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2025年高二上数学空间动点最值专题
一．线段最值问题
1．在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝3，点M满足，则AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且PG⊥MQ，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为底面ABCD内一动点，且3，则线段PB的长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN．当MN的长最小时，二面角A﹣MN﹣B的平面角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的高PO为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当△HBD面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（　　）
B． C． D．
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线AA1的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，CC1的中点，G是棱B1C1上的一个动点，M为侧面BB1C1C上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．点G到平面AEF的距离为定值 B．若D1M⊥MC，则BM的最小值为2
C．若，且x+y+z＝1，则点G到直线AF的距离为
D．直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为
9．在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角C﹣AB﹣E的大小为，活动弹子M，N分别在对角线AC和BF上移动，且始终保持，则MN的长度最小时a的取值为（　　）
A． B． C． D．
二．向量相关最值问题
10．在空间直角坐标系O﹣xyz中，（﹣1，2，1），（1，1，2），（2，1，1），点Q在直线OP上运动，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的最小值为（　　）
A．4 B．5 C． D．9
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，空间中的动点P满足，则的取值范围为（　　）
A．[2，6] B．[1，3]
C． D．
13．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝AA1＝4，以点B为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为Γ，点P为Γ上的动点，当|PC1|取最小值时，此时的值为（　　）
A．16 B． C． D．
14．正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体．在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体．如图，E﹣ABCD﹣F是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点P为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
三．线段相加最值问题
15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AD1上一动点，求|MB|+|MD|的最小值（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AC＝AB＝CC1＝1，E是线段AB的中点，在△A1BC内有一动点P（包括边界），则|PA|+|PE|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
17．已知棱长为2的正四面体A﹣BCD，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则|MN|+|NB|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为腰长为1的等腰直角三角形，且AB＞AC，侧面ACC1A1为正方形，，P为平面A1BC内一动点，则PA+PE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
19．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E﹣ABCD﹣F，P为棱BC上一点，则下列四个结论中错误的是（　　）
A．AE∥平面BCF B．八面体E﹣ABCD﹣F的体积为
C．EP+FP的最小值为 D．点A到平面BCF的距离为
四．动点轨迹问题
20．在正三棱锥P﹣ABC中，，AB＝6，点D在△ABC内部运动（包括边界），点D到棱PA，PB，PC的距离分别记为d1，d2，d3，且，则点D运动路径的长度为（　　）
A． B．2π C． D．
21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1A的中点，点Q在底面正方形ABCD内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（　　）
A． B．π C．2π D．3π
22．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，，E为A1B1的中点．若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（　　）
