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2025—2026学年八年级上学期第一次月考卷04
数 学
（测试范围：八年级上册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各图中，作边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．等腰三角形中的顶角是，则另两个内角的度数分别为（ ）
A． B．
C． D．或
4．三角形一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，这个三角形（ ）
A．是直角三角形 B．是锐角三角形
C．是钝角三角形 D．属于哪一类不能确定
5．如图，在四边形中，，，点关于的对称点恰好落在上，连接，为的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E、F，过点E、F作直线交于点D，连接，则的周长为（ ）．
A．7 B．8 C．10 D．13
8．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
10．如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E．有下列结论：①；②；③；④的面积的面积，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，于，于，，则的依据是 （填判定定理）．
12．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ．
13．如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ．
14．如图，，点落在上，且，则 度．
15．如图，，若，，则 ．
16．在中，，，，以为边，作等边，过点D作于E，则的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，已知，．
(1)在边上求作一点P，使．
(2)在上求作一点M，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，已知．
(1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长．
19．已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．
求证：．
20．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1) （用t的代数式表示）．
(2)当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形．
(3)当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？
21．如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的周长．
22．老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、．
(1)求证：．
(2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明．
23．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点F．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
24．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．
(1)如图1，若，，求点的坐标；
(2)如图2，设交轴于点，，若平分，求点的纵坐标；
(3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级上册
八年级数学第一次月考卷04
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 画三角形的高
2 0.94 三角形内角和定理的应用
3 0.85 三角形内角和定理的应用；等腰三角形的定义
4 0.75 三角形的外角的定义及性质；三角形的分类
5 0.65 三线合一；根据成轴对称图形的特征进行求解；直角三角形的两个锐角互余
6 0.55 等腰三角形的性质和判定
7 0.65 线段垂直平分线的性质；作已知线段的垂直平分线
8 0.64 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
9 0.4 勾股定理与折叠问题；根据等角对等边证明边相等
10 0.4 全等三角形综合问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理
二、知识点分布
二、填空题 11 0.94 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
12 0.94 线段垂直平分线的性质
13 0.75 三角形的外角的定义及性质；斜边的中线等于斜边的一半；等边对等角
14 0.65 全等三角形的性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
15 0.64 全等三角形的性质
16 0.4 全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质
二、知识点分布
三、解答题 17 0.95 作角平分线(尺规作图)；作垂线(尺规作图)
18 0.85 全等三角形的性质；内错角相等两直线平行
19 0.75 全等的性质和SAS综合（SAS）
20 0.65 动点问题（一元一次方程的应用）；等腰三角形的定义；直角三角形的两个锐角互余；等边对等角
21 0.65 线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形的外角的定义及性质；等边对等角
22 0.64 与三角形的高有关的计算问题；等边三角形的性质
23 0.55 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形的外角的定义及性质
24 0.15 全等三角形综合问题；角平分线的有关计算；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级上学期第一次月考卷04
数 学
（测试范围：八年级上册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D B C D A C C
1．D
本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．根据三角形高线的定义逐一判断即可．
解：A． ，所作不是高线，错误；
B． ，所作不是的高线，错误；
C． ，所作是边上的高线，错误；
D． ，所作是边上的高线，正确；
故选：D．
2．A
本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求解即可．
解：根据三角形的内角和定理可得，撕掉的角的度数为．
故选：A
3．B
本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的定义，正确掌握相关知识是解题的关键．理解等腰三角形的底角相等，结合顶角是以及三角形内角和定理，进行列式计算，即可作答．
解：依题意，等腰三角形的底角相等，
∵等腰三角形中的顶角是，
∴底角度数为，
即另两个内角的度数分别为，
故选：B
4．D
根据三角形的外角的性质定理即可判断．
本题考查了三角形的外角的性质，正确理解定理是关键．
解：∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴任何三角形的一个外角都大于与它不相邻的每一个内角，
∴无法确定属于哪一类三角形．
故选：D．
5．B
本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据轴对称的性质得到，，，结合得到，根据三线合一性质得到，平分，利用角的和差得出，再利用直角三角形的性质求出的度数，即可求解．
解：∵点关于的对称点为点，
∴，，，
∵，
∴，
又∵为的中线，
∴，平分，
∴，，
∴
，
∴，
∴．
故选：B．
6．C
本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，根据等腰三角形的判定定理对各项逐一判断即可得到答案．
解：A、通过尺规作图，可得，可判断是等腰三角形；
B、通过尺规作图，可得，可判断是等腰三角形；
C、无法判断是等腰三角形；
D、通过尺规作图，可知是作得的垂直平分线，所以，可判断是等腰三角形；
故选：C．
7．D
本题考查作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质．
由作图可知是线段的垂直平分线，可得，从而可得的周长．
解：由作图可知是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴的周长为．
故选：D．
8．A
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据条件和图形可得，，再结合每个选项所给条件利用三角形判定定理逐一进行判断即可．
解：根据条件和图形可得，，
A、添加不能判定，故此选项符合题意；
B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意；
C、添加可利用定理判定，故此选项不合题意；
D、添加可利用定理判定，故此选项不合题意．
故选：A．
9．C
本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
解：∵长方形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故选：C
10．C
本题需要根据角平分线的性质、垂直的定义以及全等三角形的判定与性质，对每个结论进行分析判断．
解：结论①：∵是的角平分线
∴
∵，所以
在和中：
∴
∴，结论①正确；
结论②：由可得
∵
∴是的垂直平分线
∴，结论②正确；
结论③：仅根据已知条件，无法得出，结论③错误；
结论④：∵，和以为底时，高相同
根据三角形面积公式（a为底，h为高）
∴的面积=的面积，结论④正确．
综上，正确的结论是①②④．
故选：C．
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，掌握“利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段相等和面积相等的关系”是解题的关键．
11．AAS
本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定方法是解题的关键．先分析题目中已有的相等条件，再根据相等条件判定三角形全等即可．
，，
，
在，中
（AAS）
故答案为：AAS．
12．12
本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积，据此可求出的面积．
解：是边的垂直平分线，,
，
又,,
,
.
