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠E．∵∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠ACF+∠E＝180°；
【小题2】
∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠BAC＝55°．∵∠CAD＝60°，∴∠CAE＝∠CAD+∠EAD＝115°．∵∠ACF+∠E+∠CAE+∠F＝360°，∠ACF+∠E＝180°，∴180°+115°+∠F＝360°，∴∠F＝65°．

13.【答案】【小题1】
∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE．又∵A，D，E三点在同一条直线上，∴AE＝DE+AD．∴BD＝DE+CE
【小题2】
∵△BAD≌△ACE，∴AB＝CA，∠BAD＝∠ACE．∵∠E＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°．∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°．∴△ABC是等腰直角三角形
【小题3】
答案不唯一，如将△BAD先绕点D按顺时针方向旋转90°，再向下平移即可与△ACE完全重合

第1页，共1页国庆假期专项训练6（三角形全等的判定）
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在点A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕点 A转动，得到△ABD，这个实验说明 （ ）
A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
2.如图，AE// DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加的条件是（ ）
A. AB＝CD B. EC＝BF C. ∠A＝∠D D. AB＝BC
3.如图，要测量水池的宽AB，可过点A作AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要测量AB′的长，就知道AB的长，那么判定△ABC≌△AB′C的依据是 （ ）
A. ASA B. AAS C. SAS D. HL
4.如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为 （ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
5.如图，在△ABC和△BAD中，BC＝AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）．
6.如图，在四边形ABCD中，AB// DC，E为BC的中点，连接DE，AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为 ．
7.如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝4，AD＝3，AC＝x，则x的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
8.(本小题8分)
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
9.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．求证：
(1) BF＝BC；
(2) BD＝2CE．
10.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△BCD为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，点B的坐标是(0，-4)，点C的坐标为(-6，4)，CB交x轴负半轴于点A．
(1) 求证：A为BC的中点．
(2) 求点D的坐标．
11.(本小题8分)
如图，AB＝4 cm，BC＝6 cm，∠B＝∠C，点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q从点C出发沿射线CD运动．若经过t s后，△ABP与△CQP全等，求点Q的运动速度及t的值．
12.(本小题8分)
在和中，，，，与相交于点．
(1) 如图1，当时，求证：
①；
②．
(2) 如图2，当时，直接写出的度数为 ；
(3) 如图3，直接写出的度数为 （用含的式子表示）．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】AC＝BD
/∠CBA＝∠DAB
6.【答案】8
7.【答案】2＜x＜10
8.【答案】∵∠ACB+∠3＝180°，∠ACD+∠4＝180°，∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD．在△ACB和△ACD中，∴△ACB≌△ACD(ASA)，∴AB＝AD．
9.【答案】【小题1】
∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠CBE．∵CE⊥BE，∴∠FEB＝∠CEB＝90°．在△FBE和△CBE中，∴△FBE≌△CBE．∴BF＝BC
【小题2】
∵∠BAC＝∠BEF＝90°，∴∠CAF＝90°，∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°．∴∠ABD＝∠ACF．在△BDA和△CFA中，∴△BDA≌△CFA．∴BD＝CF．又∵△FBE≌△CBE，∴EF＝EC，即CF＝2CE．∴BD＝2CE

10.【答案】【小题1】
证明：过点C作CH⊥x轴于点H．∵B(0，-4)，C(-6，4)，∴OB＝CH＝4．∵∠AHC＝∠AOB，∠HAC＝∠OAB，∴△AHC≌△AOB(AAS)．∴AC＝AB，即A为BC的中点．
【小题2】
过点B作GP// x轴，交CH的延长线于点G，过点D作DP⊥BP于点P．∵△BCD为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∴BC＝BD，∠CBG+∠DBP＝90°．∵∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠DBP＝∠BCG．又∵∠G＝∠P，∴△CGB≌△BPD(AAS)．∴CG＝BP，BG＝DP．∵B(0，-4)，C(-6，4)，∴BG＝6，CG＝8．∴BP＝8，DP＝6．∴D(8，2)．

11.【答案】解：由题意知BP＝2t cm，PC＝(6-2t)cm． 分以下两种情况讨论： ①若△ABP≌△PCQ， 则AB＝PC，BP＝CQ．∴4＝6-2t， 解得t＝1．∴CQ＝BP＝2 cm． 此时点Q的运动速度为2÷1＝2(cm/s)； ②若△ABP≌△QCP， 则AB＝QC＝4 cm，BP＝CP．∵BP+CP＝BC＝6 cm，∴BP＝CP＝3 cm， 即2t＝3， 解得． 此时点Q的运动速度为． 综上，当点Q的运动速度为2 cm/s，t的值为1时，△ABP≌△PCQ；当点Q的运动速度为，t的值为时，△ABP≌△QCP．
12.【答案】【小题1】
证明：①∵，∴，即．在和中，∴．②∵，∴．∵，∴．∴．∴．
【小题2】

