资源简介

2025-2026学年河北省保定市定州中学高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，若，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
2.已知三条直线：，：，：，设，，，则是( )
A. 以为直角顶点的等腰直角三角形 B. 以为直角顶点的非等腰直角三角形
C. 以为直角顶点的等腰直角三角形 D. 等边三角形
3.在三棱柱中，是侧面的中心，则( )
A. B. C. D.
4.已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.已知空间向量满足，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，直线与圆相切，且在坐标轴上的截距的绝对值相等，这样的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
7.在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在长方体中，，，球是以为球心，以为半径的球动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论错误的是( )
A. 任意一个向量均可以作为直线的方向向量
B. 若是平面的法向量，则也是平面的法向量
C. 设点，，，则平面的一个法向量为
D. 若向量，则与的夹角为钝角
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为
B. 若平面与平面的法向量分别为，则
C. 为所在平面外一点，若，则点平面且在内部
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
11.已知点，均在半径为的圆上，且的值域为，则下列结论正确的是( )
A. 圆心在直线上
B. 满足条件的圆有两个
C. 若点在圆上，则点在圆上
D. 圆的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：平行，则与间的距离为______．
13.已知点，点，点，则点到直线的距离为______．
14.已知正三棱柱的底面边长为，是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过点，，且圆心在直线上．
求圆的方程；
若点在圆上，求的最大值与最小值；
过原点的直线交圆于，两点，若，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，设．
证明：；
设，用表示与．
17.本小题分
已知点，动点满足：：．
求动点的轨迹方程；
若直线：与点的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为点，若，，三点共线，求的值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，是的中点．
求证：平面平面；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的大小．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，点在上，且，点是线段上的动点．
求异面直线与所成角的余弦值；
当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为圆心在直线上，所以可设圆心为，
所以，即，
解得，所以，所以，
所以圆的方程为．
因为表示原点与圆上的点间的距离，
而原点在圆外，，圆的半径，
所以的最大值为，最小值为．
当垂直于轴时，即为轴，将代入圆的方程，
得，
所以，，
此时截得的弦长为，满足条件；
当不垂直于轴时，设的方程为，
因为，所以圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式得，解得．
所以直线的方程为或．
16.证明：因为在四边形中，，
所以根据两直线平行，内错角相等可得，，
再根据三角形相似的条件可得，
所以，即，
设，
由图根据平面向量的加法和减法法则可得：
；
解：由图根据平面向量的加法法则和减法法则可得：
；
由于，所以根据平面向量的减法法则可得：
，
由图根据平面向量的减法法则可得：
，
综上，；．
17.由已知得，，
因此，因此，
整理得动点的轨迹方程为；
设，，则，
将的方程代入中，整理得，
因此，，
因为，，三点共线，
因此，
因此，
因此，
，因此，
解得，所以的值为．
18.证明：因为平面，而，平面，因此，．
因此，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理得：
，
因此，因此，因此，
而，，平面，因此平面，
因平面，因此平面平面；
因为平面，平面，因此，
而，因此，
在中，由余弦定理可得，
而为三角形内角，因此，因此，
因此，
因此；
取的中点为，在平面中过作，垂足为，连接，
因为平面，平面，因此平面平面，
由可得，因此且，
而平面平面，平面，
因此平面，而，平面，因此，，
而，，平面，因此平面，
而平面，因此，因此为二面角的平面角，
在直角三角形中，，因此，
在直角三角形中，，
而为锐角，因此，因此平面与平面夹角的大小为．
19.设建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
因此，
因此异面直线与所成角的余弦值为；
当是的中点时，，则，
设平面的法向量为，因此，
令，因此，，
设与平面所成角为，则；
因此与平面所成角的正弦值为；
设，
当时，平面与平面重合，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
因此，
令，则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
此时，
因此平面与平面夹角的最大值为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