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5 图形的轴对称
☆问题解决策略：转化
北师大版初中数学七年级下册第五章
为了方便观众能快速撤离，又能将纸屑投放收集点，收集点该如何设置呢？
第五章 图形的轴对称
☆ 问题解决策略：转化
北师大版 数学 七年级下册
数学抽象素养
能将实际问题抽象为数学模型，理解实际问题与数学问题相互转化关系;
一
明确目标，梳理“转化”
逻辑推理素养
类比异侧线段和最短，猜同侧最短路径思路，用多定理证对称点确定最短路径，表推理过程;（难点）
数学建模素养
掌握“实际问题→数学抽象→建立模型→求解模型→验证应用”的建模流程，能针对“最短路径”类实际问题，构建基于轴对称的数学模型并求解（重点）
直观想象素养
能借助图形直观，建立图形与数量的直观联系，发展空间想象能力和图形分析能力体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
（实际问题）
上述问题可以抽象成怎样的数学问题
1
如图，计划在一条笔直的通道上设立一个垃圾收集点，观众离席之后，把垃圾放到垃圾收集点，然后从出口撤离。为了使观众走最少的路程，你如何设置收集点的的位置呢？
二
问题解决，感悟“转化”
B
2
问题抽象
A
数学问题
如图，A，B 两点在直线 l 的同一侧，在直线 l 上确定一个点P，使AP +BP 最短。
l
实际问题
如图，计划在一条笔直的通道上设立一个垃圾收集点，观众离席之后，把垃圾放到垃圾收集点，然后从出口撤离。为了使观众走最少的路程，你如何设置收集点的的位置呢？
二
问题解决，感悟“转化”
B
A
l
P
B
A
如图，A，B 两点在直线 l 的同一侧，在直线 l 上确定一个点P，使PA +PB 最短。
l
（1）问题中有哪些关键词或者关键条件？
（2）关于“最短”，你有哪些相关知识
（3）关于“同一侧”，如果没有这个限定条件， 还有什么其它情况？其它情况你会解决吗？
（4）两点在直线“同一侧”的情况，又怎么解决呢？
最短
同一侧
3
问题分析
根据是“两点之间，线段最短”.
二
问题解决，感悟“转化”
B1
（2）连接A′B，与直线l相交于点P．
作法
（1）作点A 关于直线l 的对称点A′；
则点P 即为所求．
l
P
A'
能不能作出B点的对称点B',连接AB'，与l还交于P点吗？
B'
B
A
（4）两点在直线“同一侧”的情况，又怎么解决呢？
3
问题分析
二
问题解决，感悟“转化”
3
问题分析
l
A
P'
P
B
A'
证明：如图，在直线l 上任取一点P′(与点P 不重合)
连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知:
AP =A′P，AP′=A′P′
∴AP +BP= A'P +BP = A′B
AP′+BP′= A′P′+BP′
在△A′BP′中，
A′B＜A′P′+BP′
∴AP +BP＜AP′+BP′
即:AP +BP 最短
（5）你能用所学的知识证明AP+BP最短吗
二
问题解决，感悟“转化”
如图，A，B 两点在直线 l 的同一侧，在直线 l 上确定一个点P，使AP +BP 最短 。
最短
同一侧
4
问题解决
问题解决策略
5
对称
同侧
异侧
转 化
二
问题解决，感悟“转化”
学生自评表
将军饮马问题
“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题
三
问题迁移，类比“转化”
数学问题
将军饮马问题
三
问题迁移，类比“转化”
1、如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
抽象成
作图问题：在直线l上求作一点P，使AP+BP最短问题.
模型一：两定一动，在直线的异侧
A
B
数学问题
A
l
B
P
l
根据是“两点之间，线段最短”.
P
三
问题迁移，类比“转化”
l
B
A
2、如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
利用轴对称，作出点A关于直线l的对称点A′.
模型二：两定一动，在直线的同侧
A
B
l
抽象成
A′
P
三
问题迁移，类比“转化”
模型三：角的内部，一定两动
3.点P是∠AOB内的一点，分别在OA，OB上作点M，N，使△PMN的周长最小.请同学们分组讨论并动手画一画，找出M,N两点。
A
B
O
M
N
P2
P1
P
A
B
O
P2
P1
P
M
N
三
问题迁移，类比“转化”
学生自评表
1
回顾总结，夯实基础
四
问题回顾，深悟“转化”
在以前的数学学习中，我们在哪里应用过转化呢？
《问题解决策略：归纳》中“从几种特殊情形出发，找到一般规律”，是特殊到一般的转化；
《问题解决策略：直观分析》中“借助表格和示意图直观分析问题”，是抽象到直观的转化；
《问题解决策略：特殊化》中“借助特殊情形的结论或方法解决一般问题”，是一般到特殊的转化；
……
旧知新识，升华认知
2
转化思想
四
问题回顾，深悟“转化”
B
A
l
如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最小。
如图，A，B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上确定一个点C，使︱AC -CB︱最小。
B
A
l
“两条线段差最小”问题
2.选做题：
1.必做题：
自己设计一个最短路径问题，与同桌互做。
五
问题变式，应用“转化”
转化是数学中的“魔法”，愿同学们在“山
重水复”时，用转化找到“柳暗花明”！
结语：
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有 线段中，哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短
复习巩固
P
l
A
B
C
D
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
复习巩固
l
A
A′
O

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