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国庆假期专项训练1（一元二次方程的解法）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）
A. ﹣1，3，﹣1 B. 1，﹣3，﹣1 C. ﹣1，﹣3，﹣1 D. 1，﹣3，1
2.一元二次方程4x2-2x+=0的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
3.用配方法解一元二次方程x2－4x－2＝0时，配方后正确的是( )
A. (x＋2)2＝4 B. (x＋2)2＝18 C. (x－2)2＝6 D. (x－2)2＝18
4.已知点A（m2－2，5m＋4）在第一象限角平分线上，则m的值为（ ）
A. 6 B. －1 C. －1或6 D. 2或3
5.已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2-10x+9=0的两根，则等腰三角形的周长是（ ）
A. 11 B. 19 C. 11或19 D. 不能确定
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.方程x2+3x＝0的解是 ．
7.已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为 ．
8.“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3-x＝0，它的解是 ．
9.对于实数a,b,定义运算如下:a◎b=-.若(m+2)◎(m-3)=24,则m= .
三、计算题：本大题共4小题，共24分。
10.用公式法解下列方程：
(1) -3 x2＋5x＋2＝0；
(2) 2 x2-5x＋1＝0．
11.用配方法解下列方程：
(1) x2＋4x-5＝0；
(2) x2-14x＋21＝0；
(3) 3 x2-6x-2＝0．
12.用因式分解法解下列方程：
(1) （3x-2）2＋（2-3x）＝0；
(2) 3 x＋15＝-2x2-10x．
13.阅读材料，解答问题．
解方程：(4x-1)2-10(4x-1)+24＝0．
解：把4x-1视为一个整体，设4x-1＝y，
则原方程化为y2-10y+24＝0，
解得y1＝6，y2＝4．
∴4x-1＝6或4x-1＝4．
∴，．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1) x4-x2-6＝0．
(2) (x2-2x)2-5x2+10x-6＝0．
四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
已知关于的一元二次方程.
(1) 求证：无论为何值，该方程总有两个实数根；
(2) 已知该方程有一个根大于3，求的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】
7.【答案】－1
8.【答案】x1=0，x2=-1，x3=1
9.【答案】-3或4
10.【答案】【小题1】
解：∵a＝-3，b＝5，c＝2，∴Δ＝b2-4ac＝49＞0．．∴ x1＝2，．
【小题2】
解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∴Δ＝b2-4ac＝17＞0．∴．∴，．

11.【答案】【小题1】
解：（x＋2）2＝5＋4．x1＝-5，x2＝1．
【小题2】
解：x2-14x＝-21．x2-14x＋49＝-21＋49，即（x-7）2＝28．∴．∴，．
【小题3】
解：3x2-6x＝2．．，即．∴．∴，．

12.【答案】【小题1】
解：（2-3x）2＋（2-3x）＝0，（2-3x）（2-3x＋1）＝0，， x2＝1．
【小题2】
解：3（x＋5）＝-2x（x＋5），（x＋5）（3＋2x）＝0，x1＝-5，．

13.【答案】【小题1】
解：设x2＝y，则原方程化为y2-y-6＝0，解得y1＝3，y2＝-2．当y＝3时，x2＝3，∴；当y＝-2时，x2＝-2，无实数解．∴原方程的解为，．
【小题2】
设x2-2x＝y，则原方程化为y2-5y-6＝0，解得y1＝6，y2＝-1．当y＝6时，x2-2x＝6，解得，；当y＝-1时，x2-2x＝-1，解得x3＝x4＝1．综上所述，原方程的解为，，x3＝x4＝1．

14.【答案】【小题1】
证明：.，，..无论为何值，该方程总有两个实数根.
【小题2】
解：.设该方程的两个根分别为，，则，.该方程有一个根大于，..