A．24 B．18 C． D．12
23．已知正四棱锥M﹣ABCD的棱长均为2，下列说法不正确的是（　　）
A．平面MAB与平面ABCD夹角的正弦值为
B．若点P满足，则的最小值为
C．在四棱锥M﹣ABCD内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为
D．点Q在平面ABCD内，且，则点Q轨迹的长度为
五．动点取值范围问题
24．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AE＝BD＝4，P为线段AF上的动点（含端点），则下列选项错误的是（　　）
A．AE⊥CF B．平面PBC与平面ADE可能平行也可能垂直
C．PC2+PE2的取值范围是[32，64] D．点B到平面CEF的距离为
（多选）25．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足（0≤λ≤1，0≤μ≤1），则下列说法正确的是（　　）
A．若D1P∥平面A1BD，则λ2+μ2最小值为 B．若PO⊥平面A1BD，则，μ＝1
C．若，则P到平面A1BD的距离为 D．若λ＝1，0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则
（多选）26．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点P在底面ABCD内运动，则（　　）
A．三棱锥P﹣A1B1C1体积为定值 B．二面角P﹣A1C1﹣B1为定值
C．直线A1P与平面A1DB所成角的正弦值取值范围为 D．PA1+PC1的最小值为
课后练习
（多选）27．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为CB1的中点，P为平面ACD1上的一动点，则下列选项正确的是（　　）
A．二面角 D﹣AC﹣D1 的平面角的正切值为 B．三棱锥 B1﹣ACD1 体积为
C．以点 D 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 ACD1 所截的圆面的面积为
D．线段 B1P+PF 的最小值为
（多选）28．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，x∈[0，1]，y∈[0，1]，则（　　）
A．当x＝1时，A1P+CP的最小值为
B．当x+y＝1时，仅有一个点P满足到直线BB1的距离与到平面AA1D1D的距离相等
C．当x＝y时，有且仅有一个点P满足BD1⊥DP D．当x2+y2＝1时，线段AP扫过的图形面积为
（多选）29．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D，E分别为AC，AB的中点，点M是直三棱柱ABC﹣A1B1C1表面上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．若M是线段BC上一点，则三棱锥M﹣A1DE的体积为定值
B．若平面BCM∥平面A1DE，则点M的轨迹长度为
C．若M是A1C1的中点，则B1M与平面A1DE所成角的正弦值为
D．若点M是线段AB上一点，则A1M+CM的最小值为
（多选）30．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，则下列说法正确的是（　　）
A．该四棱台的高为 B．二面角C1﹣BD﹣C的大小为60°
C．若点P在四边形ABCD内，，则动点P的轨迹长度是
D．若点M在△BDC1内部（含边界），则MA+MA1的最小值为4
（多选）31．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1D上（含端点）运动，下列选项中正确的有（　　）
A．线段B1P长度的最大值是 B．点P到平面AB1C的距离是定值
C．直线B1P与BD所成角的最小值是30° D．直线B1P与平面A1BD所成角的正弦值的取值范围是
参考答案与试题解析
一．选择题（共23小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12
答案 B C A C A C A A C C C
题号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
答案 C A B C D A D B C A A
题号 24
答案 C
二．多选题（共8小题）
题号 8 25 26 27 28 29 30 31
答案 ACD ACD ACD ACD ABD ABD AB ACD
一．试题（共31小题）
1．在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝3，点M满足，则AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，
延长PA，PB，PC至点D，E，F，使得，
，
又由，得M，D，E，F四点共面，
∴AM的最小值，即为点A到平面DEF的距离，
由已知可得，△DEF是等边三角形，且DE＝DF＝EF＝6，
设等边三角形DEF的中心为O，求得，
在直角△POD中，可得，
即点P到平面DEF的距离为，则AM的最小值为．
故选：B．
2．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，
则，
，
因动点P在线段AB1上，则令，
即有点P（t，0，t），，
所以，，
因此点P到直线BC1的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为．
故选：C．
3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且PG⊥MQ，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：如图，
