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2025—2026学年八年级上学期第一次月考卷
数 学
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B C C C B C C B
题号 11
答案 D
1．C
本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键．
解：，，，
；
故选：C．
2．B
此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案.
解：在中，，若，
∴，
∴正方形和正方形的面积差为：，
故选：B
3．B
本题考查勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可求解．
解：A、，6，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、，5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；
C、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，10，20，26不是勾股数，故本选项不符合题意，
故选：B．
4．C
本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解．
解：设，由折叠的性质可得，
是的中点，，
，
在中，，
解得．
即．
故选：C．
5．C
本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．
解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴点C表示的数为：．
故选：C．
6．C
本题考查了三角形的三边关系，实数的大小比较，熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得．
解：A、，不能摆成三角形，故不符合题意；
B、，不能摆成三角形，故不符合题意；
C、，能摆成三角形，故符合题意；
D、，不能摆成三角形，故不符合题意；
故选：C．
7．B
本题主要考查了实数与数轴，无理数和有理数，根据无理数的定义即可判断①和③，根据算术平方根的定义即可判断②，根据平方根的定义即可判断④，根据实数与数轴的关系即可判断⑤和⑥．
解：①任意两个无理数的和可能是有理数，如和，所以本选项说法错误，不符合题意；
②一个数的算术平方根一定是非负数，所以本选项说法错误，不符合题意；
③无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所以本选项说法错误，不符合题意；
④负数没有平方根，本选项说法正确，符合题意；
⑤实数和数轴上的点一一对应，所以本选项说法错误，不符合题意；
⑥因为实数和数轴上的点一一对应，所以在数轴上可以找到表示的点，本选项说法正确，符合题意；
综上，其中正确的个数有2个．
故选：B．
8．C
本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根．
先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可．
解：由图可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴化简的结果为．
故选：C．
9．C
本题考查了二次根式有意义的条件，正确求解是解题的关键．
根据二次根式的性质进行化简即可．
解：∵，
∴，
∴；
故选：C．
10．B
本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的定义结合举反例和列举法逐项判断即可．
解：①因为，，，故；
故①不符合题意；
②举反例，当时，，而，不相等，
故②符合题意；
③由题意知，，当时，，所以不可以是3；
当时，，所以可以是4；
当时，，所以可以是5；
当时，，所以可以是6；
当时，，所以不可以是7；
同理，也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的有3个，
故③不符合题意；
④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数是16；
然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数是255；
，
故④不符合题意．
故选：B．
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵是49的算术平方根，
，
解得，
的立方根是，
，
解得：．
当，时，，
∴的立方根是，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根，立方根性质可得x，y值，代入代数值，再求立方根即可求出答案.
12．
本题主要考查了勾股定理，解一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．
设，则，根据勾股定理构建方程，解方程，即可求解．
解：，，
，，
设，则，
，
，
，
在中，，
，解得：，
点在轴的负半轴上，
．
故答案为：．
13．3
本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解．
解：由折叠的性质知，
设，则，
∵，，
∴，即，
解得，
故答案为：3．
14．
本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．
先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可．
解：是线段的中点，，
，
设点表示的数是，
，
，
或（不合题意舍去），
点表示的数是：，
故答案为：．
15．或
本题考查了平方根，由平方根的性质可得与相等或互为相反数，分别求出的值进而即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键．
解：∵与是正数的平方根，
∴与相等或互为相反数，
∴或，
解得或，
当时，，
∴；
当时，，
∴，
故答案为：或．
16．
本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的立方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答．
解：∵，
∴，
∴原式，
解得，
∵，
∴，，
∴，
则，
∴，
则的立方根为，
故答案为：．
17．(1)
(2)或
本题考查了利用立方根和平方根解方程，熟练掌握立方根与平方根的定义是解题的关键．
（1）利用立方根的定义解方程即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可．
（1）解：
∴；
（2）解：
或
∴或．
18．(1)7.1
(2)
此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根是关键．
（1）计算算术平方根和立方根后再进行加法计算即可；
（2）化简绝对值，计算立方根和算术平方根后，进行加减法计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由可得，再根据勾股定理即可求解．
解：，
，
，，
．
20．(1)
(2)
本题考查二次根式的计算，完全平方公式，掌握算理是解决问题的关键．
（1）先将分母有理化，再求出的值，利用完全平方公式将所求代数式化为含有的式子，代入求值即可；
（2）利用完全平方公式将化为，代入求值即可．
（1）解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)
