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北师大版2024 八年级上册
八年级数学上册第一次月考真题重组卷02试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 勾股定理与网格问题；在网格中判断直角三角形
2 0.94 勾股树（数）问题
3 0.94 勾股树（数）问题
4 0.85 实数与数轴
5 0.75 无理数
6 0.75 求最短路径(勾股定理的应用)
7 0.85 求河宽(勾股定理的应用)
8 0.65 程序设计与实数运算；求一个数的算术平方根；求一个数的立方根
9 0.64 求一个数的算术平方根；求一个数的立方根；相反数的定义
10 0.4 数字类规律探索；利用二次根式的性质化简
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
12 0.75 已知最简二次根式求参数；同类二次根式
13 0.65 已知一个数的平方根，求这个数
14 0.64 无理数的大小估算；已知字母的值 ，求代数式的值
15 0.65 勾股定理与折叠问题
16 0.15 用勾股定理解三角形；完全平方公式在几何图形中的应用；全等三角形的性质
二、知识点分布
三、解答题 17 0.95 二次根式的混合运算；绝对值的几何意义；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算
18 0.75 利用平方根解方程；求一个数的立方根
19 0.4 实数与数轴；几何问题(一元一次方程的应用)；数轴上两点之间的距离
20 0.65 无理数整数部分的有关计算；已知字母的值，化简求值；无理数的大小估算
21 0.75 立方根的实际应用；求最短路径(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
22 0.65 求最短路径(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
23 0.64 用勾股定理解三角形；利用勾股定理的逆定理求解；与三角形的高有关的计算问题
24 0.55 全等三角形综合问题；三线合一；用勾股定理解三角形2025-2026学年八年级上学期第一次月考卷真题重组卷02
数 学
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C C B C B D C
1．A
先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．
解：由图形可知：；；，
∴，
∴是直角三角形．
故选：A．
本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
2．D
此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理及勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案．
解：A、 ，，1不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，2，，不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、4，5，7，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、3，4，5，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意；
故选：D．
3．B
本题考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，即满足 的三个正整数a、b、c称为勾股数．
根据勾股数的定义逐项判断即可．
解：，因此2，5，6不是一组勾股数，A选项不符合题意；
，因此3、4、5是一组勾股数，B选项符合题意；
0.6和0.8不都是正整数，因此0.6、0.8、1不是一组勾股数，C选项不符合题意；
，因此、、不是一组勾股数，D选项不符合题意；
故选B．
4．C
本题考查了实数与数轴，算术平方根的定义，无理数的估算，解题的关键是掌握实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的估算．利用实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的定义求解即可．
解：根据数轴图可以发现点的整数部分是1，
∴只有选项C符合题意．
故选：C．
5．C
本题考查了无理数的定义：无理数就是无限不循环小数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
根据无限不循环小数是无理数判断作答即可．
解：由题意得，：是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，是无理数；
：（整数），是有理数；
：有限小数，是有理数；
：开立方开不尽，结果是无限不循环小数，是无理数；
：分数，是有理数；
（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）：无限不循环小数，是无理数；
综上所述，无理数有个，
故选C．
6．B
本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，将该U型池的侧面展开，再根据“两点之间，线段最短”，并结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图是其侧面展开图：
则，，
在中，由勾股定理可得：，
故他滑行的最短距离为，
故选：B．
7．C
此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
解：根据图中数据，由勾股定理可得：．
∴该河流的宽度为．
故选：C．
8．B
本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键．
将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可．
解：当，则，是有理数；
则当，则，是有理数；
则当，则，是无理数，直接输出，
∴当输入为时，输出的值是，
故选：B．
9．D
本题考查了算术平方根和立方根，相反数的定义，根据相反数的定义，互为相反数的两个数绝对值相等且符号相反．逐一计算各选项中的两个数，判断是否符合相反数．
解：选项A： 在实数范围内无意义，故A错误，
选项B：，两数均为，不互为相反数，故B错误，
选项C：，与绝对值不等，和不为0，故C错误，
选项D：与．根据立方根性质，，两数符号相反且绝对值相等，和为0，故D正确，
故选D．
10．C
本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
11．
本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值．
解：如下图所示，连接，
，
，
，，，，
，
，
．
故答案为：
12．
本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式与相等，可得关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出的值．
解：最简二次根式与相等，
可得：，
解得：，
．
故答案为： ．
13．9
本题考查了平方根，根据一个正数的平方根有两个且互为相反数列方程求得的值，进而求得这个数．
解：由题意得，，
解得，
∴这个数的平方根是和，
∴这个数是，
故答案为：．
14．
本题考查了估算无理数的大小，代数式求值，先估算的取值范围，得出的值，进而可得出结论．
解：∵，
∴，
∴，
∵、是两个连续的整数，且，
∴，
∴，
故答案为：．
15．3
本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：根据折叠可得，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得，
∴．
故选：A．
16．10
本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可．
解：如图2，
∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，
∴，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴，
∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为
，
∵，，
∴，即阴影部分的面积为10．
故答案为：10．
17．(1)
(2)
本题主要考查了二次根式的计算，结合绝对值性质，平方差公式和完全平方公式计算是解题的关键．