建立空间直角坐标系，
则，，设P（x，0，0），Q（1，y，0），
所以，，
因为PG⊥MQ，所以，即x﹣y+1＝0，所以y＝x+1，
又，
所以，当且仅当x＝0时取等号，此时y＝1，
所以，，，
设平面PMG的法向量为，
则，所以，
取，
所以当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离．
故选：A．
4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为底面ABCD内一动点，且3，则线段PB的长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2，可得B（2，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），
由题意设点P（x，y，0），且x∈[0，2]，y∈[0，2]，
（x，y，﹣2），（x﹣2，y﹣2，﹣2），
可得 x（x﹣2）+y（y﹣2）+4＝3，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
所以点P的轨迹是以线段BD中点（1，1，0）为圆心，以1为半径的圆，
则线段PB的长度的最小值为1．
故选：C．
5．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN．当MN的长最小时，二面角A﹣MN﹣B的平面角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意两个边长均为1的正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面互相垂直．
可得AB⊥BC，AB⊥BE，BC⊥BE，
以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，0，0），D（1，0，1），C（0，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），
在xOz平面上，直线AC方程为x+z＝1，可设M（t，0，1﹣t），
在xOy平面上直线BF方程为x﹣y＝0，
设CM＝BN＝a，因此得N（t，t，0），
由，得0＜t＜1，
则，
所以，
当且仅当时，MN取得最小值，
此时M，N分别是AC，BF的中点，
则，，，，，
设平面MNA的一个法向量，
则，
取x＝1，得（1，1，1），
设平面MNB的一个法向量是，
则，
取x1＝1，得（1，﹣1，﹣1），
所以，
由图可知，二面角A﹣MN﹣B的平面角为钝角，
所以二面角A﹣MN﹣B的平面角的余弦值为．
故选：A．
6．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的高PO为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当△HBD面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，
则PO⊥BD，
又因为CO⊥BD，PO∩CO＝O，PO，CO 平面POC，
所以BD⊥平面POC，
又OH 平面POC，则BD⊥OH，而，
要△HBD的面积取得最小值，当且仅当OH⊥PC，
此时，
由平面POC⊥平面ABCD，得OH在平面ABCD内射影为OC，
即∠COH是OH与平面ABCD所成的角，
所以，
所以OH与平面ABCD所成角的余弦值为．
故选：C．
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线AA1的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：建系如图：
则根据题意可得D1（0，0，2），E（1，2，0），A1（2，0，2），A（2，0，0），
所以，，，
设与，都垂直的向量为，
则，取，
所以P到直线AA1的距离的最小值为．
故选：A．
（多选）8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，CC1的中点，G是棱B1C1上的一个动点，M为侧面BB1C1C上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．点G到平面AEF的距离为定值
B．若D1M⊥MC，则BM的最小值为2
C．若，且x+y+z＝1，则点G到直线AF的距离为
D．直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为
【解答】解：对于A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，CC1的中点，
所以B1C1∥EF，
又EF 平面AEF，B1C1 平面AEF，
所以B1C1∥平面AEF，
又点G是棱B1C1上的一个动点，所以点G到平面AEF的距离为定值，故A正确；
对于B，连接C1M，因为D1C1⊥面BB1C1C，
所以C1M是D1M在平面BB1C1C上的射影，
要使D1M⊥MC，则C1M⊥MC，
所以点M的轨迹是平面BB1C1C上以F为圆心，1为半径的半圆，
所以BM的最小值为，故B错误；
对于C，对于C，连接AD1，D1G，GE，BC1，
因为，且x+y+z＝1，所以A，E，D1，G四点共面，
因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
又平面ADD1A1∩平面AEGD1＝AD1，平面BCC1B1∩平面AEGD1＝GE，
所以AD1∥GE，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1，则GE∥BC1，
因为E为棱BB1的中点，所以G为棱B1C1的中点，
故以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，2，1），G（1，2，2），