第2页，共2页国庆假期专项训练2（一元二次方程的根与系数的关系）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设方程x2＋2x－1＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. 1 D. －1
2.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1＝0的两根，且x1x2＝-3，则k的值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.若1和-2是x2+mx+n=0的根，则（ ）
A. m=1，n=2 B. m=-1，n=-2 C. m=1，n=-2 D. m=-1，n=2
4.已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是 （ ）
A. x2-7x+12＝0 B. x2+7x+12＝0 C. x2+7x-12＝0 D. x2-7x-12＝0
5.若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1＋2）（x2＋2）－2x1x2＝17，则m的值为（ ）
A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.已知一元二次方程x2+4x-1＝0的两根分别为m，n，则mn-m-n的值是 ．
7.若关于x的方程5x2-mx-1＝0的一根为1，则另一根为 ，m的值为 ．
8.若直角三角形的两条直角边的长a，b是方程x2-8x+14=0的两个根，则其斜边长c为 ．
9.若m，n是一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题8分)
已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－2＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
(1) x＋x；
(2) ＋.
11.(本小题8分)
已知关于x的方程x2+3x+k-2＝0有实数根．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)＝-1，求k的值．
12.(本小题8分)
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1) 材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ；
(2) 类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m，n，则＋的值是 ；
(3) 思维拓展：实数m，n满足2m2－3m－1＝0，2n2－3n－1＝0，且m≠n，求－的值．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】3
7.【答案】-0.2
4

8.【答案】6
9.【答案】3
10.【答案】【小题1】
解：由题意可知x1＋x2＝5，x1x2＝－2.
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝52－2×(－2)＝29.
【小题2】
＋＝＝＝－.

11.【答案】【小题1】
解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴Δ=32-4×1×（k-2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
【小题2】
解：∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1=-3，x1x2=k-2，
∵（x1+1）（x2+1）=-1，
∴x1x2+（x1+x2）+1=-1，
∴k-2+（-3）+1=-1，
解得k=3，
即k的值是3．

12.【答案】【小题1】

－
【小题2】
－
【小题3】
解：由题意，得m，n是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根，∴m＋n＝，mn＝－.
∵(n－m)2＝(n＋m)2－4mn＝()2－4×(－)＝.∴n－m＝±.
∴－＝＝±.

第2页，共2页国庆假期专项训练3（一元二次方程的实际问题）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感.设平均每轮传染中一个人传染个人，则下列结论不正确的是（ ）
A. 第一轮后共有个人患了流感
B. 第二轮后又增加个人患流感
C. 依题意可以列方程为
D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1000人患流感
2.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　
A. B. 3 C. D.
3.如图，在长为33 m，宽为20 m的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为510 m2．若设道路的宽为x m，根据题意所列方程为（ ）
A. （20＋x）（33-x）＝510 B. （20-x）（33-x）＝33×20-510
C. （20-x）（33-x）＝510 D. （20＋x）（33-x）＝33×20-510
4.在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（　　）人．
A. 9 B. 10 C. 12 D. 15
5.某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每条连衣裙每降价1元，商店每天可多销售2条．若商店想要每天盈利1200元，则每条连衣裙应降价（）
A. 5元 B. 10元 C. 20元 D. 10元或20元
6.下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形框出位置相邻的9个数（如：6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若框出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）
A. 32 B. 126 C. 135 D. 144
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
7.我市开展单循环形式（每两队之间赛一场）的球赛．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设有x个球队参赛，列方程为 ．
8.两年前生产1 t药品的成本是6000元，现在生产1 t药品的成本是4860元，则药品成本的年平均下降率是 ．
9.如图，已知篱笆总长为，现利用一面墙（墙的最大可用长度为）和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在上用其他材料做了宽为的两扇小门.若此时花圃的面积刚好为，则花圃的宽为 .
10.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n的值 ．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题8分)
某疾病具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患上该疾病，求每轮传染中平均每个人传染了几个人．
12.(本小题8分)
如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．求剪去的正方形边长．
13.(本小题8分)
一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少．
14.(本小题8分)
某水果批发商经销一种高档水果，卖出每千克水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价涨0.5元，每天销量将减少40千克．若水果批发商想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价格不太贵，则每千克水果售价应涨价多少元？
(1) 解法1：设每千克水果售价应涨价x元，由题意得方程： ；解法2：设每千克水果售价涨价后盈利（毛利润）x元，由题意得方程： ．
(2) 请你选择一种解法完成解答．
15.(本小题8分)
已知：如图，在中，，，.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x s（）.
(1) s后，的面积为；
(2) 几秒后，PQ的长度为5cm？
(3) 的面积能否为？请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】x（x-1）=21
8.【答案】10%
9.【答案】5
10.【答案】11
11.【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被感染．
依题意，得1+x+x（1+x）=196，
整理，得（1+x）2-196=0，
解得x1=13，x2=-15（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了13个人．

