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第十八章　分式
18.1　分式及其基本性质
18.1.1　从分数到分式
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
1.什么是单项式？什么是多项式？单项式与多项式统称 　　. 　
请同学们回顾整式的有关概念.
整式
知识关联
2. 表示3÷4的商，90÷(30+v)可以表示为 　
单项式定义：数或字母的积，单独的一个数或字母也是单项式
多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
【情境引入】
(1)甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是 　 小时;
探究与应用
(2)乙每小时做(x-6)个零件，做60个零件所用的时间是 　 小时;
(3)已知长方形的面积是16cm2，一边长是acm，则与其相邻的另一边长是 　cm;
(4)n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量为 　 吨;
(5)轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米/时，那么轮船在逆水中航行s
千米所用的时间为 　 小时，在顺水中航行s千米所用的时间为 　 小时;
(6)产量由m千克增长15%，就可达到 　 千克.
(1+15%)m　
【探究1】分式的概念
【尝试交流】
探究与应用
(1)长方形的面积为10，长为7，则宽为　　　　 ；
长方形的面积为S，长为a，则宽为　　　　 .
问题1:填空:
(2)在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则
他的平均速度为　　　 　km/h；
若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用c h，则他的平均速
度为　　　　 km/h.
【探究1】分式的概念
【尝试交流】
探究与应用
问题2 ：式子
1.它们有什么共同点
2.它们与分数有什么相同点和不同点？
不同点：
相同点：从形式上都具有分数 形式
分数的分子A和分母B都是整数。
这些式子 中A与B都是整式
B中都含有字母
【探究1】分式的概念
【概括新知】
探究与应用
一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B中都含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
分式的特点 : (1)分式的分母中必须含有字母.
(2)分式比分数更具有一般性.
【探究1】分式的概念
探究与应用
练习:下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
解：整式有(1)(2)(4)(5)(7)(9)，
分式有(3)(6)(8)(10)(11)．
一个式子是分式必须同时满足以下两个条件：
(1)式子的分子与分母都是整式；
(2)式子的分母中含有不表示常数的字母．
注意是分式，不能化简后再去判断；而 中分母π是常数，因此是整式．
【理解应用】
探究与应用
例1　填空:
(1)走一段长10千米的路,步行用了2x小时，骑自行车所用的时间比步行所用
时间的一半少0.2小时，则骑自行车的平均速度为 千米/时　;
(2)甲完成一项工作需t小时，乙完成同样的工作比甲少用1小时，甲、乙的
工作效率分别是 , 　;
(3)小李要打一份12000字的文件，第一天他打了2 h，打字速度为w字/min，
第二天他打字的速度比第一天快了10字/min，若两天打完这份文件，则第
二天他打字用的时间为 min　.
【探究2】分式有意义、无意义、值为零的条件
【尝试交流】
探究与应用
我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母应满足什么条件呢？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才能有意义，否则无意义.
分母不等于零
分式有意义的条件：
【理解应用】
探究与应用
下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） （2） （3） （4）
例2
解：
（1）要使分式 有意义，则分母3x≠0，即x ≠0.
（2）要使分式 有意义，则分母x-1≠0，即x ≠1.
（3）要使分式 有意义，则分母5-3b≠0,即 ;
（4）要使分式 有意义，则分母x-y≠0,即x≠y.
【探究2】分式有意义、无意义、值为零的条件
探究与应用
想一想：分式 的值为零应满足什么条件？
当A=0而 B≠0时，分式 的值为零.
注意：分式的值为零是分式有意义的一种特殊情况.
【理解应用】
探究与应用
变式一　当x为何值时,下列分式的值为零
分析：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.
∴ x ≠ 4.
而 x-4 ≠ 0，
∴ x = ±4，
（2）∵ x2 - 16=0，
∴当x = -4时，分式的值为零.
（1）∵2x=0，
∴ x = 0，
而 2x-6 ≠ 0，
∴ x ≠ 3.
∴当x = 0时，分式的值为零.
【理解应用】
变式二 当x为何值时，下列分式无意义
探究与应用
分析：当分式分母等于零时，分式无意义.
（1）∵x+5=0，
∴ x = -5，
∴当x = -5时，分式无意义.
（2）∵（x+3）(2x-2)=0，
∴ x+3 = 0，或 2x-2 = 0
∴ 当x = -3或1 时，分式无意义.
∴ x = -3 或 x = 1
【理解应用】
探究与应用
变式三 当x为何值时，分式 的值为正数
分析：当分子、分母同号时，分式的值为正数
（1）∵此分式的分子是 3，大于零
∴ 当分母 x - 5 > 0时，分式的值为正数
∴当x > 5时，分式的值为正数.
【理解应用】
探究与应用
变式四 分式 的值可能为零吗 为什么？
∵当分子 x-3=0 时 x=3
分析：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.
而 x2-9 ≠ 0，
∴ x ≠ + 3.
∴分式的值不可能零.
答：分式的值不可能零.
【概况归纳】
解决上述问题的注意事项:
探究与应用
【探究2】分式有意义、无意义、值为零的条件
(1)分式的值为零时，必须同时满足两个条件:
①分式的分母不等于0；②分式的分子等于0.
这样求出的x的取值范围中的公共部分，就是这类题目的解.
(2)分式的值为正数或负数时，分式的分子、分母同号或异号.
例3　当x为何值时，分式 的值为负数
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
解：∵分子的值为负数
∴分子，分母异号.
∵x2+1>0，即x2+1为正数，
∴只有当3x-6为负数，
即3x-6<0时，分式的值为负数，
∴ x<2.
分式的分子与分母同号时，分式的值为正数；
分式的分子与分母异号时，分式的值为负数。
在解答分式值的正负性问题时，要按照以上结论分情况讨论.
探究与应用
【拓展提升】
思考 : 若 的值是正数、负数、零，求x的取值范围.
答案 : 当 的值是正数时，x>2;
当 是负数时，x<-2;
当 的值是零时，x=2
【小结】
课堂小结与检测
分式
定义
值为零的条件
有无意义的条件
一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子 叫做分式 ，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
分式 有意义的条件是B ≠0.
分式 值为零的条件是A=0且B ≠0.
分式 无意义的条件是B =0.
【检测】
课堂小结与检测
1.下列代数式中，属于分式的有（ ）
A. B. C. D.
C
2.当a＝－1时，分式 ( )
A.没有意义 B.等于零
C.等于1 D.等于－1
A
【 检测】
课堂小结与检测
3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
4.已知，当x=5时，分式 的值等于零，则k .
= -10
【 检测】
课堂小结与检测
5.在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
答：当x ≠ 3时，该分式有意义；
当x=-3时，该分式的值为零.
【 检测】
课堂小结与检测
6.分式可以表示现实生活中的某些数量关系.
请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式表示.
答案不唯一，学生可自由发挥，只有符合题意即可

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