所以，
故点G到直线AF距离，故C正确；
对于D，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，
设C1G＝x（0≤x≤2），则A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，2，1），G（x，2，2），
所以，
设平面AEF的法向量为，
则，则，
令b＝1，则a＝0，c＝﹣2，
故，
设直线AG与平面AEF所成角为，
则，
因为0≤x≤2，所以0≤（x﹣2）2≤4，则，
所以，
所以直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为，故D正确．
故选：ACD．
9．在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角C﹣AB﹣E的大小为，活动弹子M，N分别在对角线AC和BF上移动，且始终保持，则MN的长度最小时a的取值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在正方形ABCD内过M作MP⊥AB于P，则MP∥BC，，则MP＝2a，
在矩形ABEF内过N作NQ⊥AB于Q，则NQ∥AF，，则NQ＝3a，
则AP＝MP＝2a，
又，所以BQ＝2a，
故AQ＝AB﹣BQ＝2﹣2a，PQ＝AP﹣AQ＝|2﹣4a|，
由二面角C﹣AB﹣E的大小为，
得，
又，
因此
，
当且仅当a时取等号，
所以当MN的长度最小值时，．
故选：A．
10．在空间直角坐标系O﹣xyz中，（﹣1，2，1），（1，1，2），（2，1，1），点Q在直线OP上运动，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由于空间直角坐标系O﹣xyz中，（﹣1，2，1），（1，1，2），（2，1，1），点Q在直线OP上运动，
故点Q、O、P三点共线，所以，
所以，，
故，
当t时，的最小值为．
故选：C．
11．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的最小值为（　　）
A．4 B．5 C． D．9
【解答】解：因为M，A，B，C四点共面，，
所以由共面定理可得，x+y﹣1＝1，即x+y＝2，
所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，即最小值为．
故选：C．
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，空间中的动点P满足，则的取值范围为（　　）
A．[2，6] B．[1，3]
C． D．
【解答】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由正方体的棱长为2，
可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），C1（2，2，2），
设点P（x，y，z），
则，，
则，
因为，
所以，
化简得，
令u＝x﹣1，v＝y﹣1，则有，
设t＝x+y，则t＝u+v+2，
由柯西不等式，
得，故，
即x+y的取值范围为，
又，，
所以．
故选：C．
13．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝AA1＝4，以点B为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为Γ，点P为Γ上的动点，当|PC1|取最小值时，此时的值为（　　）
A．16 B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
|PC1|取值最小时，P其在平面B1C1CB内，其在平面B1C1CB的交线为如图所示的圆弧．
故|PC1|取值最小时，B，P，C1三点共线，通过点P作PM⊥B1C1于M，
则，又，故，
所以，解得，从而，
因此．
故选：C．
14．正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体．在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体．如图，E﹣ABCD﹣F是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点P为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体，
如图，E﹣ABCD﹣F是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点P为正八面体内切球球面上的任意一点，
正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正△ABE边长为2，
则正八面体的表面积，
而正八面体可视为两个共底面的，
侧棱长与底面边长相等的正四棱锥E﹣ABCD与F﹣ABCD拼接而成，
正四棱锥E﹣ABCD的高，
则正八面体的体积，
设内切球半径为r，则，解得，
取EA的中点，
设O为正方形ABCD的中心也是内切球的球心，则，
因此PH的最大值为，
所以的最大值是．
故选：A．
15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AD1上一动点，求|MB|+|MD|的最小值（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AD1上一动点，
可以连接BD1，如图，
由正方体的性质可得△ADD1为等腰直角三角形，故，
△ABD1为直角三角形，，
将图中△ADD1绕AD1翻折至与△ABD1共面，如图，
所以由图可知，B，M，D共线时，|MB|+|MD|最小，
此时，
由余弦定理可知，
所以|MB|+|MD|最小值为．
