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2025-2026学年河南省青桐鸣高二（上）9月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，共线，，，则( )
A. B. C. D.
3.若的图象关于原点对称，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.为考察某植物幼苗的生长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养天，得到它们的高度单位：厘米分别为，，，，，，则这组数据的上四分位数为( )
A. B. C. D.
5.若向量组构成空间直角坐标系中的一组基底向量，则下列向量不共面的一组为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.设甲：，乙：，且，，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
7.设随机事件，满足，，则( )
A. B. C. D.
8.记的内角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 不存在，使得
C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量的坐标为
10.，分别为空间内不重合的两平面，的一个法向量，为直线的一个方向向量，，，已知，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时，与共线 D. 当时，与相交
11.在长方体中，，，为的中点动点满足，，，则下列说法正确的是( )
A. 点一定在平面内
B. 当时，点的轨迹长度为
C. 当，，三点共线时，
D. 当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆柱与某圆锥的母线长均为，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为______．
13.已知，其中为虚数单位，则 ______．
14.已知某正方体的棱长为，均不重合的，，三点都在此正方体的棱上，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在空间直角坐标系中，点，已知直线经过点，且的方向向量．
求；
求点到直线的距离．
16.本小题分
已知正方体的棱长为，且，分别为线段与线段的中点，现以为坐标原点，为轴的正方向，为轴的正方向，为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
证明：；
判断直线与直线是否相交？若相交，求出交点坐标；若不相交，请说明理由．
17.本小题分
已知函数，．
若，求的最小正周期的最大值；
若方程在区间上有且仅有两个实根，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，是等边三角形已知，，为线段上一点．
证明：；
若为靠近点的三等分点，求到平面的距离；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在棱长均为的平行六面体中，设，，点，分别为线段与线段的中点．
用，，表示向量与；
设与，与的夹角均为，且在上的投影向量的模为．
(ⅰ)求与的夹角的正弦值；
(ⅱ)求直线与直线所成角的余弦值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.因为在空间直角坐标系中，点，
又直线经过点，且的方向向量，
所以．
因为点，点，
所以，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，
则，
所以点到直线的距离．
16.证明：正方体的棱长为，，分别为线段与线段的中点，
以为坐标原点，为轴的正方向，为轴的正方向，为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
由于，分别为线段与线段的中点，故，，
则，，
则，即，
故．
不相交，理由如下：
由知，，，，
假设与相交，设实数，，则直线上的点的坐标为，
直线上的点的坐标为，
若直线与直线相交，则存在，，使，
即，该方程组无解，故与不相交．
17.解：因为，，
所以，
，
因，即，
而的最大值为，
所以，可得，
可得的最小正周期，
可得其最小正周期的最大值为；
由于，
可得，
令，由，可得，
因方程在区间上有且仅有个实根，得，
解得．
18.证明：作出示意图如下：
取的中点，则，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又，，
由等边三角形的性质可知，
又，平面，
所以平面，所以；
由可知，，
而平面平面，平面，平面平面，
所以平面，所以，
故建系如图：
则，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，，取，
所以到平面的距离为；
易得此时，
所以，又，，
设平面的法向量为，
则，即，取，
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
19.由题意，点为线段的中点，点为线段的中点，
在平行六面体中，，，
其中，且，
故，
，其中，
且，
所以；
根据题意，我们有．与的夹角为，
则．
与的夹角为，则．
在上的投影向量的模为，
则投影长度，
．
因为，
所以，，
代入得，
解得或．
由于，
当时，解得，此时；
当时，解得，此时，
综上，与的夹角的正弦值为或；
；
．
，
．
设直线与所成角为，
当，时，，，，
此时．
当，时，，，，
此时．
综上，直线与直线所成角的余弦值为或．
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