资源简介

2025-2026学年上海市市西中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形一定是相似图形的是( )
A. 两个矩形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个正方形
2.如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式不能判定的是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，梯形ABCD中，，AC，BD交于O，下列等式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的相似的个数有
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个
5.如图，，，则下列式子中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，锐角中，，现想在边AB上找一点D，在边AC上找一点E，使得与相等，以下是甲、乙两位同学的作法：甲分别过点B、C作AC、AB的垂线，垂足分别是E、D，则D、E即所求；乙取AC中点F，作，交AB于点D，取AB中点H，作，交AC于点E，则D、E即所求.对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是( )
A. 甲正确乙错误 B. 甲错误乙正确 C. 甲、乙皆正确 D. 甲、乙皆错误
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知线段，，则a：______.
8.线段AB是线段MN、CD的比例中项，且，，则CD长为______.
9.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是______米.
10.如图，，，，当______时，
11.如图，，，，则
12.中，点D、E在AB、AC上，，，若，则 .
13.，，，G为重心，则______.
14.如图，D在的边BC上，，，，，则的面积为 .
15.线段，C为AB的黄金分割点，且，则 .
16.如图4，在中，点D、E分别在边AB，AC上，且，如果，，那么AC的长为______.
17.P是一边上的一点不与A、B、C重合，过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的的“相似线”中，，，当点P为AC的中点时，过点P的的“相似线”最多几条？ .
18.如图，已知菱形ABCD的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
解方程：
20.本小题10分
在中，，AD是斜边BC上的高.
证明：∽；
若，，求BD的长.
21.本小题10分
如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，AF：：5，求的值.
22.本小题10分
如图，在中，点P、D分别在边BC、AC上，，垂足为点A，，垂足为点P，
求证：；
如果，，求AP的长．
23.本小题10分
如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且
求证：；
为线段AE延长线上一点，且满足，求证：
24.本小题10分
如图，函数的图象经过点A、B，点A的坐标为过点A作轴，点C位于点A的下方，过点C作轴，与函数的图象交于点D，过点B作于点E，连接OC、
求的面积；
延长EB交AD于点F，当时，求BF的长；
连接OA，取OA中点Q，以线段OQ为较长直角边作，使与相似，求出P点坐标.
25.本小题20分
如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，点E为边BC上任意一点点E与点B不重合，点F在射线AD上，且，EF与CD相交于点
如果，求边CD的长；
将沿直线EF翻折，如果点C的对应点M恰好落在射线AD上，求BE的长；
在条件下，连接如果与相似，求CE的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
故选：
根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：如图，当时，
与不一定相似，
不一定等于，
不能判定，
故选
如图，将所给的每个选项逐一解析，即可解决问题．
该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握平行线分线段成比例定理的内容，准确找出图形中的对应线段．
3.【答案】C
【解析】解：，
，，，
∽，
，
，，，，
正确选项为C，
故选：
推出相似比逐一判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式，关键在于求出∽，
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
可利用勾股定理把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【解答】
解：观察可以发现，，，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角形，
第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，
第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，
第4个图形中，有两边为，，且为直角三角三角形，
只有第1，4个图形与左图中的相似．
故选：
5.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：
根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
6.【答案】C
【解析】解：如图1，连接DE，
于点E，于点D，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
故甲正确；
如图2，连接DE，
垂直平分AC，EH垂直平分AB，
，，，
，
∽，
，
，
∽，
，
故乙正确，
故选：
在甲同学所作的图形中，连接DE，由，，证明∽，则，变形为，进而证明∽，则，所以甲同学的作法正确；在乙同学所作的图形中，连接DE，由，，证明∽，得，则，进而证明∽，则，所以乙同学的作法正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查垂直的定义、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
7.【答案】5：2
【解析】解：，
则a：：
故答案为：5：
先把化成，再根据线段的比的意义，把，直接代入，即可求出a：b的值．
本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数．
8.【答案】
【解析】解：线段AB是线段MN、CD的比例中项，
，
故答案为：
根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积解答即可．
本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键．
9.【答案】12
【解析】解：设旗杆高度为x，则
，
解得
故答案为：
在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，即，
解得：，
，
故答案为：
根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案．
本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
11.【答案】10
【解析】解：，
，即，
解得：，
，
故答案为：
根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线段成比例定理是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：如图，
，，
：：3，AE：：3，
：：：3，
又，
∽，
：：3，
故答案为：
根据题意得到AD：：：3，根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质定理得到答案．
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
13.【答案】2
【解析】解：如图，为的重心，
是的中线，，
，，
，
，
故答案为：
根据直角三角形斜边上的中线性质求出CD，根据重心的性质求出CG的长即可．
本题考查了三角形的重心，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
14.【答案】36
【解析】解：过点A作于点E，如图所示：
，
和都是直角三角形，
设，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
的面积为：
故答案为：
过点A作于点E，设，则，在和中，根据勾股定理得，则，由此解得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可求出的面积．
此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，灵活利用勾股定理构造方程，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，
线段，C为AB的黄金分割点且，
，
，
故答案为：
根据黄金分割的定义得到，再求出AC的长即可．
本题考查了黄金分割的定义，掌握线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，
解得
故答案为：
根据，，可得∽，对应边成比例即可求出BD的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
17.【答案】3条
【解析】解：过点P作交BC于点F，则∽，符合题意；
过点P作交AB于点E，则∽，符合题意；
过点P作于点G，，，则∽，符合题意；
故答案为：3条．
根据三角形相似的判定，结合定义解答即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接BD，连接BF并延长交CD于点H，如图所示：
四边形ABCD是菱形，且边长为2，，
，，，
是等边三角形，
点E是AB的中点，
，
点F为CE的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
和都是直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：
故答案为：
连接BD，连接BF并延长交CD于点H，依题意得是等边三角形，，，证明和全等得，，则，再根据等边三角形性质得，则和都是直角三角形，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得，据此即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
19.【答案】
【解析】解：方程两边同乘，
得：，
解得：或5，
检验：当时，，
当时，，
原方程的解为
先把整式方程化为分式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键．
20.【答案】证明：是斜边BC上的高，
于点D，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，，
，