故选：B．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AC＝AB＝CC1＝1，E是线段AB的中点，在△A1BC内有一动点P（包括边界），则|PA|+|PE|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，
则A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，0，0），A（1，0，0），，
所以，
设A关于平面A1BC的对称点为A′（x，y，z），z＞0，则，，
设平面A1BC的法向量，则，
令x1＝1，则y1＝﹣1，z1＝﹣1，所以，
所以A与A′到平面A1BC的距离即|﹣x+y+z|＝1①，
又，所以x﹣1＝﹣y＝﹣z②，所以由①②得|3z﹣1|＝1，
所以由z＞0可得，所以，
所以，
当且仅当A′，P，E三点共线时取等号，
所以|PA|+|PE|的最小值为．
故选：C．
17．已知棱长为2的正四面体A﹣BCD，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则|MN|+|NB|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，∵A﹣BCD为正四面体，∴AB＝AC，DB＝DC，
∵F为BC的中点，∴BC⊥AF，BC⊥DF，
∵AF∩DF＝F，AF，DF 平面ADF，
∴BC⊥平面ADF．
∵F是BC的中点，∴点B，C关于平面ADF对称，
∵点N在平面ADF上，故|NB|＝|NC|，
∴|MN|+|NB|＝|MN|+|NC|，
故当MC⊥平面ADB时，|MN|+|NB|取最小值，
∵A﹣BCD是边长为2的正四面体，
∴在Rt△ADE中，，
当MC⊥平面ADB时，M为等边三角形ABD的重心，
此时，
在Rt△CME中，，
故|MN|+|NB|的最小值为．
故选：D．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为腰长为1的等腰直角三角形，且AB＞AC，侧面ACC1A1为正方形，，P为平面A1BC内一动点，则PA+PE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，
则，
所以，
设A关于平面A1BC的对称点为A′（x，y，z），z＞0，
则，
设平面A1BC的一个法向量为，
则由，，可得
即令x1＝1，则y1＝0，z1＝﹣1，
所以为平面A1BC的一个法向量，
所以A与A′到平面A1BC的距离，
即|﹣x+z|＝1①，又，所以②，
所以由①②得|2z﹣1|＝1，又由z＞0，
可得x＝0，y＝0，z＝1，所以A′（0，0，1），
所以，
当且仅当A′，P，E三点共线时取等号，
所以PA+PE的最小值为．
故选：A．
19．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E﹣ABCD﹣F，P为棱BC上一点，则下列四个结论中错误的是（　　）
A．AE∥平面BCF
B．八面体E﹣ABCD﹣F的体积为
C．EP+FP的最小值为
D．点A到平面BCF的距离为
【解答】解：在正方体中，连接AC，EF可知相交于点O，且被O互相平分，
故四边形AFCE是平行四边形，
所以AEPCF，而AE 平面BCF，CF 平面BCF，
所以AE∥平面BCF，故A正确；
因为正方体棱长为2，所以四边形ABCD是正方形且，
OE⊥平面ABCD，OE＝1，
所以八面体E﹣ABCD﹣F的体积等于棱锥E﹣ABCD体积的2倍，
而棱锥E﹣ABCD体积等于，
故八面体E﹣ABCD﹣F的体积为，B正确；
因为P为棱BC上一点，将△EBC和△FBC展开成一个平面，
由题△EBC和△FBC均为正三角形，且边长为，
由三角形两边之和大于第三边知EP+FP最小值为EF，
在△EBF中由余弦定理可知，
，故C正确；
对于D选项：设点A到平面BCF的距离为h，
由等体积法知：，
，故D错误．
故选：D．
20．在正三棱锥P﹣ABC中，，AB＝6，点D在△ABC内部运动（包括边界），点D到棱PA，PB，PC的距离分别记为d1，d2，d3，且，则点D运动路径的长度为（　　）
A． B．2π C． D．
【解答】解：因为在正三棱锥P﹣ABC中，，AB＝6，
所以根据勾股定理易得PA，PB，PC两两相互垂直，故建系如图：
设D（x，y，z），因为点D到棱PA，PB，PC的距离分别记为d1，d2，d3，
则y2+z2，，x2+y2，
所以2（x2+y2+z2）＝20，
所以x2+y2+z2＝10，
所以D在以P为球心，为半径的球面上，
又P到正三角形ABC的中心H的距离为，
所以平面ABC内D到H的距离为2，
所以D的轨迹为正三角形ABC内以其中心H为圆心，2为半径的圆被正三角形所截得三段弧，
由平面几何知识易得每段弧所对的圆心角均为，
所以点D运动路径的长度为2π．
故选：B．
21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1A的中点，点Q在底面正方形ABCD内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（　　）
A． B．π C．2π D．3π
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1A的中点，
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：
M（2，0，1），C1（0，2，2），设Q（x，y，0），x，y∈[0，2]，
则：，；
点Q在底面正方形ABCD内运动，
由，得x（x﹣2）+y（y﹣2）+2＝1，整理得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
所以点Q的轨迹是以点（1，1，0）为圆心，1为半径的圆，此圆在正方形ABCD内部，
所以点Q的轨迹长度为2π．
故选：C．
22．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，，E为A1B1的中点．若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（　　）
