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2025-2026学年广西玉林市五校联考高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线：与：垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.过点的直线与轴、轴分别交于，两点，且恰好是的中点，则的斜率为( )
A. B. C. D.
4.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
5.直线过点，且与以，为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.若点，到直线：的距离相等，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图，在正方体中，点，分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为( )
平面；
平面平面；
直线与所成的角为；
直线与平面所成的角为．
A. B. C. D.
8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，直线：，则( )
A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过
C. 若，则 D. ，使得平行于
10.下列命题中正确的是( )
A. 若，，，是空间任意四点，则有
B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 已知为坐标原点，向量，，，则点，，不能构成三角形
11.如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有( )
A. 直线直线
B. 若，则平面
C.
D. 若，则与夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则______．
13.若直线与直线之间的距离为，则实数的值为______．
14.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，与平面交于点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别为，，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程．
已知直线经过点，若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．
16.本小题分
如图，已知棱长为的正四面体，，分别是，的中点．
用表示向量，并求的模长；
求与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知直线的方程为．
证明：直线过定点，并求定点到直线的距离；
当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？
18.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面的夹角余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
19.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为中点．
如果与平面所成的线面角为，求证：平面；
当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.线段的中点，
由两点式得所在直线方程为，即．
直线的斜率，，
所以边上的高所在直线方程为，即．
当截距为时，设直线方程为，
因为直线过点，则，解得，所以直线方程为；
当截距互为相反数且不为时，设直线方程为，
因为直线过点，则代入直线方程得，，则直线方程为．
所以直线方程为或．
16.已知棱长为的正四面体，，分别是，的中点，所以，
故，所以；
设为异面直线与所成的角，所以；
，所以异面直线与所成的角．
17.证明：已知直线的方程为，
将直线的方程整理得，
令，解得所以直线恒过点，
根据点到直线的距离公式可得定点到直线的距离为；
解：由可得直线过定点，设定点为，
当时，点到直线的距离最大，且最大距离，
即点到直线的最大距离为，
此时，而直线的斜率，
所以，解得，
所以当为时，点到直线的距离最大为．
18.解：Ⅰ证明：取的中点，连接，，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，
所以平面
Ⅱ建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
有，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则，，
则，
令，得，，，，
所以，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
Ⅲ由，平面的一个法向量为，
得，
即点到平面的距离为．
19.解：证明：平面，
与平面所成的线面角为，
，
，又为的中点，
，
又易知平面，平面，
，又，，
平面；
根据题意可得，，两两相互垂直，
分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，，取，
与平面所成角的正弦值为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
三棱锥的体积．
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