【解析】由AD是斜边BC上的高，得，因为，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽；
根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理证明∽是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：延长FE交 CD的延长线于点H，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
∽，
同理可得∽，
：：AF，
为 AD的中点，
，
∽，
：：CH，
：：5，
：：7，
：：9，
首先延长FE交 CD的延长线于点H，由四边形ABCD是平行四边形，易证得∽，∽，又由E为 AD的中点，AF：：5，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
22.【答案】证明：，，
，
，
∽，
，，
，
；
，
，且，
，
，，
∽，

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
通过证明∽，可得，，由外角性质可得结论；
通过证明∽，可得，即可求解．
23.【答案】证明：矩形ABCD，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
连接AC，交BD于点O，
矩形ABCD，
，
，
，
，
，
，
，
矩形ABCD，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，

【解析】由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定∽，利用相似三角形性质得到；
由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．
24.【答案】1；
；
或
【解析】的图象经过点，
，
轴，，
点C的坐标为，
轴，点D在函数图象上
点D的坐标为，
，
如图，
，
，
，
点B的纵坐标，
由反比例函数 ，
点B的横坐标，
设直线AD的解析式为，代入和得：
，解得，
，
当时，，
；
过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，
是OA的中点，
点Q坐标为，且，
，
即，
点M的坐标为，点N的坐标为，
线段OQ为较长直角边作，使与相似，
，
点P在MN上且点P为OM或ON的中点，
点P的坐标为或
先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积；
根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式，即可求出点F的坐标，进而求解；
先求出点Q的坐标，过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，可得点P在MN上且点P为OM或ON的中点，利用中点坐标解题即可．
本题考查反比例函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
25.【答案】；
5或；
5
【解析】如图1，过点D作于点H，
，
，
，
，
，
四边形ABHD是矩形，
，，
，
，
，
由勾股定理可得：；
如图2，
，
，，
，
，
∽，
，，
，
由折叠得，，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：或，
当时，如图3所示，
的长为5或；
如图4，连接AE，BD交于点O，
由知：，
，
，
，
与相似时，，
由得，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
四边形ABED是矩形，
，
过点D作于点H，可得四边形ABHD是矩形，可得，再由勾股定理即可求解；
证明∽，则，，再根据折叠的性质导角证明设，则，结合勾股定理可得，则，解方程即可；
与相似时，只能是，先证明∽，再在证明∽，推出，则，那么，则四边形ABED是矩形，故，可得CE的长．
本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

展开更多......

收起↑