A．24 B．18 C． D．12
【解答】解：由于动点P满足，故点P的轨迹是平面ACE与长方体表面相交线围成的图形，取B1C1的中点F，
如图所示：
连接EF，则EF∥AC，
又AE＝CF，所以四边形EFCA为等腰梯形，AC＝2EF＝4，
由此可得该梯形的高为h＝4，
所以．
故选：A．
23．已知正四棱锥M﹣ABCD的棱长均为2，下列说法不正确的是（　　）
A．平面MAB与平面ABCD夹角的正弦值为
B．若点P满足，则的最小值为
C．在四棱锥M﹣ABCD内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为
D．点Q在平面ABCD内，且，则点Q轨迹的长度为
【解答】解：如图，对于A，∵正四棱锥M﹣ABCD的棱长为2，
∴正四棱锥M﹣ABCD的高为，
设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得MP⊥AB，OP⊥AB，，
则平面MAB与平面ABCD的夹角为∠MPO，
则，故A错误；
对于B，，λ+μ+（1﹣λ﹣μ）＝1，
根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上，
∴当CP⊥平面MAD时，最小，此时根据等体积法可求出VM﹣ACD＝VC﹣MAD，
即，
可求得，
即的最小值为，故B正确；
对于C，设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，
正方体可以在正四棱锥M﹣ABCD内部任意转动，
所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径，
设内切球的半径为r，正四棱锥M﹣ABCD的体积为，
根据另一个体积公式表面积 ，
可得，
正方体对角线3a≤2r，，
∴正方体表面积，故C正确；
对于D，如图，以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴，过点A向上作垂线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（0，2，0），设Q（x，y，0），
∵，∴，
即x2+（y﹣2）2＝4（x2+y2），
化简整理可得，
∴点Q的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图，
由于，，∴，
则点Q的轨迹长度为，故D正确．
故选：A．
24．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AE＝BD＝4，P为线段AF上的动点（含端点），则下列选项错误的是（　　）
A．AE⊥CF
B．平面PBC与平面ADE可能平行也可能垂直
C．PC2+PE2的取值范围是[32，64]
D．点B到平面CEF的距离为
【解答】解：由矩形BDEF知，BD⊥DE，
因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，DE 平面BDEF，
所以DE⊥平面ABCD，
又正方形ABCD，所以DA，DC，DE两两垂直，
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（4，0，0），E（0，0，4），C（0，4，0），F（4，4，4），
选项A，（﹣4，0，4），（4，0，4），
所以 16+16＝0，即AE⊥CF，故选项A正确；
选项B，当P与F重合时，AD∥BC，DE∥BP，
又AD∩DE＝D，BC∩BP＝B，所以平面ADE∥平面PBC；
当P与A重合时，因为DE⊥平面ABCD，即DE⊥平面PBC，DE 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面PBC，
即平面PBC与平面ADE可能平行也可能垂直，故选项B正确；
选项C，设λ（0，4，4），λ∈[0，1]，
则（﹣4，4，0）﹣λ（0，4，4）＝（﹣4，4﹣4λ，﹣4λ），
（﹣4，0，4）﹣λ（0，4，4）＝（﹣4，﹣4λ，4﹣4λ），
所以PC2+PE2＝2[16+（4﹣4λ）2+（﹣4λ）2]＝64（λ2﹣λ+1），λ∈[0，1]，
当λ＝0或1时，PC2+PE2取得最大值64；
当λ时，PC2+PE2取得最小值48，
所以PC2+PE2的取值范围是[48，64]，故选项C错误；
选项D，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，
因为DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以DE⊥AC，
又BD∩DE＝D，BD、DE 平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF，即点C到平面BDEF的距离为AC，
由题意知，CE＝CF＝EF＝4，
所以△CEF的面积为S△CEF8，
设点B到平面CEF的距离为d，
因为VB﹣CEF＝VC﹣BEF，
所以 d S△CEF，即d，
所以点B到平面CEF的距离为，故选项D正确．
故选：C．
（多选）25．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足（0≤λ≤1，0≤μ≤1），则下列说法正确的是（　　）
A．若D1P∥平面A1BD，则λ2+μ2最小值为
B．若PO⊥平面A1BD，则，μ＝1
C．若，则P到平面A1BD的距离为
D．若λ＝1，0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则
【解答】解：如图，以点D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则有D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），A1（2，0，2），C1（0，2，2），O（1，1，0），