12.【答案】解：设剪去的正方形边长为x cm，
由题意，得(11-2x)(7-2x)＝21，
化简，得x2-9x+14＝0，
解得x1＝2，x2＝7（不合题意，舍去）．
答：剪去的正方形边长为2 cm．
13.【答案】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，
依题意得：x2=10（x-3）+x，
∴x2-11x+30=0，
∴x1=5，x2=6，
∴x-3=2或3．
答：这个两位数是25或36．
14.【答案】【小题1】

【小题2】
不妨选择解法1解答：设每千克水果售价应涨价x元，由题意得，解得 x1＝2.5，x2＝5．∵要使顾客觉得价格不太贵，∴x＝2.5．答：每千克水果售价应涨价2.5元．

15.【答案】【小题1】
1
【小题2】
在中，由勾股定理，得，
即.整理，得，
解得（不合题意，舍去），.
答：2s后，PQ的长度为5cm.
【小题3】
不能.
理由：假设的面积为，则由题意，得.
整理，得.
∵，
∴此方程无实数根，∴的面积不能为.

第2页，共2页国庆假期专项训练4（二次函数的图象与性质）
一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知二次函数y＝ax2+bx-c，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为 （ ）
A. B. C. D.
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，m），（3，m），则这条抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线x＝－1 B. 直线x＝0 C. 直线x＝1 D. 直线x＝3
3.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋1向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A. y＝（x－2）2－2 B. y＝（x－2）2＋3
C. y＝（x＋2）2－3 D. y＝（x＋2）2＋1
4.二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5.若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过A（－10，y1），B（2，y2），C（－1，y3），D（－5，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y3＜y1＜y2
6.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线．有下列说法：①c＜0；②abc＜0；③a-b+c＞0；④2a+3b＝0．其中正确的是 （ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④
7.已知二次函数y＝2x2-4x-1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
8.已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－3x－1上，则该抛物线的顶点坐标为 ．
9.如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A的坐标为(-1，0)，OC＝2，OB＝3，则抛物线的解析式为 ．
10.二次函数y＝x2－2hx＋h，当自变量x在－1≤x≤1的范围内有最小值n，则n的最大值为 ．
11.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，的坐标分别为，，.若二次函数的图象与正方形有交点，则的取值范围是 .
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题8分)
已知二次函数y=-x2+2x+3．
(1) 用配方法将函数关系式化为y=a（x-h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2) 画出所给函数的图象．
13.(本小题8分)
如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点．A（1，－2），B（0，－5）．
(1) 求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标；
(2) 当－3≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
14.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2－2（k－1）x＋k（k为常数）．
(1) 若抛物线G经过点（2，k），求k的值；
(2) 若抛物线G经过点（k＋1，y1），（1，y2），且y1＞y2，求出k的取值范围；
(3) 若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为（m，n），当k≥0时，求n－m的最大值．
15.(本小题8分)
如图，点，在抛物线上.已知点，的横坐标分别为-2，4，直线与轴交于点.
(1) 求直线的函数解析式；
(2) 在轴上找一点，使的值最小，请求出此时点的坐标及的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】（2，－7）
9.【答案】/
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】【小题1】
解：y=-x2+2x+3
=-（x2-2x+1）+4
=-（x-1）2+4．
∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）．
【小题2】
列表如表：
x -1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
画出所给函数的图象如图所示．

