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初三数学练习【提优班】
（时间：70分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共6小题；每小题4分，满分24分）
A．三点确定一个圆
B．同弦所对的圆周角相等
C．对角互补的四边形四点共圆
D．垂直于半径的直线是圆的切线
2．如图，△ABC内接于，，，为的直径，交于，的延长线交于点，连接，，交于，在不添加其他辅助线的情况下，图中除外，相等的线段共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在△ABC中，，，△ABC的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ）
A．8 B．6 C． D．
4．如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
5．如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ）

A． B． C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题；每小题4分，满分32分）
7．如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为 ．（用含m，d的式子表示）
8．如图，是的直径，是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．若，则的大小是 度．
9．已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为 ．
10．如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为 ．
11．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是 ．
12．如图，在矩形中，点E在边上，连接，平分，点O是△BCE的内心，连接，，若，则的长为 ．
13．如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为 ．
14．如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题；满分58分）
16．（8分）如图，四边形内接于一圆，延长到点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，平分，求的度数．
17．（8分）如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
18．（12分）分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
19．（12分）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的小棒不一定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为（即图中灰色区域的面积，下同）；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．
（1）①______，______；(结果保留)
②比较与的大小．（参考数据：，．）
（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求．
（3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F．
（1）若，则______°；
（2）求证：点F是的中点；
（3）若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围．
【中考链接】
（6分）（2025·南京中考）如图，已知扇形AOB，点D为圆弧上一点，且ADB的度数为250°，若P为扇形内一点，则∠APB的取值范围是 ．

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