则，，，
对于选项A：，，．
设平面A1BD的一个法向量为，
则，则，则，
令x＝1，则y＝z＝﹣1，故．
因为，D1P∥平面A1BD，
所以，得λ+μ＝1，又因为0≤λ，μ≤1，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以λ2+μ2的最小值为，故选项A正确；
对于选项B：，则，
若PO⊥平面A1BD，则有m＝λe1+e2，
即，
解得λ＝1，，故选项B错误；
对于选项C：若，则，
则P到平面A1BD的距离为，故选项C正确；
对于选项D：，
当λ＝1，0≤μ≤1时，，
则
，
当μ＝0时，，
当0＜μ≤1时，
，
当且仅当μ＝1时，等号成立，
故，即，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）26．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点P在底面ABCD内运动，则（　　）
A．三棱锥P﹣A1B1C1体积为定值
B．二面角P﹣A1C1﹣B1为定值
C．直线A1P与平面A1DB所成角的正弦值取值范围为
D．PA1+PC1的最小值为
【解答】解：对于A，因为，点P到平面A1B1C1的距离d＝2，
所以，则选项A正确；
对于B，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
平面A1B1C1的法向量为，其中P（x，y，0），A1（0，0，2），C1（2，2，2），
则，，
设平面PA1C1的法向量为，
则，则，
令x1＝1，则y1＝﹣1，，
即，
设，
由此可知二面角P﹣A1C1﹣B1不为定值，故选项B错误；
对于C，设A1P与平面A1BD的夹角为θ，
当点P在BD所在的直线上时，A1P 平面A1BD，
此时夹角最小θ＝0°，sinθ＝0，过点P作平面A1BD的垂线PF，垂足为F，
即∠PA1F为直线A1P与平面A1DB所成角，当点P和点A重合时∠PA1F最大，
设点A到平面A1BD的距离为d，
由，
得，
解得，
即，
则直线A1P与平面A1DB所成角的正弦值取值范围为，则选项C正确；
对于D，若A1关于点A的对称点A2（0，0，﹣2），A1P+PC1＝A2P+PC1≥A2C1，
当且仅当A2，P，C1三点共线时等号成立，则，则选项D正确．
故选：ACD．
（多选）27．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为CB1的中点，P为平面ACD1上的一动点，则下列选项正确的是（　　）
A．二面角 D﹣AC﹣D1 的平面角的正切值为
B．三棱锥 B1﹣ACD1 体积为
C．以点 D 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 ACD1 所截的圆面的面积为
D．线段 B1P+PF 的最小值为
【解答】解：对于选项A：如图，设AC交BD于点O，
DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，则DD1⊥AC，同理DD1⊥DB，
又AC⊥BD，BD∩D1D＝D，BD，D1D 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，而D1O 平面BDD1B1，所以AC⊥DO，
所以∠DOD1是二面角D﹣AC﹣D1的平面角，
由已知，，
所以，故选项A正确；
对于选项B：由正方体性质知，故选项B错；
对于选项C：如图，设D1O交B1D于点G，由DO∥B1D1且，得，
即B1G＝2DG，，
由AC⊥平面BDD1B1，B1D 平面BDD1B1，得AC⊥B1D，同理可得AD1⊥B1D，
而AC∩AD1＝A，AC，AD1 平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，
以点D为球心作一个半径为的球，则该球被平面ACD1所截的圆面，
G为圆心，设P是圆周上一点，则，
圆面积为，故选项C正确；
对于选项D：延长GD至点M，使得DM＝DG，则GM＝GB1，即M是B1关于平面ACD1的对称点，
因此B1P+PF＝MP+PF≥MF，当且仅当P是PM与平面ACD1的交点时，等号成立，
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如上图，
则，，，∴，
，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）28．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，x∈[0，1]，y∈[0，1]，则（　　）
A．当x＝1时，A1P+CP的最小值为
B．当x+y＝1时，仅有一个点P满足到直线BB1的距离与到平面AA1D1D的距离相等
C．当x＝y时，有且仅有一个点P满足BD1⊥DP
D．当x2+y2＝1时，线段AP扫过的图形面积为
【解答】解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），A1（0，0，1），B1（0，1，1），C1（1，1，1），D1（1，0，1），
所以，（1，0，0），，
所以，即P（y，x，1），
选项A，当x＝1时，点P（y，1，1）为线段B1C1上的点，
将平面A1B1C1D1和平面BCC1B1沿B1C1展开为同一个平面，如图所示，
连接A1C，则A1P+CP≥A1C，当且仅当A1，P，C三点共线时，等号成立，
而，
所以A1P+CP的最小值为，故选项A正确；
选项B，当x+y＝1时，y＝1﹣x，则P（1﹣x，x，1），
所以，，，
所以点P到直线BB1的距离为，
易知，平面AA1D1D的一个法向量为，
而，
所以点P到平面AA1D1D的距离为，
当点P到直线BB1的距离与到平面AA1D1D的距离相等时，x，即x2﹣4x+2＝0，
因为x∈[0，1]，所以方程有一个解，
所以，即仅存在一个点P满足条件，故选项B正确；
选项C，当x＝y时，P（x，x，1），，，