（1）根据二次根式除法运算和绝对值性质计算即可得到结果；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行计算即可得到结果．
（1）原式
．
（2）原式
．
18．(1)或；
(2)
本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
（1）根据平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求解即可．
（1）解：，
∴
∴或；
（2）解：，
，
，
．
19．或．
本题主要考查了数轴上两点间的距离公式以及绝对值方程的求解，熟练掌握数轴上两点间距离公式，并能根据点的位置分情况讨论求解方程是解题的关键．设点表示的数为，分点在点左侧、在点和点之间、在点右侧三种情况，根据列方程求解．
解：设点表示的数为．
点表示，点表示，
．
点表示，点表示，
．
，
，即．
情况一：点在点左侧，即
此时，，
，
，
，
．
，符合点在点左侧．
情况二：点在点和点之间，即
此时，，
，
，
，
．，符合点在点和点之间．
情况三：点在点右侧，即
此时，，
，
，
．
，此时不符合点在点右侧，舍去．
综上，点P表示的数为或．
20．(1)3，
(2)
本题考查了无理数的估算，与无理数有关的整数部分的运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干过程，得，即的整数部分为，小数部分为；
（2）模仿题干过程，得，即，结合是的小数部分，则，再代入进行计算，即可作答．
（1）解：依题意，∵，
∴，
则的整数部分为，小数部分为；
（2）解：依题意，∵，
∴，
∴，
即，
∵是是整数部分，
∴，
∵是的小数部分，
∴，
即．
21．(1)3
(2)蜘蛛爬行的最短路径为
(3)竹签的最大长度为
本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算；
（1）根据求一个数的立方根即可得到答案；
（2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可；
（3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可；
（1）解： ∵
∴正方体的变成为3，
故答案为：3；
（2）解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线．
在中，
，
∴蜘蛛爬行的最短路成为
（3）解：在中，
，
在中，
，，
所以竹签的最大长度为
22．(1)
(2)、、三点共线
(3)
本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可；
（2）连接，根据，得到当、、三点共线时，的值最小；
（3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解．
（1）解：，设，
，
，，，，
，，
；
（2）连接，
，
当、、三点共线时，的值最小．
故点满足的条件为、、三点共线；
（3）如图所示，根据，构造，，，，
当、、三点共线时，最小，最小值为，
延长到点，过点作于点，
则四边形是长方形，
，，，
，
即的最小值为．
23．(1)见解析
(2)
此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可；
（2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可．
（1）证明：∵，且，
∴
∵，
∴
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：∵，四边形的面积，
∴四边形的面积．
24．(1)见解析
(2)8
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质及等角的余角相等可得，再根据对顶角相等进行等量代换可得，最后利用等角对等边即可解答；
（2）过点E作，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答．
（1）∵，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点E作，垂足为F，
，
，，
，
∵G为中点，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
的长为8．2025-2026学年八年级上学期第一次月考卷真题重组卷02
数 学
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（23-24八年级上·四川达州·月考）如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5
3．（23-24八年级上·广东河源·月考）下列各组数中是勾股数的一组是（ ）
A．2，5，6 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．，，
4．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·四川巴中·月考）有下列各数：，，，，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（ ）（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3）
A．17 B． C． D．25
7．（23-24八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26八年级上·河南·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（ ）
　
A． B． C． D．
9．（25-26八年级上·四川巴中·月考）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．2与 B．与 C．与 D．与
10．（25-26八年级上·山东济南·月考）设 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．11
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ．
12．（25-26八年级上·四川达州·月考）若最简二次根式与相等，则 ．
13．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）一个数的平方根是和，则这个数是 ．
14．（25-26八年级上·上海金山·月考）已知、是两个连续的整数，且，则 ．
15．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ．
16．（24-25八年级上·四川成都·月考）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（25-26八年级上·四川达州·月考）计算：
(1)；
(2)．
18．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
19．（25-26八年级上·上海·月考）已知数轴上点A表示，点B表示，如果存在点P，满足，求点P表示的数是多少？
20．（25-26八年级上·四川巴中·月考）阅读材料：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为________，小数部分为________；
(2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值
21．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子．
(1)正方体的边长为 cm；
(2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度．
(3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度．
22．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．

(1)用含的代数式表示的长；
(2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
23．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在四边形中，，且．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
24．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，G为中点，求的长．

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