故答案为：12．
13．
本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度．
由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度．
解：由条件可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和，正确得出全等三角形对应角和对应边是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，，结合等边对等角，角的等量代换可得，进而求出和度数，最后利用三角形内角和等于可求得的度数．
解：，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
本题考查了全等三角形的性质的应用，根据全等三角形性质求出，，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．7或
此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
分两种情况讨论，一是顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，，所以，由是等边三角形，得，，可证明≌，得，，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点D与顶点C在直线异侧，在BC上截取，连接，可证明≌，得，，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案．
解：如图1，顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接、，
，，
是等边三角形，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
于E，
，
，
，
；
如图2，顶点D与顶点C在直线异侧，在上截取，连接，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
于E，
，
，
，
，
综上所述，的长为7或，
故答案为：7或．
17．(1)见解析
(2)见解析
本题主要考查了垂线和角平分线的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．
（1）过点B作交于P，根据可得；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可．
（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：如图所示，点M即为所求．
18．(1)，，理由见解析
(2)
本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得到，，再利用内错角相等，两直线平行得到，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质和线段的和差即可求解．
（1）解：，，理由如下：
∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．见解析
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明三角形全等．
首先得到，然后证明，进而得到．
证明：，
，
又，，
，
．
20．(1)
(2)
(3)5.5秒或6秒
本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，再利用即可求解；
（2）当点在边上运动时，，其中，根据等腰三角形的定义可得，列出关于的方程，即可求解；
（3）分2种情况讨论：①是以为底的等腰三角形；②是以为底的等腰三角形，画出示意图，利用等腰三角形的性质求出点运动的路程，进而得到点运动的时间，即可解答．
（1）解：由题意得，，
∴；
故答案为：；
（2）解：当点在边上运动时，，其中，
∵是等腰三角形，，
∴，即，
解得，
∴出发秒后，是等腰三角形；
故答案为：；
（3）解：①当是以为底的等腰三角形，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点运动的路程为，
∴点运动的时间为（秒）；
②当是以为底的等腰三角形，则，
∴，
∴点运动的路程为，
∴点运动的时间为（秒）；
∴综上所述，出发5.5秒或6秒后，是以或为底的等腰三角形．
21．(1)
(2)
本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）可证明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，再根据三角形内角和定理求出的度数，则由三角形外角的性质可求出答案；
（2）根据三角形周长计算公式可推出，再根据三角形的周长公式计算即可．
（1）解：，，
垂直平分，
垂直平分，
，
，，
∵，
，
∵，
∴．
（2）解：的周长为，，
，
∵，
的周长为．
22．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
本题考查的知识点有三角形面积公式（，a为底，h为高）、等腰三角形的性质（）、等边三角形的性质（三边相等）．解题用到的思想是转化思想，通过将三角形的面积进行分割转化，把线段和的关系转化为面积的关系来证明．方法是利用面积法，借助不同的三角形面积组合来推导线段之间的等量关系．解题关键是正确连接辅助线（如连接、、），将大三角形的面积拆分为几个小三角形的面积之和．易错点在于对三角形面积公式的应用不熟练，以及在分割面积时遗漏或错误选取三角形，导致推导错误．
（1）要证明，思路是利用面积法．连接，把的面积拆分为和的面积之和，然后根据三角形面积公式分别表示出这三个三角形的面积，再结合的等腰三角形性质，通过等式变形得出．
（2）对于等边三角形内一点的情况，猜想有类似结论．证明思路同样是面积法，连接、、，把的面积拆分为、和的面积之和，再根据等边三角形三边相等的性质，结合三角形面积公式，通过等式变形得出．
（1）连接．
，
．
又，
．
（2）．理由如下：
连接、、．
，
由于是等边三角形，所以，
．
23．(1)
(2)见解析
本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和，三角形外角的性质．
（1）根据三角形内角和得到，根据角平分线得到，，根据三角形外角的性质作答即可；
（2）仿照（1）求出，进而根据平角的定义计算即可．
（1）解：∵在中，，
∴．
∵，是角平分线，
∴，，
∴在中，；
（2）证明：在中，，
∵，是角平分线，
∴，，
∴，
在中，．
24．(1)
(2)
(3)
（1）过点B作轴于点D，通过证明，得出，即可求出点B的坐标；
（2）过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F，先证明，得出，根据平分，，得出，即可求出点B的纵坐标；
（3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可求解．
（1）过点B作轴于点D，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴点B的纵坐标为；
（3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，
由折叠的性质可得：，
∵，，，
∴，
∵为的角平分线，，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等．

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