13.【答案】【小题1】
将A（1，－2），B（0，－5）代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．∴y＝x2＋2x－5＝（x＋1）2－6．∴顶点坐标为（－1，－6）
【小题2】
∵y＝x2＋2x－5＝（x＋1）2－6，∴当x＝－1时，函数有最小值－6．把x＝－3代入解析式，得y＝（－3＋1）2－6＝－2，∴当－3≤x≤0时，－6≤y≤－2

14.【答案】【小题1】
∵抛物线y＝x2－2（k－1）x＋k经过点（2，k），∴k＝4－4（k－1）＋k，解得k＝2
【小题2】
由题意，得（k＋1）2－2（k－1）（k＋1）＋k＞1－2（k－1）＋k，整理，得k2－4k＜0．∴易得0＜k＜4
【小题3】
∵抛物线y＝x2－2（k－1）x＋k的顶点坐标为（k－1，），∴将抛物线G向右平移1个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为（k，）．∴．∵－1＜0，∴当k＝1时，n－m有最大值，最大值为0

15.【答案】【小题1】
解： 点，在抛物线上，，，当时，；当时，.点的坐标为（-2，1），点的坐标为（4，4）.设直线的函数解析式为.把，代入，得解得直线的函数解析式为.
【小题2】
将代入，得...如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小.
设直线的函数解析式为.把，代入，得解得直线的函数解析式为.令，得.解得..点和点关于轴对称，.的最小值为的长.，的最小值为.

第2页，共2页国庆假期专项训练5（二次函数与一元二次方程）
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个公共点的坐标分别是(-2，0)，(5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是 （ ）
A. x1＝-2，x2＝5 B. x1＝2，x2＝-5 C. x1＝-2，x2＝-5 D. x1＝2，x2＝5
2.如表是二次函数y＝ax2＋bx－5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx－5＝0的一个根的取值范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 …
A. 1.1~1.2 B. 1~1.1 C. 1.2~1.3 D. 1.3~1.4
3.已知二次函数y＝-x2+bx+c的图象的顶点坐标为(1，5)，那么关于x的一元二次方程-x2+bx+c＝0的根的情况是 （ ）
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
4.若抛物线上的所有点都在轴下方，则必有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
5.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为 ．
6.若抛物线y＝x2-6x+c与x轴只有一个交点，则c＝ ．
7.抛物线与轴的一个交点坐标是（-1，0），则它与轴的另一个交点的坐标是 .
8.若二次函数y＝(k-2)x2-4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
9.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x－1）2＋c＝b－bx的解是 ．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题8分)
利用二次函数的图象求一元二次方程x2-2x-1＝0的实数根．（精确到0.1）
11.(本小题8分)
如图，抛物线与轴交于点，与直线交于点，，已知点与点关于抛物线的对称轴对称.
(1) 求二次函数与一次函数的解析式；
(2) 请直接写出关于的不等式的解集.
12.(本小题8分)
已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1（m是常数）．
(1) 求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点；
(2) 若该抛物线y＝x2－2mx＋m2－1与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），且，求 m的值．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】（2，5）
6.【答案】9
7.【答案】
8.【答案】k≤4且k≠2
9.【答案】x1=-2，x2=5
10.【答案】解：方程x2-2x-1＝0的根是函数y＝x2-2x-1的图象与x轴的公共点的横坐标．作出二次函数y＝x2-2x-1的图象（如图）．
由图象可知方程有两个根，一个根在-1和0之间，另一个根在2和3之间． 先求-1和0之间的根． 当x＝-0.4时，y＝-0.04； 当x＝-0.5时，y＝0.25． 因此，-0.4是方程的一个近似根． 同理，2.4是方程的另一个近似根． 综上，方程x2-2x-1＝0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4（根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可）．

11.【答案】【小题1】
解：将代入，得.解得.二次函数的解析式为.当时，..点与点关于抛物线的对称轴对称，.将，代入，得解得一次函数的解析式为.
【小题2】
解集为.