本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解．
（1）根据勾股定理逆定理即可证明；
（2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案．
（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
22．25厘米
本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键在于要考虑到将长方体展开成长方形有三种情况，分别计算出点A到点的距离，通过比较找到最小的．将该长方体展开得到长方形，使点A、点位于同一平面，有三种情况：长方形、长方形、长方形；分别计算对角线的长度，其中最小的即为所求．
解：在长方形中，厘米，厘米，
则（厘米）；
在长方形中，厘米，厘米，则厘米；
在长方形中，厘米，厘米，则厘米；
答：蚂蚁需要爬行的最短路程是25厘米．
23．(1)；
(2)．
本题考查无理数的估算，实数的大小比较．
（1）根据“作差法”比较大小即可；
（2）根据“作差法”比较大小即可．
（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)；
(2)
本题主要考查无理数的估算，平方根、算术平方根以及立方根的概念和算法，属于理解题型，对于初学者来说，无理数的估算比较抽象，重点是要掌握表示整数部分和小数部分的方法，易错点为忽略一个正数有两个平方根，审清题意掌握相关概念是解题的关键．
（1）先判断的区间，进一步估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为4，最后用表示小数部分．
（2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间算法得出的值，最后代入式子求其平方根．
（1），
即，
的整数部分为4，
的小数部分为．
（2）由题意得，
，
，．
的整数部分是3，
，
，
的平方根是．2025—2026学年八年级上学期第一次月考卷
数 学
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，若，，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
2．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ）
A． B． C． D．无法计算
3．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．6，8，9 B．5，12，13 C．8，15，16 D．10，20，26
4．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为( )
A． B． C． D．
5．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　)
A． B． C． D．
6． 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（ ）
A．，5，7 B．3，4，8 C．1，， D．5，5，10
7．下列命题中：①任意两个无理数的和还是无理数；②一个数的算术平方根一定是正数；③无限小数都是无理数；④负数没有平方根；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥在数轴上可以找到表示的点；其中正确的个数有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法：
①；
②：
③若方程，则满足条件的的整数值有3个；
④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239．
其中说法不正确的有（　　）
A．① B．② C．③ D．④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，则点的坐标是 ．
13．如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ．
14．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ．
15．已知与是正数的平方根，则的值是 ．
16．已知，，的立方根是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)，求的值
(2)，求的值
18．计算：
(1)；
(2)．
19．如图，在中，，若，，，求的长．
20．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
21．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
22．如图所示，一只蚂蚁在长方体（长10厘米，宽5厘米，高20厘米）的底面上的点A处，蚂蚁想吃到底面上与点A相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
23．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
24．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如：
，即，
的整数部分为，
的小数部分为．
(1)的整数部分为___________，小数部分为___________．
(2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．(共6张PPT)
北师大版2024 八年级上册
八年级数学上册第一次月考卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 用勾股定理解三角形
2 0.94 以直角三角形三边为边长的图形面积
3 0.85 勾股树（数）问题
4 0.75 勾股定理与折叠问题
5 0.65 实数与数轴
6 0.65 构成三角形的条件；实数的大小比较
7 0.64 平方根概念理解；实数与数轴；求一个数的算术平方根；无理数
8 0.64 求一个数的算术平方根；实数与数轴；带有字母的绝对值化简问题
9 0.55 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简
10 0.15 无理数的大小估算；无理数整数部分的有关计算；求一个数的算术平方根；新定义下的实数运算
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 化为最简二次根式；同类二次根式
12 0.94 用勾股定理解三角形；解一元一次方程（二）——去括号
13 0.65 勾股定理与折叠问题
14 0.75 数轴上两点之间的距离；实数与数轴
15 0.65 已知一个数的平方根，求这个数
16 0.64 求一个数的立方根；利用二次根式的性质化简；利用算术平方根的非负性解题；二次根式有意义的条件
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 利用平方根解方程；求一个数的立方根
18 0.84 实数的混合运算
19 0.75 用勾股定理解三角形；等边对等角
20 0.4 通过对完全平方公式变形求值；二次根式的混合运算
21 0.85 线段垂直平分线的性质；判断三边能否构成直角三角形；用勾股定理解三角形
22 0.75 用勾股定理构造图形解决问题；求最短路径(勾股定理的应用)
23 0.65 实数的大小比较；无理数的大小估算
24 0.55 求一个数的平方根；无理数整数部分的有关计算；求一个数的立方根；已知字母的值 ，求代数式的值

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