【小题3】


第1页，共1页国庆假期专项训练7（全等三角形中常见的辅助线）
一、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。
1.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°，则△ABC的面积为 ．
二、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
3.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，∠B＋∠ADC＝180°，求证：AB＝AD．
4.(本小题8分)
如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别交OA，OB于点M，N．若∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由．
5.(本小题8分)
如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°．
求证：DA平分∠CDE．
6.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的平分线上．
7.(本小题8分)
如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF平分∠BAE．求证：AF⊥CD．
8.(本小题8分)
如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点．求证：DE＝2AM．
9.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．
(1) ∠ AOC＝ ；
(2) 求证：AC＝AE＋CD．
10.(本小题8分)
如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，且AD＝CD．
(1) 求证：∠BAD+∠BCD＝180°；
(2) 试探究线段AB，BC，BE之间的数量关系，并说明理由．
11.(本小题8分)

(1) 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，CD上的点，且．求证： EF＝BE＋FD；
(2) 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别为BC，CD上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？直接写出结论，不用说明理由；
(3) 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ADC＝180°，E，F分别为BC，CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
1.【答案】1＜AD＜4
2.【答案】4
3.【答案】证明：过点A作AE⊥BC于点E，作AF垂直于CD的延长线于点F．
∵CA平分∠BCD，∴AE＝AF．
∵∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（AAS）．∴AB＝AD．

4.【答案】解：PM＝PN，理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OP平分∠AOB，∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°．
∵∠AOB＝90°，∠MPN＝90°．∴∠PMO＋∠PNO＝180°，
∵∠PMO＋∠PME＝180°，∴∠PME＝∠PNO．
在△PEM和△PFN中，
∴△PEM≌△PFN（AAS）．∴PM＝PN．

5.【答案】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，
∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，
∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AEF，
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
在△ACD和△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SSS）
∴∠ADC=∠ADF，
即AD平分∠CDE．
6.【答案】证明：连接BE，如图，

∵ED⊥BC，
∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）.
∴AE=DE.
∴点E在∠ABC的平分线上.

7.【答案】证明：如图，连接AC，AD． 在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD．∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF，∴∠BAF-∠BAC＝∠EAF-∠EAD，∴∠FAC＝∠FAD．在△ACF和△ADF中，∴△ACF≌△ADF(SAS)，∴∠AFC＝∠AFD．∵∠AFC+∠AFD＝180°，∴∠AFC＝90°，即AF⊥CD．

8.【答案】证明:如图,延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.
M为BC的中点,
CM=BM.
在AMC和NMB中,
AMCNMB(SAS),
AC=BN,C=NBM.
又AC=AD,
AD=BN.
ABAE,ADAC,
EAB=DAC=,
EAD+BAC=,
ABN=ABC+NBM=ABC+C=180-BAC=EAD.
在EAD和ABN中,
EADABN(SAS),
DE=AN,
,
DE=2AM.

9.【答案】【小题1】
120°
【小题2】
证明：∵∠AOC＝120°，
∴∠AOE＝∠DOC＝180°-∠AOC＝180°-120°＝60°．
在AC上截取AF＝AE，连接OF．
在△AOE和△AOF中，
∴△AOE≌△AOF（SAS）．∴∠AOE＝∠AOF．
∴∠AOF＝60°．∴∠COF＝∠AOC-∠AOF＝120°-60°＝60°．
又∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COF．
在△COD和△COF中，
∴△COD≌△COF（ASA）．∴CD＝CF．
∵AF＝AE，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD．

10.【答案】【小题1】
证明：如图，过点D作DF⊥BA于点F．∵BD为∠ABC的平分线，∴∠EBD＝∠FBD．∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠BED＝∠BFD＝90°． 在△BDE和△BDF中，∴△BDE≌△BDF(AAS)，∴DE＝DF．在Rt△ADF和Rt△CDE中，∴ Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，∴∠DAF＝∠DCE，AF＝CE．∵∠DAF+∠BAD＝180°，∴∠BAD+∠BCD＝180°．
【小题2】
解：AB+BC＝2BE．理由如下：由（1）可知△BDF≌△BDE，则BF＝BE，∴AB+BC＝BF-AF+BE+EC＝2BE．

11.【答案】【小题1】
证明：如图1，延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABE＋∠ABG＝180°，∠ABE＋∠D＝90°，
∴∠ABG＝∠D＝90°．
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∵∠3＋∠2＋∠EAF＝∠BAD，，
∴∠GAE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF．
∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋FD．
【小题2】
（1）中的结论EF＝BE＋FD仍然成立．
【小题3】
结论EF＝BE＋FD不成立，其数量关系是EF＝BE-FD．
证明如下：
如图2，在BE上截取BG，使BG＝FD，连接AG．
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，BG＝FD．
∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF．∴∠ GAE＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF．
∵EG＝BE-BG，∴EF＝BE-FD．

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