12.【答案】【小题1】
令y＝0，则x2－2mx＋m2－1＝0．∵Δ＝（－2m）2－4（m2－1）＝4＞0，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点
【小题2】
令y＝0，则x2－2mx＋m2－1＝0．∴x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－1．∵，∴，解得 m1＝1，m2＝－1，∴m的值为1或－1

第2页，共2页国庆假期专项训练6（二次函数的实际应用）
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在半径为的圆形铁片中挖去4个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
2.飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行的时间单位：的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来( )
A. B. C. D.
3.一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于飞行时间t（秒）的函数解析式为（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A. 1米 B. 1.5米 C. 1.6米 D. 1.8米
4.某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100个床位的旅馆．若每个床位每天收费10元，则床位可全部租出；若每个床位每天的收费提高2元，则相应地减少了10个床位的租出．如果每个床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每个床位每天最合适的收费是（）
A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 18元
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
5.加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（min）满足函数表达式y＝－0.3x2＋1.5x－1，则最佳加工时间为 min．
6.要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管长度应为 ．
7.悬链线是一种曲线，指两端固定的一条均匀的链条（不能伸长），在重力的作用下所呈现的曲线形状，如图1所示．我们可以将其抽象为如图2所示的抛物线，其中相邻两根铁链柱的高度AB＝CD＝80cm，它们之间的水平距离BD＝200cm，铁链最低点距地面20cm．若以地面所在水平线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则铁链所在抛物线的函数表达式为 ．
8.道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是 ．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题8分)
如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃．
(1) 设矩形的一边长为xm，面积为ym2，求y关于x的函数关系式．
(2) 当x为何值时，所围苗圃的面积最大？最大面积是多少？
10.(本小题8分)
如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，则水面CD的宽是10m．
(1) 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2) 当水位在正常水位时，有一艘宽为6m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6m的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
11.(本小题8分)
公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
(1) 当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？
(2) 若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
12.(本小题8分)
某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
(1) ①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是________元．
(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】2.5
6.【答案】2.25 m
7.【答案】
8.【答案】0.4米
9.【答案】【小题1】
解：依题意，得y=x（18-x），即y=-x2+18x（0＜x＜18）．
【小题2】
y=-x2+18x=-（x-9）2+81，可知顶点坐标为（9，81），
则当x=9时，所围苗圃的面积最大，最大面积为81m2．

10.【答案】【小题1】
解：设抛物线解析式为y＝ax2，点B（10，n），点D（5，n＋3），
则解得
∴；
【小题2】
当x＝3时，；
当x＝10时，y＝－4，
∵，
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．

11.【答案】【小题1】
解：设二次函数解析式为s＝at2＋nt，则解得
∴；
设一次函数解析式为v＝kt＋m，
则解得
∴v＝－t＋15，当v＝6时，t＝15－v＝9，
此时，，
∴当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是；
【小题2】
乙车行驶速度是10m/s，时间是ts，行驶路程为10t，设甲、乙之间的距离为h（单位：m），
则，
∴当t＝5s时，两车之间的距离h取最小值，即两车最近，最近距离为．

12.【答案】【小题1】
解：①设y＝kx＋b，则解得∴ y＝－2x＋200；
②40 70 1800
该商品进价是50－1000÷100＝40，
则w＝（－2x＋200）（x－40）＝－2（x－70）2＋1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
【小题2】
w＝（x－40－m）（－2x＋200）＝－2x2＋（280＋2m）x－8000－200m，
∵－2＜0，对称轴，∴当x＜70时，w随x的增大而增大，
又∵x≤65，∴当x＝65时，w取得最大值1400，
即11400＝－2×652＋（280＋2m）×65－8000－200m，解得m＝5．

第2页，共2页国庆假期专项训练7（二次函数与几何综合问题）
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b (a< b)，C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则 y关于x的大致图像是（）
A. B.
C. D.
2.如图，为坐标原点，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，将正方形绕顶点顺时针旋转，使点落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动（点运动到点停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD // x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF // x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为( )

