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2025-2026学年山东省德州市夏津一中高二（上）9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
2.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
4.在正方体中，下列说法错误的是( )
A. B. 与所成角为
C. 平面 D. 与平面所成角为
5.直线必过定点( )
A. B. C. D.
6.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离是( )
A. B. C. D.
7.经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 直线与平面所成的角为
C. 平面与平面的夹角为
D. 点到面的距离为
10.已知直线过点，，则( )
A. 点在直线上
B. 直线的两点式方程为
C. 直线的一个方向向量的坐标为
D. 直线的截距式方程为
11.在直三棱柱中，，，，为的中点，则( )
A.
B. 平面
C. 平面
D. 直线与所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
13.如图，在正四棱柱中，底面边长为，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 ．
14.如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点不包含边界，且满足平面设直线与直线所成的角为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式．
直线的一个方向向量为，且经过点；
过点且在两坐标轴上截距相等．
16.本小题分
在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，求：
的长；
直线和所成角的余弦值．
17.本小题分
如图所示，正方体的棱长为，若是的中点，
求异面直线与所成角的余弦值；
求到平面的距离．
18.本小题分
四棱锥底面为菱形，底面，，，点在上，：：．
证明：；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，底面为长方形，侧面是等边三角形，平面平面
若为棱的中点，为棱的中点，求证：平面
，异面直线，夹角的余弦为．
求棱的长度；
在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.由直线的方向向量为，可得直线的斜率为，
又因为直线经过点，
故所求的直线方程为，即．
当直线的截距不为时，设所求直线方程为，
代入点，得，
故所求的直线方程为；
当直线的截距为时，直线过原点，此时直线的方程为，即，
综上，所求的直线方程为或．
16.如图，
连接，，设，，，
依题意，，
，
所以
，
所以；
如图，
连接，，设直线和所成角为，
则，
所以
，
又，，
所以，
故直线和所成角的余弦值为．
17.解：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
由知，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以点到平面的距离为．
18.证明：连接与交于点，
在菱形中，，
底面，平面，，
，平面，，
平面，
平面，
；
取的中点，连接，
为中点，中，，
底面，底面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，
设，：：，
，即，由此可求，
设平面，平面的法向量分别为，
，
则，则，
取；
同理，，则，
取；
设二面角的平面角为，
则，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
19.解：证明：取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为四边形是矩形，所以且，
因为为棱的中点，则且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则是四棱锥的高，
设，则，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，
，，
则，
解得，则．
由知、、、，
故，，，
设，
所以．
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，则，，
所以．
易知平面的一个法向量为，
所以，
解得，合乎题意，
所以，当点为线段的三等分点且更靠近于点时，平面与平面的夹角的余弦值为．
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