所以，即BD1⊥DP，
所以满足条件的P点有无数个，故选项C错误；
选项D，当x2+y2＝1时，，
所以点P在以A1B1和A1D1为半径的上，线段AP是以AA1为旋转轴的圆锥的母线，
所以线段AP扫过的图形面积为该圆锥的侧面积的，即，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）29．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D，E分别为AC，AB的中点，点M是直三棱柱ABC﹣A1B1C1表面上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．若M是线段BC上一点，则三棱锥M﹣A1DE的体积为定值
B．若平面BCM∥平面A1DE，则点M的轨迹长度为
C．若M是A1C1的中点，则B1M与平面A1DE所成角的正弦值为
D．若点M是线段AB上一点，则A1M+CM的最小值为
【解答】解：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC，
因为M是BC上一点，所以点M到直线DE的距离为定值，
所以三角形DEM的面积为定值，
又A1到平面ABC的距离为AA1也是定值，
所以三棱锥M﹣A1DE的体积为定值，A正确；
如图1，取A1C1，A1B1的中点F，H，连接CF，FH，HB，
由CD∥A1F，CD＝A1F得四边形CDA1F为平行四边形，
所以A1D∥FC，
又F，H分别为A1C1，A1B1的中点，所以FH∥B1C1，
又BC∥B1C1，所以FH∥BC，
又DE∥BC，所以DE∥FH，
因为DE 平面A1DE，FH 平面A1DE，
所以FH∥平面A1DE，同理可证CF∥平面A1DE，
因为FH∩CF＝F，FH，CF 平面BCFH，
所以平面A1DE∥平面BCFH，
易知四边形BCFH为梯形，，
所以点M的轨迹长度为，故B正确；
如图2，以C1B1，C1C为y，z轴，过点C1作B1C1的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面A1DE的一个法向量为，
则，则，
取，则，
所以，
所以，
即B1M与平面A1DE所成角的正弦值为，故C错误；
如图3，展开底面ABC使之与侧面AA1B1B在同一平面内，则A1M+CM的最小值为A1C，
易知在三角形AA1C中，AC＝AA1＝2，∠A1AC＝120°，所以，
即A1M+CM的最小值为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）30．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，则下列说法正确的是（　　）
A．该四棱台的高为
B．二面角C1﹣BD﹣C的大小为60°
C．若点P在四边形ABCD内，，则动点P的轨迹长度是
D．若点M在△BDC1内部（含边界），则MA+MA1的最小值为4
【解答】解：对于选项A：如图1，过点A1作A1H⊥AC，垂足为H，则四棱台的高为A1H，
因为，所以，
所以，故选项A正确；
对于选项B：设O为四边形ABCD对角线的交点，则O为BD中点，CO⊥BD，
由C1D＝C1B，知C1O⊥BD，
所以二面角C1﹣BD﹣C的平面角为∠C1OC，
又，
所以△C1OC为正三角形，
所以二面角C1﹣BD﹣C的大小为60°，故选项B正确；
对于选项C：由勾股定理得，
故点P的轨迹为以H为圆心，以为半径的圆在正方形ABCD内部，
因为点H到边AB，AD的距离都为，
所以动点P的轨迹长度是，故选项C错误；
对于选项D：由图1易得BD⊥A1H，BD⊥AC，A1H∩AC＝A，A1H，AC 平面AA1C1C，
所以BD⊥平面AA1C1C，
不妨设M落在图2的M′（在C1O外）处，
过M′作M′M1∥BD，交C1O于M1，
则M′M1⊥平面AA1C1C，M1A 平面AA1C1C，
故M′M1⊥M1A，
故在Rt△AM1M′中，M1A＜M′A（直角边小于斜边）；
同理，M1A1＜M′A1，所以M1A+M1A1＜M′A+M′A1，
故动点M只有落在C1O上，MA+MA1才有可能取得最小值；
再看图3，易知，，
△C1OC和△C1OA1都为正三角形，A1关于C1O的对称点为C，
可知，即M与O重合时，MA+MA1有最小值，故选项D错误．
故选：AB．
（多选）31．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1D上（含端点）运动，下列选项中正确的有（　　）
A．线段B1P长度的最大值是
B．点P到平面AB1C的距离是定值
C．直线B1P与BD所成角的最小值是30°
D．直线B1P与平面A1BD所成角的正弦值的取值范围是
【解答】解：如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），
设P（a，0，a），且a∈[0，1]，
对于A，，
当a＝0时，，故A正确；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D∥B1C，B1C 平面A1BC，A1D 平面A1BC，
所以A1D∥平面A1B1C，
因为P∈A1D，所以点P到平面AB1C的距离等于点A1到平面AB1C的距离，
设A1到平面AB1C的距离为h，
由，
得，
得，故B不正确；
设P（a，0，a），且a∈[0，1]，
对于C，，，
设直线B1P与BD的所成角为θ，θ∈[0，π]，
则，
令，则，
所以，
函数f（t）＝3t2﹣4t+2，，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，所以，故C正确；
对于D，设平面A1BD的法向量，
则，
取x＝1，得（1，﹣1，﹣1），又，
所以直线B1P与平面A1BD所成角的正弦值为，
因为在a∈[0，1]上单调递增，
所以，故D正确．
故选：ACD．
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