A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
5.如图，抛物线y＝-x2＋2x＋3与y轴交于点C，已知D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
6.如图，抛物线y＝-x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P为第一象限内抛物线上一点，设点P的横坐标为t，则△ABP的面积为 ，△POC的面积为 ，△PBC的面积为 ，四边形ACPB的面积为 ．
7.如图，抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4都经过x轴上的A，B两点，两条抛物线的顶点分别为C，D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
8.(本小题8分)
如图，抛物线的顶点D在x轴上，且经过（0，－3）和（4，－3）两点，抛物线与直线l交于A，B两点．
(1) 直接写出抛物线解析式和点D的坐标；
(2) 若A（0，－3），且，求点 B的坐标．
9.(本小题8分)
如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与（ x≥0）的图象于B，C两点，交y轴于点A，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE // AC，交y2的图象于点E，求的值．
10.(本小题8分)
如图，抛物线y＝－x2＋1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），直线交抛物线于 P，Q两点，直线BP，BQ分别交y轴于C，D两点，求OC＋OD的值．
11.(本小题8分)
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a＜0）与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
(1) 直接写出抛物线的解析式；
(2) P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交对称轴于点N，连接AN，当∠ANC＝45°时，求直线PC的解析式．
12.(本小题8分)
已知二次函数y＝x2＋（m－2）x＋m－4，其中m＞2．
(1) 若该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
(2) 求证：二次函数y＝x2＋（m－2）x＋m－4图象的顶点在第三象限；
(3) 如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝－x－2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴交于点B，求△AOB面积的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】或
6.【答案】-2t2+4t+6

7.【答案】
8.【答案】【小题1】
解：D（2，0），；
【小题2】
连接OB，设．
则
，
∴m1＝－1，m2＝3，
∴或．

9.【答案】解：设点A的坐标为（0，a）（a＞0），
则x2＝a，解得，
∴点，，则，
∴点，
∵CD // y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴，
∴点D的坐标为，
∵DE // AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴，∴，
∴点E的坐标为，
∴，．

10.【答案】解：联立得，
∴，
设直线BP：y＝px＋q，联立得 x2＋px＋q－1＝0，
∴xp＋xB＝－p，xpxB＝q－1，
∴p＝－xp－1，q＝xp＋1，
∴直线BP：y＝（－xp－1）x＋xP＋1，
同理得直线QB：y＝（－xQ－1）x＋xQ＋1，
∴OC＝xP＋1，OD＝xQ＋1，
∴．

11.【答案】【小题1】
解：y＝－x2＋2x＋3；
【小题2】
过点A作AQ⊥AN交直线CP于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，
设对称轴与x轴的交点为D，
∴∠AHQ＝∠NDA＝90°，
∴∠AQH＋∠QAH＝90°，
设直线PC的解析式为y＝kx＋3，
∴N（1，k＋3），∴OD＝1，DN＝k＋3，
∵A（－1，0），∴OA＝1，
∴AD＝2，易得△NAD≌△AQH（AAS），
∴QH＝AD＝2，AH＝DN＝k＋3，
∴Q（－k－4，2），∴2＝k（－k－4）＋3，
∴或，
∴直线PC的解析式为或．

12.【答案】【小题1】
将O（0，0）代入y＝x2＋（m－2）x＋m－4，得m－4＝0，解得m＝4．∵m＞2，∴m＝4符合题意．∴y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1．∴顶点A的坐标为（－1，－1）
【小题2】
由题意，得顶点坐标为（，）．∵ m＞2，∴．∵，，∴．∴二次函数y＝x2＋（m－2）x＋m－4图象的顶点在第三象限
【小题3】
设平移后的二次函数图象对应的解析式为y＝x2＋bx＋c，则其顶点坐标为（，）．当 x＝0时，y＝c，∴点B的坐标为（0，c）．将（，）代入 y＝－x－2，得，解得．∵点B（0，c）在y轴的负半轴上，∴c＜0．∴．过点 A作AH⊥OB，垂足为H．∵A（－1，－1），∴AH＝1．∴．∵，∴当b＝－1时，△AOB的面积有最大值，最大值为．此时，符合题意．∴△AOB面积的最大值为

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